一類高階非線性系統(tǒng)的有限時間鎮(zhèn)定問題
2017-11-24 00:05謝晶
科技資訊 2017年27期
謝晶
摘 要：研究了一類高階非線性系統(tǒng)停息時間可調的有限時間穩(wěn)定性分析與控制器設計問題。利用有限時間Lyapunov定理的反步構造法，設計狀態(tài)反饋有限時間控制器，并實現(xiàn)停息時間的適當調整。
關鍵詞：非線性系統(tǒng) 有限時間鎮(zhèn)定 反步構造法
中圖分類號：TP273 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）09（c）-0219-02
近十多來年，有限時間穩(wěn)定與鎮(zhèn)定問題受到了較大的關注，得到了廣泛的研究[1-7]。對比于Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性，有限時間穩(wěn)定性具有動態(tài)響應速度快、穩(wěn)態(tài)跟蹤精度高、對參數(shù)攝動和外部干擾具有強魯棒性等特性。
1 問題的提出
在本文中，考慮一類具有如下形式的高階非線性系統(tǒng)：
（1）
其中，是間距系統(tǒng)的狀態(tài)向量，為系統(tǒng)控制輸入，是連續(xù)函數(shù)，且。為奇數(shù)之比，且。
為了討論方便，定義，，下面給出系統(tǒng)（1）滿足的假設條件：
假設1：存在數(shù)，且，使得，其中。
假設2：取如假設1所示，系統(tǒng)（1）滿足下式
，； 是已知C1的函數(shù)
2 控制器設計
這部分我們利用反步構造法[2]，設計一個狀態(tài)反饋控制器，使得系統(tǒng)（1）有限時間穩(wěn)定。
步驟1：首先構造Lyapunov函數(shù)，取，由假設2得：
（3）
定義連續(xù)的虛擬控制，其中是函數(shù)，常數(shù)是待定的設計參數(shù)，下文將證明的值對于調整停息時間起關鍵作用。則
（4）
步驟2（歸納假設）：
假設在第k-1步，存在一個Lyapunov函數(shù)，使 （5）定義虛擬控制如下：
其中是函數(shù)，且
（6）
下證在第k步中， 不等式（5）和（6）也成立。
令， 其中
則是光滑的，正定的，適定函數(shù)，且滿足。
并且，，有
（7）
由文獻[1]得：
，. （8）
；. （9）
；. （10）
將（8）-（10）代入（7）式，得：
令， .則 （11）
步驟3：當時，令，則
成立.
令實際反饋控制率為，可知.
3 有限時間穩(wěn)定性分析
為了證明該系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定性，選擇，由知。因此，容易推出：
。
可知系統(tǒng)（1）是全局有限時間穩(wěn)定的，并且停息時間滿足進一步，由于是待定參數(shù)，若系統(tǒng)的初始值已知，那么通過選擇，可實現(xiàn)停息時間的任意調整。至此，控制設計完畢。
參考文獻
[1] Qian C and Lin W. A continuous feedback approach to global strong stabilization of nonlinear systems[J].IEEE Transaction on Automatic Control，2001，46（7）：1061-1079.
[2] Haimo V T. Finite-time controllers [J]. SIAM Journal on Control and Optimization，1986，24（4）：760-770.
[3] Bhat S P， Bernstein D S. Finite-time stability of continuous autonomous systems[J]. SIAM Journal on Control and Optimization， 2000，38（3）：751-766.
[4] Bhat S P， Bernstein D S. Continuous finite-time stabilization of the translation and rotational double integrators[J]. IEEE Transaction on Automatic Control，1998，43（5）：678-682.
[5] Hong Y，Wang J，Xu Y. On an output feedback finite-time stabilization problem[J].IEEE Transaction on Automatic Control，2001，46（2）：305-309.
[6] Hong Y，F(xiàn)inite-time stabilization and stabilizability of a class of controllable systems[J].Systems and Control Letters，2002，46（4）：231-236.
[7] Jiang Z， Mareels I. Robust nonlinear integral control[J].IEEE Transaction on Automatic Control，2001（46）：1336-1342.endprint
