正交Hermite-Padé表中沿對角遞推公式

陶長虹, 夏迎春, 褚 標(biāo)

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.安慶市石化第一中學(xué),安徽 安慶 246001)

正交Hermite-Padé表中沿對角遞推公式

陶長虹1, 夏迎春2, 褚 標(biāo)1

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.安慶市石化第一中學(xué),安徽 安慶 246001)

文章首先建立了正交多項(xiàng)式序列中任意兩項(xiàng)乘積的公式,然后在正規(guī)性條件下,在s維正交H-P (Hermite-Padé)表中沿對角線遞推地構(gòu)造正交H-P多項(xiàng)式序列,解決了正交H-P多項(xiàng)式的計(jì)算問題,并給出了余項(xiàng)估計(jì)式。

正交多項(xiàng)式;唯一性;Hermite-Padé逼近;Hermite-Padé表;對角遞推公式

0 引 言

Hermite-Padé(H-P)逼近是利用函數(shù)的形式級數(shù)對函數(shù)在原點(diǎn)附近進(jìn)行逼近[1-7];正交H-P逼近是對函數(shù)的正交多項(xiàng)式展開式在區(qū)間上進(jìn)行的整體逼近[8-12],兩者都有較重要的理論意義。

建立正交H-P逼近多項(xiàng)式表中的遞推關(guān)系對于正交H-P多項(xiàng)式的計(jì)算有著重要的意義。文獻(xiàn)[13]給出了正交H-P多項(xiàng)式表中的恒等式及相鄰頁面間的關(guān)系。本文給出在正交H-P多項(xiàng)式表中沿對角線的遞推關(guān)系,由此關(guān)系可計(jì)算正交H-P多項(xiàng)式表。

1 引 理

gn(x)=(x-an)gn-1(x)-bngn-2(x)

(1)

其中

g0(x)=1,g1(x)=x-a1;

n=1,2,…

(2)

M=max{m,n},N=min{m,n},

則

(3)

(4)

當(dāng)N≥2時(shí),可遞推計(jì)算出。

(5)

P(x)U(x)=

(6)

2 定 義

給定正交級數(shù)展開式

其中,s為大于1的整數(shù),則稱U=(U1(x),U2(x),…,Us(x))為級數(shù)組。

給定向量L=(l1,l2, …,ls),li≥-1, 為整數(shù)且L中至少有一個(gè)分量非負(fù)。

定義1 設(shè)P1(x),P2(x),…,Ps(x)分別為次數(shù)不超過l1,l2, …,ls的廣義多項(xiàng)式,li為整數(shù)且li≥-1(若li=-1,則Pi(x)≡0)。若P1(x),P2(x),…,Ps(x) 不全恒為0且

(7)

則稱Φ(L)=(P1(x),P2(x),…,Ps(x))為U的L型正交H-P多項(xiàng)式(orthogonal Hermite-Padé polynomial,OHPP)。記

R(x)=O(gλ(L)(x))=cλ(L)gλ(L)(x)+…。

(8)

由推論2及(7)式或(8)式可得到一個(gè)含有P1(x),P2(x),…,Ps(x)、λ(L)+1個(gè)未知數(shù)、λ(L)個(gè)線性齊次方程的方程組。該方程組一定有非零解,即P1(x),P2(x),…,Ps(x)(即Φ(L))總存在。這樣的解不唯一,因而Φ(L)不唯一,但在下面的正規(guī)性條件下它是唯一的[4]。

定義2 若級數(shù)組U對任何滿足上述假設(shè)的向量L都有

Δ(L)=Δ(l1,l2,…,ls)=

在下文中,總是假設(shè)U是正規(guī)的。

3 正交H-P表中沿對角遞推公式

下面的遞推關(guān)系是在s維正交H-P表中進(jìn)行的。

令L-1=(-1,-1,…,-1),Lj=Lj-1+Ed,j=0,1,2,…,其中,Ed為s維單位向量,其中第d個(gè)分量為1,其余分量為0。并記Lj=(lj1,lj2, …,ljs)。

下面的定理1將在正交H-P表中以顯示方式、遞推地構(gòu)造OHPP序列{Φ(Lj)}(j=0,1,…),其中,g(x)Φ(Lj)=(Pj1(x),Pj2(x), …,Pjs(x)), degPji=lji,i=1, 2, …,s。此外,若記

則

ord(Rj(x))=j,j=0,1,2, …

(9)

Φ(L0)=Ed0, 相應(yīng)地有R0(x)=Ud0(x)。對于任意n> 0,利用已知的Φ(Lj)及相應(yīng)的余項(xiàng)Rj(x)(j

在算法中,Φ(Ln)的第dn個(gè)分量必須滿足degPn dn>degPj dn。定理1是最簡便的一種方法:Φ(Ln)為向量(0,0,…,0,glndn(x), 0, …, 0)(第dn個(gè)分量不為0)及Φ(L0),Φ(L1),…,Φ(Ln-1)的線性組合。因?yàn)棣?Ln)與向量(0,0,…,0,glndn(x),0,…,0)相乘的結(jié)果為glndn(x)×Udn(x)=udndn+…,所以由(7)式知,可以選擇適當(dāng)?shù)慕M合系數(shù),使得對應(yīng)組合式中的余項(xiàng)Rn(x)滿足ord(Rn(x))=n。

對任意n≥0,在表中可由(10)～(12)式計(jì)算Φ(Ln),由(13)式計(jì)算余項(xiàng)Rn(x),具體如下：

(10)

其中,ln=ln dn;

(11)

(12)

余項(xiàng)Rn(x)的系數(shù)為:

(13)

上述結(jié)論顯然:由(10)式知,對任意αk,都有degPni≤lni,i=1,2,…,s; degPn dn=ln。由推論1,對應(yīng)(Pn1(x),Pn2(x), …,Pns(x))的余項(xiàng)

(14)

其中,sdnk由(12)式給出;由(9)式、(11)式可依次消去Rn(x)中的g0(x),g1(x), …,gn-1(x)項(xiàng),從而有ord(Rn(x))≥n。

下面的定理都假設(shè)Ln-1的各分量

ln-1, i≥0,i=1,2,…,s

(15)

令m為滿足下列條件的最大整數(shù):m≤n-s,至多有一個(gè)Ln-Lm中的某個(gè)分量為0。

如果Ln-Lm中恰好存在為0的分量(記為第z個(gè)),那么一定存在整數(shù)m′、m″,滿足m

定理1 若對任何j,m

(16)

其中

j=m-1,m,…,n-1

(17)

(18)

(19)

證明由(19)式及假設(shè)知,m> 0。

首先根據(jù)引理1計(jì)算βjs′,γjs′,然后再用(16)～(19)式計(jì)算Φ(Ln)。

顯然,當(dāng)j

(20)

第i(i=1,2,…,s,i≠dn)個(gè)分量的次數(shù)不超過相應(yīng)的ln i,因此

注利用(16)～(19)式計(jì)算OHPP比較費(fèi)時(shí),但在ln=0時(shí)必須使用這些關(guān)系。當(dāng)條件(16)式不滿足時(shí),可應(yīng)用定理2。

定理2 若m>0,存在正整數(shù)i,m

(21)

αj由(17)式得到,此時(shí)有：

余項(xiàng)Rn(x)由(19)式確定。

證明排列U1(x),U2(x),…,Us(x)使z=1(即第Lm,Lm+1, …,Ln的第1個(gè)分量值相同),dj1=2,…,djq=q+1,dn=dn′=q+2。

而ljidn

因?yàn)長n-1-Ln′的前q+2個(gè)分量為0,其余為正,所以對任何αj,(21)式右端的第k(k=1,2,…,s)個(gè)分量的次數(shù)都不超過lnk;當(dāng)k=q+2時(shí),等于lnk。按照(17)式選擇αj即可使與Φ(Ln)對應(yīng)的余式Rn(x)滿足ord(Rn(x))≥n。證畢。

4 結(jié) 論

本文在s維正交H-P表中沿對角線遞推地構(gòu)造正交Hermite-Padé多項(xiàng)式序列,解決了正交Hermite-Padé多項(xiàng)式的計(jì)算問題,并給出了余項(xiàng)估計(jì)式。

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DiagonalrecursiveformulaonorthogonalHermite-Padétable

TAO Changhong1, XIA Yingchun2, CHU Biao1

(1.School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.Anqing Shihua No.1 Middle School, Anqing 246001, China)

The product formula of any two polynomials in an orthogonal polynomial sequence is first established. Under the condition of regularity, the orthogonal Hermite-Padé(H-P) form sequences are recursively constructed along the diagonal in thes-dimensional orthogonal H-P table. This solves the calculation problem of orthogonal H-P table. And the corresponding remainder estimation formula is given.

orthogonal polynomial; uniqueness; Hermite-Padé approximation; Hermite-Padé table; diagonal recursive formula

2017-04-18；

2017-07-13

安徽省省級質(zhì)量工程專業(yè)綜合改革試點(diǎn)資助項(xiàng)目(2012zy007);名師工作室資助項(xiàng)目(2015msgzs126)

陶長虹(1963-),男,安徽無為人,合肥工業(yè)大學(xué)副教授;褚 標(biāo)(1967-),男,安徽無為人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師，通訊作者:E-mail:hfgdhbt@163.com.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.10.026

O174.41

A

1003-5060(2017)10-1437-04

(責(zé)任編輯 朱曉臨)