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    聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的積分式及應(yīng)用

    2017-11-21 09:38:18
    關(guān)鍵詞:菲涅爾原函數(shù)光程

    (長(zhǎng)江大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,湖北 荊州 434023)

    聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的積分式及應(yīng)用

    蘇海濤

    (長(zhǎng)江大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,湖北荊州434023)

    運(yùn)用惠更斯-菲涅爾原理,分析了軸線點(diǎn)光源在聚焦條件下的菲涅爾圓孔衍射,通過(guò)對(duì)平行次波間光程差的計(jì)算,計(jì)算出各次波在會(huì)聚點(diǎn)的光程,由此導(dǎo)出了上述條件下衍射合振動(dòng)的積分式。這一積分式在一定條件下(小張角時(shí)),可以求出其原函數(shù),這為合振幅(光強(qiáng))計(jì)算帶來(lái)了很大的方便。由于夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射相當(dāng)于點(diǎn)光源距離圓孔很遠(yuǎn)時(shí)的菲涅爾圓孔衍射,完全符合小張角的條件,由這一函數(shù)式導(dǎo)出了夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式。

    聚焦;菲涅爾圓孔衍射;合振動(dòng);積分式;函數(shù)式

    在傳統(tǒng)光學(xué)教材中,聚焦條件下夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射合振動(dòng)積分式的推導(dǎo)并解出原函數(shù),是一個(gè)數(shù)學(xué)的范例[1]。對(duì)菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的研究現(xiàn)在普遍處于非聚焦條件下,主要分2種情況,一是非聚焦條件下合振動(dòng)積分式的推導(dǎo)并在特殊條件下解出原函數(shù)[2];二是非聚焦條件下合振動(dòng)積分式的數(shù)值計(jì)算[3~6]。由以上原函數(shù)與數(shù)值計(jì)算所得到的合振幅(亦即光強(qiáng))分布,對(duì)應(yīng)于直接在光屏上形成的衍射圖樣,但它不能對(duì)應(yīng)于經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)或人眼后的成像(衍射圖樣);而聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射的合振幅分布則對(duì)應(yīng)于經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)或人眼后的成像,有更大的應(yīng)用意義。筆者的研究旨在解決聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的計(jì)算問(wèn)題。夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射可以看作菲涅爾圓孔衍射的一個(gè)特例,筆者分析了軸線點(diǎn)光源在聚焦條件下的菲涅爾圓孔衍射,并導(dǎo)出了其合振動(dòng)的積分式,在小張角的條件下這一積分式可以解出原函數(shù),夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式就可以由這一原函數(shù)導(dǎo)出。

    1 聚焦條件下的菲涅爾圓孔衍射分析

    圖1 菲涅爾圓孔衍射的光路分析

    如圖1所示,點(diǎn)光源O發(fā)出的球面波經(jīng)圓孔產(chǎn)生衍射,點(diǎn)O位于小孔的中心軸線上,AB為圓孔直徑。點(diǎn)光源對(duì)圓孔的張角∠AOB=2φ0,OA=OB=q0。DE為平行于圓孔面的球冠截面的直徑,且DE∥AB,P為該截面的圓心。顯然,OP為圓孔中心軸。C為該截面圓周上的任意一點(diǎn),l1、l2、l3為透過(guò)圓孔的波面發(fā)出的3列次波,相互平行。次波l1的波源為B點(diǎn),它與圓孔面法線n的夾角(即衍射角)為θ;次波l2的波源為D點(diǎn);次波l3的波源為C點(diǎn),∠COP=φ, ∠CPE=α。波線l1、l2位于經(jīng)過(guò)圓孔中心軸的截面OAEDB內(nèi)。

    圖2 l3與l2的光程差分析示意圖

    衍射角為θ的各平行次波經(jīng)透鏡會(huì)聚于觀察點(diǎn),計(jì)算它們到達(dá)會(huì)聚點(diǎn)的光程時(shí)以l1的光程為比較,l3與l1的光程差等于l3與l2的光程差加上l2與l1的光程差。

    先計(jì)算l3與l2的光程差。如圖2所示,過(guò)C點(diǎn)作CF⊥DE,過(guò)F作l4∥l3,可以證明l3與l2的光程差等于l4與l2的光程差[1]。由OD=OE=q0、三角關(guān)系以及空氣的折射率近似等于1,算得l4與l2的光程差為:

    δ1=q0sinφ(1+cosα)sinθ

    (1)

    再計(jì)算l2與l1的光程差。圖3是包括l1與l2的球扇形的軸截面圖,圖中BF⊥l2,DF即為l2與l1的光程差。令δ2=DF,可求得:

    δ2=q0[cos(φ0-θ)-cos(φ-θ)]

    (2)

    于是次波l3與l1的光程差:

    δ=δ1+δ2=q0sinφ(1+cosα)sinθ+q0cos(φ0-θ)-q0cos(φ-θ)

    (3)

    圖3 l2與l1的光程差分析示意圖

    2 合振動(dòng)的積分式

    設(shè)次波l1到達(dá)觀察點(diǎn)的光程為s(θ),則次波l3到達(dá)觀察點(diǎn)的光程為:

    RC=s(θ)+δ=s(θ)+q0sinφ(1+cosα)sinθ+q0cos(φ0-θ)-q0cos(φ-θ)

    (4)

    則C點(diǎn)的面元ds發(fā)出的次波l3到達(dá)觀察點(diǎn)的振動(dòng)可表示為:

    dyC=C0cos[ωt-kRC]ds

    (5)

    (6)

    將式(4)代入式(6),得到波面上沿θ方向的各次波經(jīng)透鏡會(huì)聚于觀察點(diǎn)的合振動(dòng)的積分式:

    (7)

    3 小張角時(shí)菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式

    C0影響著合振動(dòng)振幅極值的大小和位置,在φ0與θ不大的情況下,β、RC隨θ、φ、α的變化不大,從而使得C0隨θ、φ、α的變化不大,因此在近似的情況下,C0可以取常數(shù)(依然以C0表示)。在C0取常數(shù)時(shí),可以用數(shù)值方法算出式(7)合振動(dòng)的振幅分布,而在以下條件下,則能完成積分,求出式(7)的原函數(shù)。

    當(dāng)2φ0為小角時(shí),sinφ0≈φ0、cosφ0≈1、sinφ≈φ、cosφ≈ 1,代入式(7)并將cos(φ0-θ)展開(kāi)得:

    (8)

    (9)

    由此得到小張角時(shí)菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式:

    y=H0cos[ωt-ks(θ)-kq0φ0sinθ]

    (10)

    4 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式

    夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射相當(dāng)于光源距離很遠(yuǎn)時(shí)的菲涅爾圓孔衍射,滿足2φ0→0,且此時(shí)q0φ0=r(r為衍射圓孔的半徑),于是由式(10)得到夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式:

    y=H0cos[ωt-ks(θ)-krsinθ]

    (11)

    5 結(jié)語(yǔ)

    推導(dǎo)聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的積分式的關(guān)鍵在于平行次波間光程差的計(jì)算,由此可以算出各平行次波在會(huì)聚點(diǎn)的光程。實(shí)際上,傾斜因數(shù)K(β)完全可以近似地等于cosβ,使積分表達(dá)式(7)成為具有確定函數(shù)形式的計(jì)算式,從而進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)值計(jì)算。由積分表達(dá)式(7)可以導(dǎo)出小張角時(shí)菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式,由這一函數(shù)式可以直接導(dǎo)出夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射合振動(dòng)的函數(shù)式,這對(duì)傳統(tǒng)光學(xué)教材中的相關(guān)內(nèi)容是一個(gè)很好的補(bǔ)充。

    [1]母國(guó)光,戰(zhàn)元齡. 光學(xué)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2009:218~221.

    [2]孫景亭. 菲涅爾圓孔衍射[J].天津理工學(xué)院學(xué)報(bào),1995,11(2):38~43.

    [3]常山,毛杰健,桑志文,等. 單色點(diǎn)源圓孔衍射的數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)[J].實(shí)驗(yàn)室研究與探索,2010,29(6):14~17.

    [4]Teng Shuyun,Li Guanghua,Zhang Chong,et al.The diffraction by a small aperture[J].OPTIK,2013,124(16):2507~2510.

    [5]陳麗娜,陸霽,朱偉玲. 基于Matlab對(duì)菲涅耳圓孔衍射的模擬[J].實(shí)驗(yàn)室科學(xué),2014,17(4):112~115.

    [6]何孝衛(wèi),楊麗婷,楊光富,等. 圓孔菲涅耳衍射的蒙特卡羅數(shù)值模擬[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014,12(S2):208~212.

    [編輯]洪云飛

    2017-08-12

    蘇海濤(1966-),男,講師,現(xiàn)主要從事物理基本理論與實(shí)驗(yàn)方面的教學(xué)與研究工作;htsu@yangtzeu.edu.cn。

    引著格式蘇海濤.聚焦條件下菲涅爾圓孔衍射合振動(dòng)的積分式及應(yīng)用[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版),2017,14(21):69~71.

    O436.1

    A

    1673-1409(2017)21-0069-03

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