基于馬爾科夫過程的高堆石壩施工度汛決策模型

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(三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

基于馬爾科夫過程的高堆石壩施工度汛決策模型

劉瀲，胡安娜，宋玲，羅舒

(三峽大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院，湖北 宜昌 443002)

高堆石壩施工擋水風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)變性和填筑進(jìn)度的不確定性增加了壩體施工期度汛方案決策的難度。針對高堆石壩施工度汛過程動態(tài)變化的特點(diǎn)，隨機(jī)模擬大壩擋水風(fēng)險(xiǎn)，并將其劃分3個(gè)風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)以判斷度汛行動。以整個(gè)度汛施工期成本最小化為目標(biāo)，考慮洪水來流、填筑進(jìn)度和決策成本等關(guān)鍵因素，建立基于馬爾科夫過程的高堆石壩施工度汛決策模型，分析逐月大壩擋水風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下的度汛策略、成本函數(shù)和風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。在檢驗(yàn)其馬爾科夫特性基礎(chǔ)上，采用決策迭代算法求解每一決策時(shí)刻狀態(tài)下的最優(yōu)施工度汛方案及度汛過程的決策路徑。工程實(shí)例分析表明，該決策模型對高堆石壩施工度汛計(jì)劃策略的調(diào)控結(jié)果符合實(shí)際施工度汛高程變化情況，為指導(dǎo)快速準(zhǔn)確制定大壩施工度汛方案提供了參考。

高堆石壩；施工度汛；風(fēng)險(xiǎn)決策；馬爾科夫過程；成本最小化

1 研究背景

高堆石壩多集中在高山峽谷地區(qū)，洪枯水位流量變化幅度大、填筑周期長[1]。與其他壩型相比，高堆石壩汛期施工考慮因素更多，尤其在大壩高程高于圍堰高程后，度汛方案與時(shí)空聯(lián)系緊密，決策難度更大。尋求科學(xué)的決策方法來有效、實(shí)時(shí)控制風(fēng)險(xiǎn)，確保大壩在汛期安全經(jīng)濟(jì)施工顯得尤為重要。近年來，施工導(dǎo)流度汛決策研究取得了一系列進(jìn)展。范錫峨等[2]、Rasekh等[3]關(guān)注導(dǎo)流風(fēng)險(xiǎn)與收益間的關(guān)系，建立了基于效用函數(shù)的導(dǎo)流方案多目標(biāo)決策模型；鐘登華等[4]根據(jù)期望值、風(fēng)險(xiǎn)承受能力評價(jià)施工導(dǎo)流方案；張超[5]計(jì)算了高堆石壩中期度汛擋水風(fēng)險(xiǎn)，為中期度汛標(biāo)準(zhǔn)的確定提供了參考；李宗坤等[6]建立基于改進(jìn)突變評價(jià)法的土石壩施工期風(fēng)險(xiǎn)評價(jià)模型；劉瀲等[7]考慮施工進(jìn)度對風(fēng)險(xiǎn)交互影響，構(gòu)建擋水風(fēng)險(xiǎn)自適應(yīng)動態(tài)控制模型；薛進(jìn)平等[8]將單一主體風(fēng)險(xiǎn)預(yù)期下的決策行為拓展為多元主體，引入?yún)f(xié)商機(jī)制解決群體參與下的施工導(dǎo)流度汛決策問題。上述研究大多針對施工過程中單一或關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)進(jìn)行度汛風(fēng)險(xiǎn)分析及方案的評價(jià)和擇優(yōu)。

針對高堆石壩施工度汛過程的時(shí)序動態(tài)變化的特性，考慮洪水來流、填筑進(jìn)度、漫頂損失等因素的影響，提煉度汛決策過程的馬爾科夫特性和參數(shù)表達(dá)，構(gòu)建基于馬爾科夫過程的高堆石壩施工度汛決策模型，運(yùn)用迭代決策法求解度汛最優(yōu)決策路徑，為高堆石壩施工度汛措施方案的優(yōu)選提供方法支撐。

2 高堆石壩施工度汛決策特征分析

2.1 度汛動態(tài)決策理論

為實(shí)現(xiàn)高堆石壩施工度汛風(fēng)險(xiǎn)實(shí)時(shí)調(diào)控，將馬爾科夫過程模型引入到施工度汛動態(tài)決策中。馬爾科夫過程是一種描述復(fù)雜系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的數(shù)學(xué)模型，其特點(diǎn)是：當(dāng)前的決策時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)只與前一個(gè)決策時(shí)刻狀態(tài)和行動有關(guān)，與更早決策時(shí)的狀態(tài)和行動獨(dú)立[9]。因此，可以根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)和發(fā)展趨勢預(yù)測未來狀態(tài)發(fā)生及決策過程。高堆石壩施工汛期來臨前需要做出臨時(shí)施工資源調(diào)度決策，決策者需要根據(jù)水文預(yù)測或洪水預(yù)報(bào)及現(xiàn)階段施工進(jìn)度情況確定下一階段的度汛方案。除此之外，隨著大壩施工面貌的變化，也要根據(jù)上一階段實(shí)施方案的效果和目前的狀況，多階段制定決策向量。因此，高堆石壩度汛可看作一個(gè)馬爾科夫決策過程。

2.2 度汛風(fēng)險(xiǎn)定義

高堆石壩施工度汛風(fēng)險(xiǎn)率是確定施工導(dǎo)流方案的關(guān)鍵因素之一。本文定義度汛風(fēng)險(xiǎn)為：入汛后當(dāng)壩體修建到圍堰高程以上，決策時(shí)間點(diǎn)n的壩前水位超過該時(shí)間點(diǎn)所達(dá)到的填筑高程的概率，如式(1)所示。

(1)

式中：P(n)為高堆石壩施工度汛風(fēng)險(xiǎn)率；Dn為n時(shí)刻洪水來流量預(yù)測；Hn為隨機(jī)模擬得到的壩前最高水位；Gn為計(jì)劃填筑的擋水高程；G*為高堆石壩的設(shè)計(jì)高程；f(H|D)為D發(fā)生條件下的n時(shí)刻壩前水位概率密度函數(shù)。

直接求解壩前水位分布函數(shù)困難，因此采取蒙特卡羅(MC)隨機(jī)模擬方法[10]。以P-Ⅲ分布作為洪水序列(洪量)分布，泄流能力參數(shù)假設(shè)僅受到泄流建筑物糙率影響，其服從三角分布，大壩擋水高程可以通過施工進(jìn)度計(jì)劃獲取。

高堆石壩風(fēng)險(xiǎn)率模擬過程為：①汛期來臨前的當(dāng)月月末為計(jì)算起始點(diǎn)；②確定下月洪水序列分布參數(shù)和MC方法的模擬次數(shù)M；③生成洪水過程隨機(jī)數(shù)并模擬下月決策時(shí)間點(diǎn)n的來流；④生成泄流能力參數(shù)隨機(jī)數(shù)，擬合泄流曲線；⑤結(jié)合泄流過程線和洪水過程線，經(jīng)調(diào)洪演算模擬出壩前最高水位Hn；⑥比較Hn和下月計(jì)劃高程Gn；⑦通過反復(fù)模擬，統(tǒng)計(jì)出Hn超過Gn的次數(shù)為MR，則第n個(gè)月的擋水風(fēng)險(xiǎn)P(n)=MR/M；⑧回到步驟②計(jì)算下月?lián)跛L(fēng)險(xiǎn)P(n+1)，直至Gn=G*。

2.3 度汛方案成本分析

施工度汛主要采取3種策略：加快填筑進(jìn)度，壩面過流度汛以及按原計(jì)劃施工[11]。當(dāng)高堆石壩擋水高程高于圍堰高程時(shí)，其決策成本函數(shù)為Lk(k為策略序號，k=1,2,3)。為最大程度減少其他因素對成本的影響，本文只考慮單一決策的成本函數(shù)。

(1)加快擋水高程填筑進(jìn)度。該策略在汛前加大了大壩填筑強(qiáng)度以減小風(fēng)險(xiǎn)，但增加了額外的資源和成本，其成本函數(shù)L1如式(2)所示。

L1=-Cq(n,Δh)-Cp(n,Δh) 。

(2)

式中：Cq為加快進(jìn)度額外增加的成本，例如夜間施工消耗的人工和機(jī)械成本；Cp為在有限資源條件下的機(jī)會成本。L1與決策時(shí)間節(jié)點(diǎn)n和該月水位上升高度Δh相關(guān)。

(2)壩面過流保護(hù)。當(dāng)壩高在施工過程中低于臨時(shí)防洪標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，可采取壩面過水措施。這種情況下，壩面停止填筑作業(yè)進(jìn)行防止過流侵蝕壩面的保護(hù)措施。通常在整個(gè)或部分壩面上采用鋼筋籠、砂漿、干砌石作為保護(hù)，或預(yù)留缺口、或設(shè)置溢流槽。停工進(jìn)行壩面保護(hù)導(dǎo)致進(jìn)度延遲，使得蓄水發(fā)電時(shí)間推后，且發(fā)電效益下降，故該策略成本函數(shù)L2如式(3)所示。

L2=-(C1+C2+C3) 。

(3)

式中：C1為用于圍堰和大壩保護(hù)的鋼筋籠、砂漿和干砌石工程量與單位價(jià)格的乘積；C2為清理費(fèi)用；C3為工期成本，主要包括發(fā)電量損失。

(3)按原進(jìn)度計(jì)劃施工。如本月計(jì)劃上升高度若可滿足防洪要求，可按原施工進(jìn)度計(jì)劃進(jìn)行度汛策略選擇。盡管該策略節(jié)省了趕工和保護(hù)成本，但一旦超標(biāo)洪水發(fā)生，決策者需要承擔(dān)漫壩風(fēng)險(xiǎn)損失。該策略成本函數(shù)L3如式(4)所示。

(4)

式中：Cfi為當(dāng)大壩遭遇超標(biāo)洪水時(shí)未能采取壩面保護(hù)措施和風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警措施時(shí)的損失，包括壩面清理與修復(fù)成本Cf1，淹沒區(qū)域的社會經(jīng)濟(jì)損失Cf2(如果形成潰壩洪水)以及工期損失Cf3。Cf1，Cf3分別與C1，C3的計(jì)算基數(shù)相同，Cf2計(jì)算如式(5)所示。

(5)

式中：Cy為災(zāi)害救援費(fèi)用；δ為間接損失系數(shù)；S為淹沒區(qū)個(gè)數(shù)；βi為第i個(gè)淹沒區(qū)每hm2損失率；Vi為第i個(gè)淹沒區(qū)的淹沒面積。

3 高堆石壩施工度汛決策模型構(gòu)建

3.1 參數(shù)設(shè)計(jì)

將高堆石壩施工度汛過程進(jìn)行分解，汛期從t0到tn劃分n個(gè)決策時(shí)間點(diǎn)(以月為時(shí)間間隔)，通過設(shè)定5個(gè)參數(shù)(X,P,A,R,V)構(gòu)建離散時(shí)間動態(tài)決策數(shù)學(xué)模型。

(1)X(tn)=i(i=1,2,3)表示汛期施工過程中大壩的3種風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)集合，按P(t)的大小歸類。

(2)A(i)=ak(k=1,2,3)為度汛行動集合，包括：①加快臨時(shí)擋水?dāng)嗝娴奶钪俣?；②壩面過流保護(hù)措施；③按原施工計(jì)劃實(shí)施。不同風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)下的度汛行動可組成策略向量Π(i),Π(i)∈A(i)。

(3)P=[Pij]為轉(zhuǎn)移概率矩陣，Pij=P{X(tn)=j|X(tn-1)=i,A(i) }(i,j=1,2,…,m)表示在tn通過行動A(i) (n=0,1…)使得狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到j(luò)的概率，可通過經(jīng)驗(yàn)估計(jì)或統(tǒng)計(jì)手段獲取。

(4)R(i,Π(i))=Rk為回報(bào)函數(shù)，表示決策者采取策略Π(i)從狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j時(shí)的預(yù)期收益或成本。影響回報(bào)函數(shù)的因素有擋水風(fēng)險(xiǎn)、進(jìn)度(發(fā)電)收益或損失、漫壩損失、過流保護(hù)措施成本等。

(5)在度汛方案決策時(shí)，要共同考慮當(dāng)前和未來的決策回報(bào)。VΠ(n)為第n時(shí)刻在i狀態(tài)下選擇策略Π(i)的總成本，令其為目標(biāo)函數(shù)，使其最小。

3.2 馬爾科夫檢驗(yàn)

檢驗(yàn)高堆石壩施工度汛隨機(jī)過程是否具有馬爾科夫性，是應(yīng)用馬爾科夫過程分析的必要前提。通常離散序列的馬爾科夫決策過程可以用χ2分布來檢驗(yàn)。本文所涉狀態(tài)集包含m個(gè)可能的狀態(tài)，用Nij表示在(t1,t2,…，tn)時(shí)間序列中高堆石壩擋水風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)從i轉(zhuǎn)移到j(luò)的頻數(shù)。將轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣第j列之和除以各行列的總和所得的值稱為“邊際概率”，記為Pj*，狀態(tài)i轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率記為Pij，如式(6)所示。

(6)

3.3 迭代過程

由于風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)集X(tn)以及策略Π為有限集，因此可采用折扣公式。通過比較各策略下的折扣總期望收益，運(yùn)用策略迭代法，在Π中尋找最優(yōu)策略。首先計(jì)算VΠ顯式，然后用行動函數(shù)QΠ和最優(yōu)策略函數(shù)進(jìn)行策略改進(jìn)，如式(7)和式(8)所示。

(7)

Π′(i)=arg maxQΠ(i,ak) 。

(8)

式中：QΠ為在狀態(tài)i下采取行動ak，其他狀態(tài)采用策略Π的期望回報(bào)；γ為折扣因子，0lt;γlt;1。由于策略數(shù)目有限，算法經(jīng)過有限次迭代最終可收斂于最優(yōu)策略。計(jì)算步驟如下：

(1)設(shè)定初始值。選取高堆石壩施工原進(jìn)度計(jì)劃下的度汛策略作為初始平穩(wěn)策略Π。

(2)策略求解。通過解m元m次線性方程組求得策略Π下的VΠ函數(shù)值，如式(9)所示。

(9)

(3)策略改進(jìn)。應(yīng)用式(7)、式(8)，任意組合行動求解，但優(yōu)先考慮當(dāng)前初始選定的行動[12-13]。

(4)收斂檢驗(yàn)。如果Π′與Π相等，進(jìn)入步驟(5)，否則令Π=Π′，回到步驟(2)。

(5)返回該時(shí)刻下的最優(yōu)策略Π*。

高堆石壩施工度汛最優(yōu)決策計(jì)算流程見圖1。

圖1高堆石壩施工度汛決策計(jì)算流程

Fig.1Flowchartofdecision-makingforconstructionofhighrock-filldaminfloodperiod

4 算例分析

4.1 項(xiàng)目背景

TK水電站的攔河壩為面板堆石壩，壩頂高程171.00 m，根據(jù)施工導(dǎo)流方式，結(jié)合進(jìn)度安排，上下游圍堰均采用土石過水圍堰型式。圍堰的擋水標(biāo)準(zhǔn)為枯水期(10月份—次年4月份)10 a一遇洪水，相應(yīng)設(shè)計(jì)流量為2 420 m3/s，過水標(biāo)準(zhǔn)為全年20 a一遇洪水，相應(yīng)設(shè)計(jì)流量為10 400 m3/s，結(jié)合導(dǎo)流洞泄流。根據(jù)施工總進(jìn)度安排，圍堰過水1個(gè)汛期后可由壩體臨時(shí)斷面擋水或過水。TK電站施工期導(dǎo)流度汛計(jì)劃方案如表1所示。

表1 TK水電站施工期導(dǎo)流度汛計(jì)劃方案

4.2 風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算

大壩汛期擋水風(fēng)險(xiǎn)分析參數(shù)來源分別如下：汛期洪量統(tǒng)計(jì)服從P-Ⅲ分布，其均值、變差系數(shù)和偏態(tài)系數(shù)均通過壩址歷史洪水資料統(tǒng)計(jì)得出；導(dǎo)流系統(tǒng)采用導(dǎo)流隧洞泄流，泄流能力服從三角分布，其分布參數(shù)下限a=0.011，中值b=0.015，上限c=0.020；通過對入流流量和泄流流量的隨機(jī)模擬，結(jié)合調(diào)洪演算，可以得出分月可能的最高壩前水位Hn+1；通過隨機(jī)模擬法統(tǒng)計(jì)Hn+1超過Gn的次數(shù)MR，并除以模擬次數(shù)M得出該月的大壩擋水風(fēng)險(xiǎn)率。將汛期施工從第3年10月份至第4年9月份按月劃分為8個(gè)決策時(shí)間點(diǎn)，施工期大壩汛期擋水風(fēng)險(xiǎn)模擬計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 不同月份大壩汛期擋水風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算結(jié)果

4.3 月度汛策略

將風(fēng)險(xiǎn)由小到大排列，為符合馬爾科夫模型計(jì)算要求，經(jīng)檢驗(yàn)，應(yīng)用聚類法[14]將風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算結(jié)果分為3種狀態(tài)類型較為合適。結(jié)果lt;0.2%為低風(fēng)險(xiǎn)，[0.2%,0.6%]為中等風(fēng)險(xiǎn)，gt;0.6%為高風(fēng)險(xiǎn)。頻率矩陣Nij和轉(zhuǎn)移矩陣Pij通過風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)移頻率獲得，如式(10)所示。

(10)

設(shè)定折扣因子γ=0.9，將預(yù)期成本最小的一組度汛行動Π0(1)=(a2,a3,a2)作為初始策略。進(jìn)而采用策略迭代算法進(jìn)行策略改進(jìn)，其結(jié)果如表4所示。

表3 風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率及回報(bào)函數(shù)結(jié)果

表4 策略改進(jìn)的迭代過程

由表4可知，通過2次迭代找到了不同風(fēng)險(xiǎn)水平下的最優(yōu)度汛策略。這意味著無論此刻擋水風(fēng)險(xiǎn)大小如何，采用壩面過流方案可確保成本最小，為該時(shí)間點(diǎn)的最優(yōu)度汛策略。

4.4 度汛決策路徑

同理，依次得出每個(gè)決策時(shí)間點(diǎn)的任一狀態(tài)所對應(yīng)的最優(yōu)策略，將最優(yōu)策略的集合存儲在離線策略表中，根據(jù)實(shí)際每月的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測值進(jìn)行狀態(tài)劃分，查表得到優(yōu)化后的方案序列，組成施工期度汛決策最優(yōu)路徑，如表5所示。

表5 原度汛決策與優(yōu)化后決策路徑對比

由表5可知，而在洪水流量較小的9—11月份，決策的方案與原計(jì)劃方案相同，均為計(jì)劃填筑下的臨時(shí)壩面擋水，不采取其他防汛措施。而在汛期的第4年的6月份、8月份和9月份二者結(jié)果產(chǎn)生差異。6月份原計(jì)劃的過水變?yōu)閾屩?月份原計(jì)劃的臨時(shí)擋水策略變?yōu)檫^水，9月份原計(jì)劃擋水策略變?yōu)榧涌焓┕みM(jìn)度搶筑高程，更大程度上減小了施工期度汛成本。在實(shí)際工程建設(shè)中，TK電站壩體在6—9月份進(jìn)行了填筑高程的修改，由原計(jì)劃的30～37 m增加至44 m，恰好符合該模型預(yù)測出的在該時(shí)間段需要采取高程搶筑的策略。

5 結(jié) 語

本文針對高堆石壩施工期當(dāng)前風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)，構(gòu)建基于馬爾科夫過程的度汛決策模型，對未來風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)和度汛方案決策進(jìn)行預(yù)測。算例分析表明，該模型對高堆石壩施工度汛計(jì)劃策略的調(diào)控結(jié)果符合實(shí)際施工度汛高程變化情況，對確定大壩中后期度汛標(biāo)準(zhǔn)與方案制定以及施工進(jìn)度計(jì)劃安排具有一定的指導(dǎo)作用。然而，水電工程施工具有較強(qiáng)的實(shí)時(shí)性，前一階段預(yù)測的方案執(zhí)行后的結(jié)果對下一階段風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)具有反饋影響，在本文中未有考慮。為解決此問題，預(yù)測模型必須具備外部環(huán)境進(jìn)行交互的能力，最終實(shí)現(xiàn)預(yù)測—控制—修正—反饋的決策機(jī)制，將是后續(xù)研究的側(cè)重點(diǎn)。

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(編輯：羅 娟)

Decision-making Model for High Rock-fill Dam Construction in Flood Period Based on Markov Process

LIU Lian，HU An-na，SONG Ling，LUO Shu

(College of Hydraulic and Environmental Engineering，Three Gorges University，Yichang 443002，China)

Time variation of water-retaining risk and uncertainty of filling progress aggravate the difficulties in making decision for high rock-fill dam construction in flood period. Accordingly, the water retaining risk of high rock-fill dam was calculated by stochastic simulation, and then was classified into three risk states which could indicate the decision actions. With the objective of minimizing the cost of the entire construction process in flood season, the critical factors such as incoming flood flow, filling schedule and cost of decisions were taken into account to build a decision-making model based on Markov Processes. By using this model, the flood prevention strategies, cost functions and transfer probability for each risk degree were analyzed. After testing the Markov property, the optimal strategy for each state at current time and a sequential risk decision path in this process can be predicted by strategy iteration method. A study case shows that the adjustment results by the proposed model consists well with the actual construction plan change for water retaining elevation. The results offer reference for timely and accurate flood prevention scheme in construction period.

high rock-fill dam; construction in flood period; risk decision making; Markov Process; cost minimizing

10.11988/ckyyb.20160740 2017,34(11):39-43

2016-07-21；

2016-09-05

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51509143)；長江科學(xué)院開放研究基金項(xiàng)目(CKWV2016398/KY)

劉 瀲(1986-)，女，湖北宜昌人，講師，博士，研究方向?yàn)樗姽こ淌┕づc管理，(電話)13986742217(電子信箱)313293608@qq.com。

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1001-5485(2017)11-0039-05