芯層可壓縮的夾層梁動態(tài)剛度矩陣研究

王海英，張桂勇

（1.大連海洋大學(xué) 航海與船舶工程學(xué)院，遼寧 大連116023；2.大連理工大學(xué) 船舶工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

芯層可壓縮的夾層梁動態(tài)剛度矩陣研究

王海英1，張桂勇2

（1.大連海洋大學(xué) 航海與船舶工程學(xué)院，遼寧 大連116023；2.大連理工大學(xué) 船舶工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

該文推導(dǎo)了考慮芯層垂向壓縮變形影響的夾層梁的動態(tài)剛度矩陣，為動態(tài)剛度矩陣方法提供了一種新的單元類型。首先給出了一種考慮夾層梁芯層垂向壓縮變形影響的夾層梁位移模式，推導(dǎo)了相應(yīng)的夾層梁動能和勢能，根據(jù)Hamilton原理推導(dǎo)了其控制微分方程，按動態(tài)剛度矩陣的一般推導(dǎo)過程推導(dǎo)了考慮芯層垂向壓縮變形影響的夾層梁動態(tài)剛度矩陣。計算結(jié)果表明文中推導(dǎo)的夾層梁動態(tài)剛度矩陣是正確可靠的；在夾層梁的動態(tài)剛度矩陣推導(dǎo)和高頻振動計算中考慮芯層垂向壓縮變形是合理的。

動態(tài)剛度矩陣；夾層梁；固有頻率

0 引 言

夾層梁是一種由金屬面板及粘彈性材料芯板所組成的復(fù)合結(jié)構(gòu)，具有比重量輕、比強度大的力學(xué)優(yōu)點，廣泛應(yīng)用于對材料重量和強度要求較高的航空航天、艦船等工程領(lǐng)域，其動態(tài)特性研究受到廣泛關(guān)注，且理論趨于成熟。

動態(tài)剛度矩陣法是源于但優(yōu)于有限元法的一種解決結(jié)構(gòu)動力問題的計算方法，它尤其適合于對精度要求較高的高階的結(jié)構(gòu)動力分析問題。同有限元方法一樣，在夾層梁動態(tài)剛度矩陣研究中首先建立合理有效的結(jié)構(gòu)簡化模型是解決問題的關(guān)鍵。但這種方法不受單元數(shù)量和精度的限制，只需對結(jié)構(gòu)劃分極少數(shù)單元就可以得到結(jié)構(gòu)精確解，甚至通過單一的結(jié)構(gòu)單元就可以在保證精度條件下得到結(jié)構(gòu)任意階的固有頻率，而這在一般有限元方法中是不能實現(xiàn)的。雖然早期學(xué)者在動態(tài)剛度矩陣研究中已經(jīng)取得了顯著成果，但是針對夾層梁等復(fù)合結(jié)構(gòu)的動態(tài)剛度矩陣方法研究還存在相當?shù)碾y度。Banerjee[1]首先將動態(tài)剛度矩陣方法應(yīng)用于夾層梁的動態(tài)特性研究中，并逐漸完善。在其早期研究中，夾層梁的上下面板被簡化成Bernoulli-Euler梁，即只考慮抗彎作用，而芯層則只起到抗剪作用。Howson和Zare[3]也在這種模型假設(shè)下進行了夾層梁的動態(tài)剛度矩陣研究，但這種模型只適合求解低頻問題。隨后Banerjee和Sobey[2]又對該模型進行了改良，上下面板假設(shè)為Rayleigh梁，芯層則假設(shè)為Timoshenko梁，均計入了剪切變形的影響。在這基礎(chǔ)上，Banerjee和Cheung等[4]又推導(dǎo)了3層均遵循Timoshenko梁理論假設(shè)的夾層梁動態(tài)剛度矩陣，并對其理論結(jié)果進行了試驗驗證。Banerjee和Sua等[5]又研究了計入彎曲變形和轉(zhuǎn)動慣量影響的夾層梁模型的動態(tài)剛度矩陣，并將其應(yīng)用到復(fù)合機翼的振動研究當中。Li和Hua等[6]用動態(tài)剛度矩陣方法分析了具有軸向載荷作用的夾層梁的動態(tài)特性，其模型計入了夾層梁的軸向載荷、軸向變形、剪切變形以及轉(zhuǎn)動慣量的影響。此外，還有研究者將動態(tài)剛度矩陣推廣到了板及復(fù)合板的研究當中，也取得了一定成果[7-8]。

最近有研究表明[9]，當夾層結(jié)構(gòu)的芯層較厚或者分析其高頻振動問題時，若不能體現(xiàn)芯層的垂向壓縮變形的影響，則會影響結(jié)果精度。本文在前人工作基礎(chǔ)上推導(dǎo)了考慮芯層垂向壓縮變形的夾層梁動態(tài)剛度矩陣，其中面板考慮剪切變形的影響，芯層則同時考慮了剪切和垂向壓縮兩種變形的影響。首先給出了考慮芯層壓縮變形影響的夾層梁控制微分方程；通過符號運算將微分方程合并成一個6階代數(shù)特征值問題并給出解析解；根據(jù)本構(gòu)關(guān)系推導(dǎo)出頻率相關(guān)的系統(tǒng)動態(tài)剛度矩陣；應(yīng)用Wittrick-Williams算法求解了所得自由振動動態(tài)剛度矩陣方程。通過算例表明：本文推導(dǎo)的夾層梁動態(tài)剛度矩陣是正確可靠的；在夾層梁的動態(tài)剛度矩陣推導(dǎo)和高頻振動計算中考慮芯層垂向壓縮變形是合理的。

1 夾層梁的控制微分方程及其解

假設(shè)一三層均為各向同性的均勻夾層梁結(jié)構(gòu)，長為L，寬為b；上下面層的厚度為ti，質(zhì)量密度為ρi，彈性模量為 Ei，慣性矩為 Ii；芯層的厚度為 h，密度為 ρc，彈性模量為 Ec，慣性矩為 Ic。 其中 i=1，2，分別表示上下面層，下文同。

夾層梁上下面層遵循Timoshenko梁變形假定，芯層在Timoshenko梁變形假定基礎(chǔ)上，考慮了其垂向位移，即撓度wc沿厚度方向的變化。假定各層局部坐標原點為幾何中心，垂向撓度方向為y軸，向上為正；梁軸向方向為x軸，左手坐標系統(tǒng)。則位移模式如下：

根據(jù)以上位移模式，推導(dǎo)出夾層梁的動能T及勢能U，代入拉格朗日方程L=T-U，再應(yīng)用Hamilton原理可得如下微分方程：

同時可得層1和層2軸向力與廣義位移關(guān)系：

層1和層2的彎矩與廣義位移關(guān)系：

層1和層2的剪切力與廣義位移關(guān)系：

假設(shè)層 1 和層 2 位移 u1、u2、φ1、φ2、w1、w2為時間的正弦函數(shù)，則可表示為：

將（17）式代入（5）-（10）式，引入無量綱參數(shù) ξ=x/L，并記 D=d/dξ，則可得到：

此處將位移幅值轉(zhuǎn)化為指數(shù)形式：

代入（18）-（22）式，令方程組的系數(shù)矩陣行列式為零，可得關(guān)于ε的12階多項式特征值方程：

引入 λ=ε2，則上式可表示為：

方程（25）的根由一般搜根方法求得。

設(shè) U1、U2、Φ1、Φ2、W1、W2解的形式為：

其中的系數(shù) αj，βj，γj，κj和 μj可由下式通過 Cramer法則求得：

將（17）、（26）式和（27）式代入（11）-（16）式，并引入無量綱參數(shù) ξ=x/L，可得：

2 夾層梁動態(tài)剛度矩陣

將（27）式代入上式，并寫成矩陣形式：

或者寫作：

或者寫作：

其中矩陣元素tij具體表示如下：

這里 j=1，…12。

聯(lián)合（36）式和（37）式可得：

其中矩陣K=TH-1，即為所求夾層梁的動態(tài)剛度矩陣。

假設(shè)一三層均為各向同性的均勻夾層梁結(jié)構(gòu)，長為L，寬為b；上下面層的厚度為ti，質(zhì)量密度為ρi，彈性模量為Ei，慣性矩為Ii；芯層的厚度為h，密度為ρc，彈性模量為Ec，慣性矩為Ic。 其中i=1，2，分別表示上下面層，下文同。

3 數(shù)值計算

算例1 為驗證本文推導(dǎo)正確效性，取文獻[4]中所給算例進行計算比較：各層橫截面為矩形均勻梁的夾層梁，L=500 mm，b=40 mm，t1=15 mm，t2=tc=20 mm。文中所用到的鋼材質(zhì)和橡膠材質(zhì)的物理參數(shù)如下：Es=210 GPa，Gs=80 GPa，ρs=7 850 kg/m3，Er=1.5 MPa，Gr=0.5 MPa，ρr=950 kg/m3。 其中下角標 s表示鋼材質(zhì)，下角標r表示橡膠材質(zhì)。剪切修正系數(shù)取2/3。梁一端剛固一端自由。

算例2 算例1中梁模型幾何特性及邊界條件不變，但采用石墨芯層，物理量為（用下標l表示）：El=16 GPa，Gl=5.5 GPa，ρl=11 100 kg/m3。

應(yīng)用動態(tài)剛度矩陣法分別計算兩算例梁模型固有頻率。取前四階固有頻率結(jié)果進行比較分析，如表1所示。從表1中可以看出，本文算例1計算結(jié)果低于文獻[4]計算結(jié)果，這是因為在本文的動態(tài)剛度矩陣推導(dǎo)過程中，考慮了夾層梁芯層的垂向壓縮變形的影響，當芯層較軟，即模量與面梁相比很小的情況下，這種影響是不可忽略的。而本文算例2計算結(jié)果與文獻[4]結(jié)果吻合較好，這是因為算例2中的芯層彈性模量與面梁彈性模量相差不大，且芯層密度大，所以芯層的垂向壓縮變形影響不大。

表1 懸臂夾層梁前四階固有頻率Tab.1 Natural frquencies of sandwich beams with cantilever end conditions

算例3為說明在推導(dǎo)夾層梁動態(tài)剛度矩陣中考慮芯層垂向壓縮變形的合理性，分別計算考慮及不考慮芯層垂向壓縮變形的夾層梁的固有頻率。本算例取自ABAQUS的考題集。懸臂梁幾何及物理參數(shù)：L=1 000 mm，b=100 mm；t1=t2=4 mm，Ei=1.0×107N/cm2；芯層厚度 tc=50 mm，Gc=1.0×104N/cm2。 在ABAQUS考題集中只給定了芯層的泊松比及剪切模量，忽略了其它物理參數(shù)。此算例中本文主要反映芯層的垂向壓縮變形，因此根據(jù)各向同性材料楊氏模量與剪切模量間的計算關(guān)系，取Ec=2.0×104N/cm2。本文不考慮芯層垂向壓縮模型是假定夾層梁面層和芯層具有相同的撓度，并略去芯層垂向應(yīng)變和應(yīng)力的相關(guān)項。計算結(jié)果見表2。

表2 懸臂夾層梁高階固有頻率Tab.2 Natural frquencies of sandwich beams with cantilever end conditions

從結(jié)果表2中可以看出，本文考慮可壓縮解與不考慮可壓縮解在前40階吻合較好，但是在第42階考慮可壓縮解與不考慮可壓縮解相差12 Hz?？梢姂冶哿涸诘?2階產(chǎn)生了對稱的彎曲變形，即芯層產(chǎn)生了垂向壓縮變形，而不考慮垂向可壓縮變形模型則未顯示這一變形結(jié)果，導(dǎo)致兩種結(jié)果相差較大。由于動態(tài)剛度矩陣一般用于結(jié)構(gòu)的高頻振動研究，因此在推導(dǎo)夾層梁的動態(tài)剛度矩陣時考慮芯層垂向可壓縮變形的影響是至關(guān)重要的。

4 結(jié) 論

本文在考慮夾層梁芯層垂向壓縮變形影響的夾層梁位移模式基礎(chǔ)上，推導(dǎo)了考慮芯層垂向壓縮變形影響的夾層梁動態(tài)剛度矩陣。利用所得動態(tài)剛度矩陣分別計算了以橡膠和石墨為芯層材料的懸臂夾層梁的前四階固有頻率，所得結(jié)果與文獻結(jié)果相比較，證明本文方法是正確可靠的；利用經(jīng)典算例分別計算其考慮及不考慮芯層垂向壓縮變形的模型高階固有頻率，結(jié)果對比表明在夾層梁動態(tài)剛度矩陣推導(dǎo)和高頻計算中考慮芯層垂向壓縮變形是合理的。

[1]Banerjee J R.Free vibration of sandwich beams using the dynamic stiffness method[J].Computers and Structures,2003,81(1):1915-1922.

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[3]Howson W P,Zare A.Exact dynamic stiffness matrix for flexural vibration of three-layered sandwich beams[J].Journal of Sound and Vibration,2005,282(5):753-767.

[4]Banerjee J R,Cheung C W,Morishima R,et al.Free vibration of a three-layered sandwich beam using the dynamic stiffness method and experiment[J].International Journal of Solids and Structures,2007,44(12):7543-7563.

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[9]王海英,趙德有.芯板橫向可壓縮位移模式的夾層板結(jié)構(gòu)動力有限元分析[J].船舶力學(xué),2009,13(3):795-805.Wang Haiying,Zhao Deyou.Finite element analysis for sandwich plates with moderately thick viscoelastic cores[J].Journal of Ship Mechanics,2009,13(3):795-805.

Exact dynamic stiffness matrix of sandwich beams with vertically compressed core

WANG Hai-ying1,ZHANG Gui-yong2
(1.Navigation and Naval Architecture College,Dalian Ocean University,Dalian 116023,China;2.School of Naval Architecture Engineering,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

An accurate dynamic stiffness matrix for a sandwich beam with vertically compressed core is developed and subsequently used to investigate its free vibration characteristics.Each face layer of the beam is idealized by the Timoshenko beam theory.Linear variation of displacements through the thickness of the core is assumed,so that the transverse normal deformation is taken into account.The combined system is reduced to a twelfth-order system using symbolic computation.An exact dynamic stiffness matrix is then developed by relating amplitudes of harmonically varying loads to those of the responses.The resulting dynamic stiffness matrix is used with particular reference to the Wittrick-Williams algorithm to carry out the free vibration analysis of a few illustrative examples.

dynamic stiffness matrix;sandwich beam;natural frequency

O327

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.11.008

1007-7294（2017）11-1383-10

2017-04-01

國家自然科學(xué)基金項目（51579042）

王海英（1980－），女，講師，E-mail：wanghaiying@dlou.edu.cn；

張桂勇（1978－），男，教授，博士生導(dǎo)師。