考慮彎曲轉(zhuǎn)角的框剪結(jié)構(gòu)-TMD減震體系數(shù)值優(yōu)化設(shè)計

賀 輝，譚 平，劉良坤

（1.廣州大學(xué)工程抗震研究中心，廣州 510405；2.北京工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，北京 100124）

考慮彎曲轉(zhuǎn)角的框剪結(jié)構(gòu)-TMD減震體系數(shù)值優(yōu)化設(shè)計

賀 輝1，譚 平1，劉良坤2

（1.廣州大學(xué)工程抗震研究中心，廣州 510405；2.北京工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院，北京 100124）

提出了一種適用于框剪結(jié)構(gòu)的TMD減震體系優(yōu)化設(shè)計方法。將結(jié)構(gòu)簡化為連續(xù)-離散的懸臂梁模型，該模型不但能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的剪切變形，而且能充分考慮結(jié)構(gòu)彎曲變形產(chǎn)生的彎曲轉(zhuǎn)角對TMD動力特性的影響。使用Rayleigh-Ritz法分析結(jié)構(gòu)動力特性，在此基礎(chǔ)上，基于結(jié)構(gòu)的性能目標(biāo)使用遺傳算法對TMD體系進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化設(shè)計。最后，針對某框剪結(jié)構(gòu)的TMD減震體系優(yōu)化設(shè)計問題進(jìn)行了研究，研究結(jié)果證明了將TMD質(zhì)量比作為優(yōu)化參數(shù)的正確性。通過與傳統(tǒng)Den Hartog參數(shù)對比發(fā)現(xiàn)，此方法設(shè)計的TMD質(zhì)量更小且控制效果更好。

框剪結(jié)構(gòu)；TMD；Rayleigh-Ritz法；層間位移角；遺傳算法

0 前言

TMD作為一種被動控制裝置可以有效應(yīng)用于結(jié)構(gòu)振動控制[1-2]。Den Hartog給出了結(jié)構(gòu)無阻尼情況下TMD的最優(yōu)參數(shù)解析解[3]?？紤]主結(jié)構(gòu)阻尼時，TMD最優(yōu)參數(shù)的解析解很難求解，Sadek則通過數(shù)值方法求解了有阻尼體系TMD的最優(yōu)參數(shù)[4]。Rana對TMD參數(shù)的研究結(jié)果表明使用簡諧激勵理論設(shè)計的TMD能有效控制結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)[5]。我國學(xué)者李春祥采用數(shù)值迭代法給出了地震作用下的TMD最優(yōu)參數(shù)實用設(shè)計表格[6]。李創(chuàng)第等人基于結(jié)構(gòu)動力可靠性約束對TMD進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計[7]。譚平等人采用虛擬激勵法從能量角度分析了主結(jié)構(gòu)能量響應(yīng)最小時TMD質(zhì)量比、頻率比以及阻尼比的最優(yōu)值[8]。

目前，大多數(shù)TMD設(shè)計均是將結(jié)構(gòu)簡化為不考慮彎曲變形的多質(zhì)點剪切模型。但是，框剪結(jié)構(gòu)的彎曲變形一般情況下是不可忽略的。鑒于此，本文將結(jié)構(gòu)簡化為連續(xù)-離散的動力模型，該模型不但能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的剪切變形，而且能充分考慮結(jié)構(gòu)彎曲變形產(chǎn)生的彎曲轉(zhuǎn)角對TMD動力特性的影響。使用Rayleigh-Ritz法分析了結(jié)構(gòu)動力特性，在此基礎(chǔ)上，基于結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)使用遺傳算法對TMD進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化設(shè)計。最后，針對某框剪結(jié)構(gòu)TMD減震體系的優(yōu)化設(shè)計問題進(jìn)行了研究，研究結(jié)果驗證了本文方法的有效性。

1 框剪結(jié)構(gòu)的連續(xù)-離散動力模型

框剪結(jié)構(gòu)的連續(xù)-離散動力模型如圖1所示。假定彎曲型構(gòu)件只考慮彎曲變形，剪切型構(gòu)件只考慮剪切變形。圖中mˉi、EiIi以及l(fā)i分別表示第i層的線性分布質(zhì)量、彎曲型構(gòu)件等效抗彎剛度與層高。ki表示第i層剪切型構(gòu)件剪切剛度，mi表示第i層的樓層質(zhì)量，n表示結(jié)構(gòu)層數(shù)。

由于集中參數(shù)對懸臂梁邊界條件影響較大，導(dǎo)致其理論推導(dǎo)較為繁瑣復(fù)雜。本文采用Rayleigh-Ritz法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行自振特性分析。Rayleigh-Ritz法是一種縮減系統(tǒng)自由度的近似方法，將振型函數(shù)用一組相互獨立且滿足部分或全部幾何物理邊界條件的函數(shù)φj（x）的線性組合來表示：

根據(jù)文獻(xiàn) [9]，研究結(jié)構(gòu)振型時，令位移

則結(jié)構(gòu)最大動能與勢能

式（3）中， “″” 表示對x的二階偏導(dǎo)，

設(shè)結(jié)構(gòu)能量泛函L1=T1max-V1max，由能量守恒定律得

聯(lián)立（1）～（5）式，可得出結(jié)構(gòu)自振周期與振型函數(shù)。

圖1 連續(xù)-離散動力模型Fig.1 Bending shear structure dynamic model

2 TMD體系運動方程

不失一般性，假定TMD安裝于結(jié)構(gòu)第i層用于控制結(jié)構(gòu)第r階振型位移。以結(jié)構(gòu)xi處φr（x）為基準(zhǔn)將振型函數(shù)進(jìn)行歸一化處理。假定結(jié)構(gòu)以單一形式φr（x）振動，則認(rèn)為結(jié)構(gòu)可簡化為廣義單自由度模型[10-12]。 令結(jié)構(gòu)參數(shù)可表示為：

設(shè)結(jié)構(gòu)位移 ν（x，t）=φr（x）z1（t）， 其中，z1（t）表示結(jié)構(gòu)xi處相對于地面的位移。結(jié)構(gòu)-TMD無阻尼體系數(shù)學(xué)模型如圖2所示，圖中，Ks與Kb分別表示結(jié)構(gòu)彎曲剛度與剪切剛度，mt和kt表示TMD的質(zhì)量與剛度系數(shù)，z2表示TMD相對于結(jié)構(gòu)的位移，θ（t）表示結(jié)構(gòu) xi處的彎曲轉(zhuǎn)角。 假定 θ（t）=β（xi）z1（t），其中 β（xi）表示結(jié)構(gòu) xi處的轉(zhuǎn)角系數(shù)， 本文 β（xi）=設(shè)結(jié)構(gòu)-TMD無阻尼體系的總動能為T，總勢能為V，有（以系統(tǒng)初始位置為零勢能點）

式（7）中， “·”表示對時間求導(dǎo)。設(shè)Lagrange函數(shù)

將 θ=βz1帶入（6）與（7）式化簡得

代入Lagrange方程

求得結(jié)構(gòu)-TMD無阻尼體系自由振動方程為

假定結(jié)構(gòu)r階振型阻尼比為ζ1以及TMD阻尼比為ζ2，則結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)可表示為C=2ζ1ωrM，TMD阻尼系數(shù)ct=2ζ2ωtmt。 其中， ωr表示結(jié)構(gòu)第r階振型對應(yīng)振動頻率，ωt表示TMD振動頻率。則TMD頻率比可表示為f=ωt/ωr。同樣可由Lagrange方程求得地震作用下結(jié)構(gòu)-TMD有阻尼體系運動方程為：

同理，不考慮結(jié)構(gòu)彎曲轉(zhuǎn)角，即β=0時，結(jié)構(gòu)-TMD體系運動方程為：

3 基于結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)的TMD優(yōu)化設(shè)計流程

本文以位移作為結(jié)構(gòu)性能評價指標(biāo)，提出基于結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)的TMD優(yōu)化設(shè)計流程如下：

（1）建立位移反應(yīng)譜。由地震加速度時程建立結(jié)構(gòu)設(shè)計位移反應(yīng)譜。

（2）根據(jù)地震設(shè)防水準(zhǔn)、結(jié)構(gòu)的重要性等因素確定結(jié)構(gòu)廣義單自由度目標(biāo)位移νd。

（3）計算設(shè)計水平地震力。廣義單自由度的目標(biāo)位移確定后,廣義單自由度的設(shè)計水平地震力fd=Kνd。

（4）以廣義單自由度的設(shè)計水平地震力作為外激勵幅值，假定外激勵為結(jié)構(gòu)第r階振型頻率對應(yīng)的簡諧激勵fdeiwrt，運用遺傳算法對TMD進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化設(shè)計。

4 基于遺傳算法的TMD最優(yōu)參數(shù)求解

由于式（10）與式（11）理論求解比較復(fù)雜，本文基于MATLAB平臺使用Runge-Kutta法對其進(jìn)行數(shù)值求解，采用遺傳算法對TMD進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化設(shè)計。遺傳算法（Genetic Algorithm，簡稱GA）是一類借鑒生物界的進(jìn)化規(guī)律演化而來的優(yōu)化搜索方法，算法詳細(xì)介紹見文獻(xiàn) [13]

以結(jié)構(gòu)層間位移角限值[σ]作為約束條件，即

5 算例

5.1 工程概況

為了驗證本文方法的有效性，以某20層現(xiàn)澆鋼筋混凝土框剪結(jié)構(gòu)作為算例。建筑層高3 m，總高度60 m。結(jié)構(gòu)平面布置：橫向5×4 m，縱向5×4 m，結(jié)構(gòu)總質(zhì)量1.06×104t。結(jié)構(gòu)每層分布質(zhì)量mˉ取1.08×105kg/m， 集中質(zhì)量m=2.06×105kg。 每層剪力墻等效抗彎剛度EI=1.13×1011N·m2，框架剪切剛度 K=3.13×109N/m。結(jié)構(gòu)頂層轉(zhuǎn)角系數(shù)β=4.75×10-3。假定TMD安裝于結(jié)構(gòu)頂層，用于控制結(jié)構(gòu)橫向第一階振型，結(jié)構(gòu)第一階振型阻尼比ζ1=0.05。采用Etabs軟件建模如圖3所示。用Etabs軟件計算該結(jié)構(gòu)基本周期為1.03 s，用Rayleigh-Ritz法求得的簡化模型基本周期為0.99 s，二者誤差為3.89%，說明本文簡化模型滿足精度要求。

圖3 算例模型圖Fig.3 Diagram of simulation example

本文根據(jù)工程實際情況選取人工地震波以及ELcentro波作為地震輸入，以此來評判TMD控制效果。其中，人工地震波加速度譜密度采用Kanai-Tajimi譜[15-16]：

式（16）中， S0表示譜強度因子， ζg和 ωg分別表示地基土的阻尼比與卓越頻率。時間包絡(luò)函數(shù)取為：

式（17）中，c為衰減系數(shù)，T1與T2分別表示主振平穩(wěn)段開始與結(jié)束時間。

現(xiàn)考慮地震設(shè)防烈度為8度，C類場地，設(shè)計地震分組為第一組，由文獻(xiàn)[17]取，ωg=17.95rad/s，ζg=0.72， S0=14.56 cm2/（rad.s3）， T1=0.8 s， T2=7.0 s，c=0.35，按照三角級數(shù)法生成的地震加速度時程曲線如圖4所示。由人工波生成的結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)譜如圖5所示，由圖5易見，本文模型的目標(biāo)位移νd=0.01 m。

圖4 人工地震波Fig.4 Artificial seismic wave

圖5 結(jié)構(gòu)位移反應(yīng)譜Fig.5 The response spectrum of structural displacement

5.2 TMD諧波響應(yīng)分析

在求解TMD最優(yōu)參數(shù)前，首先驗證考慮結(jié)構(gòu)彎曲轉(zhuǎn)角的必要性。假定結(jié)構(gòu)阻尼比為0，使用Den Hartog參數(shù)對TMD進(jìn)行設(shè)計。以結(jié)構(gòu)頂點位移響應(yīng)峰值作為評價指標(biāo)，計算出諧波fdeiwrt作用下，結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角系數(shù)與結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)之間的關(guān)系如圖6所示。從圖6中可以看出，隨著轉(zhuǎn)角系數(shù)β值的不斷增大，TMD對結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)峰值的控制存在相對較為穩(wěn)定的 “平臺段”以及變化劇烈的“振蕩段”。本文算例的轉(zhuǎn)角系數(shù)位于 “振蕩段”[0.004，0.005]內(nèi)，在此區(qū)間并非TMD質(zhì)量比越大，其控制效果就越好。因此，本文建議將TMD質(zhì)量比作為遺傳算法優(yōu)化參數(shù)之一。

圖6 結(jié)構(gòu)頂點位移響應(yīng)峰值與結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角系數(shù)關(guān)系曲線Fig.6 The relationship between the peak value of the top displacement response and bending angle coefficient

5.3 TMD最優(yōu)參數(shù)求解

使用遺傳算法對TMD最優(yōu)設(shè)計參數(shù)進(jìn)行求解，其中，TMD阻尼比與頻率比分別取為 [00.2]與 [0.81.2]，TMD質(zhì)量比取 [00.05]。遺傳算法中各參數(shù)分別取為：種群大小80，遺傳60代，交叉概率0.7，變異概率0.1。根據(jù)我國 《框剪建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》（JGJ 3-2010）[14]取 Δνmax/l≤1/800。求解出TMD最優(yōu)頻率比fopt=0.869與最優(yōu)阻尼比ζ2opt=0.0901，與之對應(yīng)的TMD最優(yōu)質(zhì)量比μ=0.045。

為了便于分析，假定本文方法所設(shè)計的TMD為TMD1，使用Den Hartog參數(shù)設(shè)計的TMD為TMD2， TMD2的質(zhì)量比取為0.09。圖7表示地震作用下結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)時程，相對于TMD2而言，TMD1處于更好的控制狀態(tài)。以人工波作用下的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方差為例，結(jié)構(gòu)無控狀態(tài)下的位移響應(yīng)均方差為2.1×10-3m，TMD2控制下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方差為1.8×10-3m，控制效果為14.29%。TMD1控制下結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方差為1.4×10-3m，控制效果為33.33%，較TMD2提高了19.04%。值得注意的是，TMD1的質(zhì)量比相對于TMD2減小了50%，控制效果反而比TMD2好。這也說明了本文將TMD質(zhì)量比作為優(yōu)化參數(shù)的正確性，同時也驗證了本文所提方法的有效性。

圖7 地震作用下結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)時程Fig.7 The time history of structural displacement response under earthquake

6 結(jié)語

本文提出了一種適用于框剪結(jié)構(gòu)的TMD減震體系優(yōu)化設(shè)計方法，該方法考慮框剪結(jié)構(gòu)彎曲變形產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角對TMD動力特性的影響，使用Rayleigh-Ritz法分析了結(jié)構(gòu)動力特性，在此基礎(chǔ)上，基于結(jié)構(gòu)的性能目標(biāo)使用遺傳算法對TMD體系進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化設(shè)計。以1棟20層框剪結(jié)構(gòu)-TMD減震系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計作為算例，驗證了本文方法的有效性。得到以下結(jié)論：

（1）基于結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)結(jié)合遺傳算法提出了一種適用于框剪結(jié)構(gòu)的TMD減震體系數(shù)值優(yōu)化設(shè)計方法，該方法充分考慮結(jié)構(gòu)彎曲變形產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角對TMD動力特性的影響。

（2）考慮結(jié)構(gòu)彎曲轉(zhuǎn)角時，TMD質(zhì)量比越大其控制效果不一定越好。因此，本文建議將TMD質(zhì)量比也作為TMD優(yōu)化設(shè)計參數(shù)之一。

（3）對于本文算例，使用本文方法設(shè)計的TMD1比傳統(tǒng)參數(shù)設(shè)計的TMD2質(zhì)量更小且控制效果更好。其中，TMD2質(zhì)量比為0.09，TMD1質(zhì)量比為0.045，較TMD2減小了50%。但是，TMD1的控制效果較TMD2提高了19.04%。

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Optimization Design of Frame ShearStructure-TMD System

HE Hui1， TAN Ping1， LIU Liangkun2

（1.Earthquake Engineering Research&TestCenter， Guangzhou University， Guangzhou 510405， China；2.School of Civil Engineering，Beijing University of Technology，Beijing 100124， China）

This paper proposes a simple and practical numerical optimization design method for frame shear structure-TMD system.Frame shear structure is simplified into a continuous cantilever beam with lumped parameter model.This model can not only simulate the structural lateral displacement reasonably,but also consider structural bending deformation.Structural natural vibration characteristics were analyzed by using Rayleigh-Ritz method.Optimal design of TMD based on the genetic algorithm,with the structural performance asoptimization objective.The methods applied to the optimum design of a frame shear structure-TMD damping system to reduce seismological response,and its numeral simulation analysis was conducted.The analysis results indicate this TMD numerical optimization method is very effective.

Frame shear structure； TMD； Rayleigh-Ritz method； Story drift； Genetic Algorithm

TU311.3

A

1001-8662（2017）02-0100-06

10.13512/j.hndz.2017.02.016

賀 輝，譚 平，劉良坤.考慮彎曲轉(zhuǎn)角的框剪結(jié)構(gòu)-TMD減震體系數(shù)值優(yōu)化設(shè)計[J].華南地震，2017，37（2）：100-105.[HE Hui，TAN Ping，LIULiangkun.OptimizationDesign ofFrame ShearStructure-TMD System[J].South china journal of seismology，2017，37（2）：100-105.]

2017-03-23

教育部創(chuàng)新團(tuán)隊研究發(fā)展計劃（IRT13057）、國家自然科學(xué)基金（51208129；51478129）、廣州市屬高校 “羊城學(xué)者”首席科學(xué)家培養(yǎng)項目（1201541630）、 “廣東特支計劃”科技創(chuàng)新領(lǐng)軍人才（2014TX01C141）

賀 輝 （1992-），男，碩士研究生，主要從事結(jié)構(gòu)振動控制研究。

E-mail：937675375@qq.com.

譚 平 （1973-），男，博士，研究員，博導(dǎo)，主要從事結(jié)構(gòu)抗震與減震控制研究。

E-mail:ptan@gzhu.edu.cn.