建構(gòu)數(shù)的表象 豐富數(shù)的內(nèi)涵

居海霞

摘 要：建立數(shù)的表象，是幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)數(shù)的內(nèi)涵的重要橋梁。只有對(duì)數(shù)的表征認(rèn)識(shí)清楚、到位，才能在具體、直觀的基礎(chǔ)之上逐步抽象，最終真正建立起數(shù)的概念，理解數(shù)的意義。文中，筆者從整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)三種數(shù)的認(rèn)識(shí)出發(fā)，分別闡述如何幫助學(xué)生建立數(shù)的表象，從而豐富數(shù)的內(nèi)涵。

關(guān)鍵詞：表象；數(shù)的內(nèi)涵；推算感知；形中蘊(yùn)數(shù)；逐步抽象

表象是一種心理現(xiàn)象，人們感知過(guò)的某一事物，其形象常常會(huì)在頭腦中以痕跡的現(xiàn)象保留下來(lái)，以后這種事物雖未出現(xiàn)，但在一定條件影響下，它的形象仍會(huì)在頭腦中再現(xiàn)，這就是表象。只有經(jīng)歷過(guò)直觀的、生動(dòng)的表象積累，才能深刻地、豐富地認(rèn)識(shí)數(shù)的內(nèi)涵。

一、推算感知，建立大數(shù)的表象

在整數(shù)的認(rèn)識(shí)中，對(duì)于比較小的數(shù)，學(xué)生可以借助于實(shí)物如小棒、方塊、計(jì)數(shù)器等來(lái)建立表象；對(duì)于以千、萬(wàn)計(jì)數(shù)的稍大的整數(shù)，也可以通過(guò)整體感知來(lái)建立表象，比如：把一千根吸管扎成一捆有多粗、一千粒黃豆裝在玻璃瓶里有多少等，讓學(xué)生從整體來(lái)感知這個(gè)數(shù)的多少。但對(duì)于更大的數(shù)，比如幾百萬(wàn)、幾千萬(wàn)甚至幾億等，由于數(shù)量龐大，看不到又摸不著，學(xué)生對(duì)其表象的建立尤為困難。

推算，可以很好地幫助學(xué)生建立對(duì)大數(shù)量的表象。所謂推算，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是“以小博大”，通過(guò)小數(shù)不斷地推算出大數(shù)來(lái)。

比如，學(xué)生認(rèn)識(shí)了計(jì)數(shù)單位“億”后，教材中出示了這樣的推算問(wèn)題（如圖1）?！?枚硬幣”，這是學(xué)生可以在手上掂一掂的具體的物體，看得到、摸得著，很形象。但是1000枚、100萬(wàn)枚、1億枚硬幣是一個(gè)怎樣的概念呢？這里，將硬幣的數(shù)量和相對(duì)應(yīng)的重量結(jié)合，讓學(xué)生通過(guò)對(duì)具體重量的感知，來(lái)感受其數(shù)量之大。

除了和重量相結(jié)合，還可以巧妙地和時(shí)間、長(zhǎng)度、面積等建立聯(lián)系，通過(guò)具體量的推算，來(lái)幫助學(xué)生建立數(shù)的表象。

比如像這樣的天文數(shù)字：地球赤道6378137米、地球到月球的平均距離384400000米等，這些數(shù)學(xué)生只知道很大，但到底有多大，學(xué)生卻很茫然。在下面這個(gè)教學(xué)片段中，這位老師巧妙地通過(guò)繪本《壺中的故事》引出一個(gè)天文數(shù)字，再將這個(gè)天文數(shù)字進(jìn)行一定方式的推算，幫助學(xué)生很好地建立了大數(shù)的表象。首先，繪本講述了這樣一個(gè)美麗的故事：“翻開(kāi)這本書(shū)，一只美麗的壺呈現(xiàn)在眼前。壺中有一座島，島上有兩個(gè)國(guó)家，兩個(gè)國(guó)家各有三座山，三座山上各有四個(gè)城堡，四個(gè)城堡里各有五個(gè)村莊，五個(gè)村莊里各有六棟房子，六棟房子里各有七間房間，七間房間里各有八個(gè)柜子，八個(gè)柜子里各有九只箱子，九只箱子里各有10個(gè)壺?！钡降子卸嗌賯€(gè)壺呢？學(xué)生一步一步地算下來(lái)，竟然得到了一個(gè)很大的數(shù)：1×2×3×4×5×6×7×8×9×10=3628800（個(gè)）。“3628800”這個(gè)數(shù)有多大呢？接下來(lái)，進(jìn)行了這樣一系列的推算：（1）假如一個(gè)壺的寬是1分米，3628800個(gè)壺排成一排，有多長(zhǎng)呢？有360多千米。如果一輛小汽車(chē)在高速公路上每小時(shí)行120千米，那么就要行駛3小時(shí)。（2）如果1秒鐘打開(kāi)一個(gè)壺蓋，那么打開(kāi)所有的壺蓋，會(huì)花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間？要1000多個(gè)小時(shí)，40多天。也就是說(shuō)，揭壺蓋的人不吃不喝，也不休息，持續(xù)不停地開(kāi)，也要花一個(gè)月以上的時(shí)間。通過(guò)這樣的推算，與現(xiàn)實(shí)生活中的時(shí)間、路程相結(jié)合，學(xué)生被震撼了，真真切切地感受到諸如此類天文數(shù)字之巨大。

二、形中蘊(yùn)數(shù)，體會(huì)小數(shù)的結(jié)構(gòu)

小數(shù)是十進(jìn)制分?jǐn)?shù)的一種特殊表現(xiàn)形式。如何幫助學(xué)生建立0.1，0.01， 0.001這些小數(shù)的計(jì)數(shù)單位的表象？教材選用的是正方形，最后一個(gè)是正方體（如圖2）。

教材呈現(xiàn)的圖中，將一個(gè)正方形平均分成十份，其中的一份就是十分之一，也就是0.1；同樣，將一個(gè)正方形平均分成一百份，其中的一份就是百分之一，也就是0.01；將一個(gè)正方體平均分成一千份，其中的一份就是千分之一，也就是0.001。這里，將小數(shù)蘊(yùn)藏在圖形里，用直觀的圖形來(lái)表征小數(shù)的意義。

還可以將方格圖、方塊圖和數(shù)軸相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生從直觀到半抽象再到抽象，逐步建立小數(shù)的表象。

如圖3，將正方體、數(shù)軸和小數(shù)一一對(duì)應(yīng)，將一個(gè)正方體平均分成一百份，其中的一份對(duì)應(yīng)數(shù)軸中的“0.01”，其中的兩份對(duì)應(yīng)著數(shù)軸中的“0.02”，同樣，其中的11份對(duì)應(yīng)著數(shù)軸中的“0.11”等。這里，給予小數(shù)以生動(dòng)、直觀、豐富的表象支撐，在不同的表征形象中，讓學(xué)生感悟，不管是一個(gè)圖形，還是一條線段，只要平均分成一百份，其中的一份或幾份就是零點(diǎn)零一或零點(diǎn)零幾，從而幫助學(xué)生豐富小數(shù)的內(nèi)涵。

此外，借助在數(shù)軸中找數(shù)，還可以幫助學(xué)生感受小數(shù)的稠密性。比如，在3.14和3.15之間找3.141，學(xué)生發(fā)現(xiàn)需將其再平均分成十份，取其中的一份，和3.14合起來(lái)就是3.141；接著，在3.141和3.142之間找3.1415，同樣，將這一部分再平均分成十份，取其中的五份，和3.141合起來(lái)就是3.1415；繼續(xù)這樣平均分下去，源源不斷，會(huì)找出更多的小數(shù)。隨著平均分的份數(shù)越來(lái)越多，不可能在圖中繼續(xù)分下去，但在學(xué)生的腦海中會(huì)不斷地涌現(xiàn)，學(xué)生從中不但能構(gòu)建計(jì)數(shù)單位越來(lái)越小的小數(shù)，同時(shí)深深體會(huì)到小數(shù)的稠密性。

三、逐步抽象，構(gòu)建分?jǐn)?shù)的意義

學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的構(gòu)建是逐步推進(jìn)的，在小學(xué)階段，分成三個(gè)階段來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。第一個(gè)階段在三年級(jí)上學(xué)期，這時(shí)研究的對(duì)象是一個(gè)物體、一個(gè)圖形。把一個(gè)物體平均分成若干份，表示其中一份或幾份的數(shù)就是分?jǐn)?shù)。第二個(gè)階段在三年級(jí)下學(xué)期，這個(gè)階段出現(xiàn)了計(jì)量單位和許多物體組成的一個(gè)整體。而到了五年級(jí)下學(xué)期，學(xué)生認(rèn)知的關(guān)鍵則是建立分?jǐn)?shù)的意義。在這個(gè)階段，學(xué)生要認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)和自然數(shù)、小數(shù)一樣，它是一個(gè)數(shù)，它本是具有無(wú)量綱性的，這與被平均分的對(duì)象是沒(méi)有關(guān)系的。在學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)里面可能會(huì)認(rèn)為，三分之二的蘋(píng)果和五分之二的梨是沒(méi)有辦法比較大小的，但是如果建立了無(wú)量綱性的概念，學(xué)生應(yīng)該可以體會(huì)到，比較三分之二和五分之二的大小，跟它所對(duì)應(yīng)的那個(gè)具體的物體是沒(méi)有關(guān)系的，只要直接看三分之二和五分之二本身的意義就可以了。所以，這時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)就應(yīng)是幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)從有量綱性向無(wú)量綱性的轉(zhuǎn)變。

在下面這個(gè)教學(xué)片段中，教師通過(guò)從具體的實(shí)物抽象出有量綱性的分?jǐn)?shù)，再通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)外延的理解、擴(kuò)充，逐步將分?jǐn)?shù)過(guò)渡到無(wú)量綱性。

課中，在認(rèn)識(shí)了單位“1”之后，圍繞3幅圖，組織學(xué)生來(lái)做一個(gè)研究。這3幅圖分別是：一個(gè)餅、四個(gè)餅組成的一個(gè)整體、5個(gè)餅摞起來(lái)的一個(gè)整體。組織學(xué)生探索：（1）分一分，涂色表示每幅圖的四分之一；（2）說(shuō)一說(shuō)，每幅圖分別把什么看作單位“1”？平均分成幾份，表示這樣的幾份？（3）想一想，四分之三表示什么？學(xué)生探索、思考、交流后得出，把單位“1”平均分成四份，取其中的三份，就是它的四分之三。但這時(shí)，學(xué)生對(duì)四分之三的認(rèn)識(shí)是有量綱性的，它代表的是四分之三個(gè)餅或四分之三個(gè)“餅的整體”。在這個(gè)基礎(chǔ)上，老師提問(wèn)：九分之四表示什么？十一分之五表示什么？帶著自己想說(shuō)的，我們來(lái)進(jìn)行深入思考：（1）說(shuō)一個(gè)分?jǐn)?shù)，并說(shuō)說(shuō)它的含義；（2）想一想：什么樣的數(shù)叫作分?jǐn)?shù)？分?jǐn)?shù)的分子和分母各表示什么？學(xué)生在舉例、表述、比較中不斷進(jìn)行思考，將具體的分?jǐn)?shù)之間進(jìn)行溝通、聯(lián)系，概括出“把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫作分?jǐn)?shù)”，從而實(shí)現(xiàn)將分?jǐn)?shù)從有量綱性到無(wú)量綱性的過(guò)渡。

所以，建立數(shù)的表象，是幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)數(shù)的內(nèi)涵的重要橋梁。只有對(duì)數(shù)的表征認(rèn)識(shí)清楚、到位，才能在具體、直觀的基礎(chǔ)之上逐步抽象，最終真正建立起數(shù)的概念，豐富數(shù)的內(nèi)涵。endprint