基于加權(quán)平滑l0范數(shù)的單快拍波達(dá)方向估計(jì)

單澤彪，劉小松，王春陽(yáng)，陳淼，石要武

（1.長(zhǎng)春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022；2.吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

基于加權(quán)平滑l0范數(shù)的單快拍波達(dá)方向估計(jì)

單澤彪1，劉小松1，王春陽(yáng)1，陳淼2，石要武2

（1.長(zhǎng)春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022；2.吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

針對(duì)現(xiàn)有基于壓縮感知的DOA估計(jì)算法估計(jì)精度不高的問(wèn)題，提出一種基于加權(quán)平滑l0范數(shù)的單快拍DOA估計(jì)算法。所提算法采用一種新的加權(quán)方式，在構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠交B續(xù)函數(shù)后，根據(jù)接收數(shù)據(jù)的初始解確定一個(gè)合適的遞減的{σ}序列[σ1,σ2,…,σJ]，并對(duì)每一個(gè)σ值，用最速下降法來(lái)求解l0范數(shù)的逼近函數(shù)Hσ(S)的最小值；然后將該σ值作為下一次迭代的初始值，并在每次迭代開(kāi)始時(shí)更新權(quán)值，通過(guò)多次的迭代獲得逼近函數(shù)的最小解，即逼近的最小l0范數(shù)。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)表明所提算法可對(duì)DOA進(jìn)行有效估計(jì)，且容易實(shí)現(xiàn)、精度較高，與未加權(quán)的改進(jìn)平滑l0范數(shù)DOA估計(jì)方法相比具有更好的估計(jì)性能。

陣列信號(hào)處理；DOA估計(jì)；壓縮感知；加權(quán)平滑l0范數(shù)

波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）估計(jì)在陣列信號(hào)處理領(lǐng)域中占據(jù)著十分重要的地位，其廣泛應(yīng)用于電子對(duì)抗、雷達(dá)探測(cè)等方面，近年來(lái)學(xué)者們對(duì)此進(jìn)行了大量的研究，取得了顯著成果［1-3］。最大似然（Maximum Likelihood，ML）［4］估計(jì)方法是DOA估計(jì)方法中性能最優(yōu)的一種，但其在求解過(guò)程中需要非線性多維搜索，計(jì)算量巨大。除此之外，還有兩大經(jīng)典的子空間分解類算法，即多重信號(hào)分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法［5］和信號(hào)參數(shù)旋轉(zhuǎn)不變（Estimation Signal Parameter via a Rotational Invariant Technique，ESPRIT）算法［6］。其中，MUSIC算法及其改進(jìn)算法通過(guò)對(duì)陣列接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行分解，得到兩個(gè)正交的信號(hào)子空間和噪聲子空間以構(gòu)造譜峰，在良好條件下，其估計(jì)精度可達(dá)到克拉美羅下限，但該算法需要譜峰搜索。ESPRIT算法則避免了譜峰搜索，但在相同條件下的估計(jì)性能略遜于MUSIC算法。以上兩類算法通常對(duì)快拍數(shù)的要求較高，且無(wú)法直接處理相干信號(hào)源的角度估計(jì)問(wèn)題。盡管以上算法可以通過(guò)平滑處理的方法來(lái)解決相干源的問(wèn)題，但這樣會(huì)損失一定的陣列孔徑，使得分辨力下降，且增加了計(jì)算量。

壓縮感知（Compressed Sensing，CS）［7-8］理論的提出則為上述問(wèn)題提供了新的解決路徑。CS理論的處理對(duì)象是稀疏信號(hào)，其所需的采樣頻率遠(yuǎn)低于采樣定理的要求，同時(shí)對(duì)相干信號(hào)也具有天然的解相干性。近年來(lái)，CS理論受到了學(xué)者們的極大關(guān)注，該理論中的許多重構(gòu)算法都被用于空間目標(biāo)的DOA估計(jì)［9-12］。其中貪婪算法［9］是獲得廣泛應(yīng)用研究的方法之一，該算法的關(guān)鍵之處在于找到測(cè)量矩陣中提供能量最大的某列原子，然后反復(fù)不斷地迭代直到終止條件。貪婪算法的計(jì)算復(fù)雜度較低，但通常得不到最優(yōu)解，導(dǎo)致精度不高。l1-SVD（l1-norm Singular Value Decomposition）［13］算法是另一種得到廣泛關(guān)注的方法之一，為了降低計(jì)算量，該算法首先對(duì)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行奇異值分解，然后利用凸優(yōu)化理論中的l1范數(shù)重構(gòu)算法將目標(biāo)信號(hào)的DOA重構(gòu)出來(lái)，能夠在較少快拍數(shù)的情況下實(shí)現(xiàn)DOA的精確估計(jì)，且相干信源對(duì)恢復(fù)過(guò)程沒(méi)有影響。但該算法重構(gòu)過(guò)程復(fù)雜，在大型陣列結(jié)構(gòu)中應(yīng)用的難度較大，并且算法中需要用經(jīng)驗(yàn)的方法來(lái)給定平衡稀疏度與噪聲的參數(shù)，而該值的選取會(huì)對(duì)最終的估計(jì)效果造成較大的影響。

平滑l0范數(shù)（Smoothedl0norm，SL0）算法是一種有效的壓縮感知重構(gòu)算法，其在2009年由Mohimani等人首次提出后，便取得了大量的研究成果［14-16］。平滑l0范數(shù)算法的核心思想是構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠交瘮?shù)來(lái)近似信號(hào)的l0范數(shù)，這樣就將l0范數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為了平滑函數(shù)的極值問(wèn)題，避免了直接求解信號(hào)的l0范數(shù)這一復(fù)雜的過(guò)程。為進(jìn)一步改善近似效果，本文采用一種新的加權(quán)方式對(duì)平滑l0范數(shù)進(jìn)行加權(quán)處理，提出一種基于加權(quán)平滑l0范數(shù)（Weighted Smoothedl0norm，WSL0）的DOA估計(jì)算法。所提算法對(duì)陣列的接收數(shù)據(jù)量要求低，僅用單個(gè)快拍就能對(duì)DOA進(jìn)行較高精度的估計(jì)。本文最后在不同條件下對(duì)所提算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，并與未加權(quán)的改進(jìn)平滑l0范數(shù)DOA估計(jì)算法進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證所提算法的有效性。

1 壓縮感知理論的陣列接收數(shù)據(jù)模型

在陣列信號(hào)處理領(lǐng)域中，空間目標(biāo)信號(hào)源總是有限的，因此在任意觀測(cè)時(shí)刻，其相對(duì)于整個(gè)觀測(cè)空間來(lái)說(shuō)都是稀疏的［12］。故空間目標(biāo)信號(hào)可直接表示成稀疏信號(hào)。

假設(shè)一個(gè)均勻線陣由M個(gè)位置分別位于的陣元組成，觀測(cè)空間中有K個(gè)DOA分別為的遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶目標(biāo)信號(hào)源。均勻線陣的接收范圍是，將該范圍內(nèi)的整個(gè)空間按等角度劃分為2N+1份，則表示所有可能的DOA集合，其中從信號(hào)能量分布的角度上看，空間中只有在K個(gè)真實(shí)目標(biāo)信號(hào)源的DOA上才有能量分布，其他方向均沒(méi)有能量分布。所有可能的DOA集合的每個(gè)角度都與一個(gè)導(dǎo)向矢量一一對(duì)應(yīng)，導(dǎo)向矢量矩陣即陣列流型矩陣為，它是一個(gè)M×(2N+1)維的矩陣，在壓縮感知理論框架下是一個(gè)過(guò)完備冗余字典，起測(cè)量矩陣的作用，其中

則某觀測(cè)時(shí)刻線陣的接收數(shù)據(jù)為：

2 算法原理

針對(duì)式（1）中稀疏向量S的重構(gòu)問(wèn)題，可以通過(guò)式（2）所示的最小化l0范數(shù)方法來(lái)求解：

式中，ε表示噪聲水平表示向量的l0范數(shù)，但式（2）是一個(gè)NP-hard問(wèn)題，直接求解難度極大，不適用于DOA估計(jì)。平滑l0范數(shù)重構(gòu)算法將式（2）的求解轉(zhuǎn)化為平滑函數(shù)的極值問(wèn)題，則避免了難度極大的直接求解過(guò)程，可實(shí)現(xiàn)DOA的高效估計(jì)。

式中，wi表示選取的權(quán)值。根據(jù)l0范數(shù)的定義，在理想狀態(tài)下有：

考慮噪聲存在的情況，有：

顯然，式（6）的加權(quán)方式滿足式（5）的要求。經(jīng)過(guò)加權(quán)后，平滑函數(shù)hσ( )wi,si更能趨近si的l0范數(shù)，則可以由下式表示：

因此，式（2）可以通過(guò)式（8）求出：

式中,σ的大小表示逼近的程度。選擇一個(gè)遞減序列 σ1,σ2,σ3,…,σn，然后對(duì)每一個(gè) σi所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化求解，直到σi足夠小，此時(shí)便可得到逼近的最優(yōu)解。

基于加權(quán)平滑l0范數(shù)的DOA估計(jì)算法包括兩個(gè)循環(huán)。首先根據(jù)接收數(shù)據(jù)的初始解確定一個(gè)恰當(dāng)?shù)倪f減的{σ}序列，序列的個(gè)數(shù)為 J ，σJ表示序列的最小值，外循環(huán)則控制σ的取值由大到小。然后對(duì)每一個(gè)σi值，采用最速下降法來(lái)求解Hσ(S)的最小值，最后將該σi值作為下一次迭代的初始值。內(nèi)循環(huán)則是梯度投影的過(guò)程。下面給出基于加權(quán)平滑l0范數(shù)的DOA估計(jì)算法的詳細(xì)步驟：

（1）初始化：初始解為X=AS的最小l2范數(shù)解

（2）令σ=σj，l=1，采用最速下降法通過(guò)L次迭代來(lái)求解函數(shù)Hσ()S的最小值：

（a）計(jì)算權(quán)值：

（b）求解-Hσ()S的梯度：

（e）l=l+1 ，如果 l＜L ，重復(fù)（a）、（b）、（c）和（d）的過(guò)程。

（3）j=j+1，σj=ησj-1（η表示{}σ序列遞減因子），重復(fù)步驟2），直到 σj＜σJ，則此時(shí)得到的解就是S的最稀疏解?。

3 仿真實(shí)驗(yàn)分析

本節(jié)將通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提算法（WSL0）的可行性，并與未加權(quán)的改進(jìn)平滑l0范數(shù)DOA估計(jì)算法（ISL0）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比來(lái)分析其性能。實(shí)驗(yàn)中將觀測(cè)空間按等角度劃分為181個(gè)網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格為1°；陣列結(jié)構(gòu)為均勻線性陣列，陣元間距為半波長(zhǎng)，噪聲為加性高斯白噪聲。各算法采用的快拍數(shù)均為1，在求解DOA估計(jì)的均方根誤差( )RMSE時(shí)均進(jìn)行5000次蒙特卡洛獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，其定義為：

式中，K表示空間目標(biāo)信號(hào)源總的個(gè)數(shù)；Mc表示總的蒙特卡洛獨(dú)立實(shí)驗(yàn)次數(shù)；θkm表示第k個(gè)空間目標(biāo)信號(hào)源在第m次實(shí)驗(yàn)的DOA真實(shí)值；θ?km表示空間目標(biāo)信號(hào)源的DOA估計(jì)值。

實(shí)驗(yàn)一：設(shè)空間中三個(gè)窄帶目標(biāo)信號(hào)源的DOA分別為 -20°、0°和 30°，其中DOA為 -20°和 0°的信源為相干信源。在信噪比SNR=5dB和線陣陣元數(shù)M=16的情況下，本文所提WSL0算法的DOA估計(jì)效果如圖1所示。

圖1 所提算法的DOA估計(jì)效果

由圖1可知，三個(gè)最大譜峰所在位置即為三個(gè)空間目標(biāo)信號(hào)源的DOA，這表明本文所提算法是有效可行的，在較低信噪比情況下依然能夠準(zhǔn)確地估計(jì)出目標(biāo)信號(hào)源的DOA，且所提算法不受相干信號(hào)源的影響，同樣成功地估計(jì)出了相干信號(hào)源的DOA。同時(shí)，由于本文所提算法的迭代過(guò)程始終與信號(hào)源個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，在經(jīng)多次迭代得到信號(hào)的空間譜之后，較大譜峰個(gè)數(shù)就是信號(hào)源的個(gè)數(shù)。因此，信源數(shù)是否已知對(duì)本文所提算法的DOA估計(jì)性能影響有限。

實(shí)驗(yàn)二：不同信噪比時(shí)的估計(jì)精度對(duì)比實(shí)驗(yàn)。設(shè)空間兩個(gè)窄帶目標(biāo)信號(hào)源的DOA分別為0°和30°，線陣陣元數(shù)M=16。兩種算法在各信噪比條件下的DOA估計(jì)均方根誤差和成功概率（估計(jì)偏差小于或等于1°的次數(shù)）如圖2和圖3所示。

由圖2和圖3可知，兩種算法的均方根誤差都隨著信噪比的增加而不斷減小，同時(shí)估計(jì)成功概率不斷增大。當(dāng)信噪比大于等于6dB時(shí)，兩種算法的均方根誤差保持基本一致并已降至1°以下，且估計(jì)成功概率均接近100%，但當(dāng)信噪比小6dB時(shí)，本文所提WSL0算法與ISL0算法相比較明顯具有更小的均方根誤差和更高的成功概率，優(yōu)勢(shì)更加突出，充分說(shuō)明了本文所提算法在較低信噪比條件下具有更好的DOA估計(jì)性能。

圖2 不同信噪比時(shí)DOA估計(jì)的均方根誤差

圖3 不同信噪比時(shí)DOA估計(jì)的成功概率

實(shí)驗(yàn)三：不同陣元數(shù)時(shí)的估計(jì)精度對(duì)比實(shí)驗(yàn)。設(shè)空間兩個(gè)窄帶目標(biāo)信號(hào)源的DOA分別為0°和30°，信噪比SNR=5dB。兩種算法在各陣元數(shù)不同條件下的DOA估計(jì)均方根誤差和成功概率（估計(jì)偏差小于或等于1°的次數(shù)）如圖4和圖5所示。

圖4 不同陣元數(shù)時(shí)DOA估計(jì)的均方根誤差

圖5 不同陣元數(shù)時(shí)DOA估計(jì)的成功概率

由圖4和圖5可知，兩種算法的均方根誤差都隨著陣元數(shù)的增加而不斷減小，同時(shí)估計(jì)成功概率不斷增大。當(dāng)陣元數(shù)小于16時(shí)，本文所提WSL0算法優(yōu)勢(shì)更加顯著，而當(dāng)陣元數(shù)大于等于16時(shí)，兩種算法的均方根誤差都已小于1°，但WSL0算法的估計(jì)效果仍然更好，當(dāng)陣元數(shù)等于20時(shí)，本文所提WSL0算法的估計(jì)成功概率達(dá)到100%。以上分析表明：本文所提WSL0算法具有比ISL0算法更好的DOA估計(jì)性能。

4 結(jié)論

為了提高單快拍條件下DOA估計(jì)的精度，本文在壓縮感知理論框架下，提出一種基于加權(quán)平滑l0范數(shù)的單快拍DOA估計(jì)算法。所提算法采用一種新的加權(quán)方式，在構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)钠交B續(xù)函數(shù)后，根據(jù)接收數(shù)據(jù)的初始解確定一個(gè)合適的遞減的{}σ序列并對(duì)每一個(gè)σ值，用最速下降法來(lái)求解l0范數(shù)的逼近函數(shù)Hσ()S的最小值；然后將該σ值作為下一次迭代的初始值，并在每次迭代開(kāi)始時(shí)更新權(quán)值，通過(guò)多次的迭代獲得逼近函數(shù)的最小解即逼近的最小l0范數(shù)。所提算法可對(duì)DOA進(jìn)行有效估計(jì)，且容易實(shí)現(xiàn)、精度較高，與未加權(quán)的平滑l0范數(shù)DOA估計(jì)算法相比具有更好的估計(jì)性能。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：所提算法在信噪比SNR=6dB、陣元數(shù)M=16且單快拍的條件下，對(duì)兩個(gè)目標(biāo)信號(hào)DOA進(jìn)行估計(jì)的均方根誤差為0.8390°，成功概率為98.35%。

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Single Snapshot DOA Estimation Based on Weighted Smoothed l0Norm

SHAN Zebiao1，LIU Xiaosong1，WANG Chunyang1，CHEN Miao2，SHI Yaowu2
（1.School of Electronics and Information Engineering，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022；2.College of Communication Engineering，Jilin University，Changchun 130022）

In order to improve the estimation accuracy of the existing DOA estimation algorithms based on compressive sensing，a single snapshot DOA estimation algorithm based on weighted smoothed l0norm （WSL0） has been proposed in this article.Firstly，a proper smooth continuous function is constructed by using a new weighting method.According to the initial solution of receiving data，a proper decreasing sequence[σ1,σ2,…,σJ]is given.Solve the minimum value of the approximation function Hσ()S for every singleσby using the steepest descent method.Then set the σ as the initial value of next iteration and update the weights at the beginning of each iteration，thus，the minimum solution of Hσ()S，that is the approximated minimum l0norm can be obtained after a number of iterations.The proposed algorithm is easy to implement and can estimate DOA effectively with high precision.Compared with the DOA estimation algorithm based on unweighted smoothed l0norm，the proposed algorithm has better estimation performance.

array signal processing；DOA estimation；compressive sensing；weighted smoothed l0norm

TN911

A

1672-9870（2017）05-0044-05

2017-07-16

國(guó)防基礎(chǔ)科研計(jì)劃項(xiàng)目（JCKY-2016411C006）；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61571462）

單澤彪（1986-），男，博士，講師，E-mail：zbshan@126.com

王春陽(yáng)（1964-），女，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail：wangchunyang19@163.com