淺談丟番圖方程x～3±1=3qPy～2的整數(shù)解

張寶明

摘 要：隨著數(shù)論研究內(nèi)容的不斷深入，現(xiàn)階段數(shù)論研究方向逐漸向整數(shù)解問題轉(zhuǎn)移，本文以x～3±1=3qPy～2這一丟番圖方程的整數(shù)解為主要研究對象，這不僅能夠豐富數(shù)論研究內(nèi)容，而且還會探索出丟番圖方程多樣研究方法，同時，有利于吸引相關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)者對此展開關(guān)注，優(yōu)化丟番圖方程問題解決方法，深化丟番圖方程理論研究。本文主要分為四部分，第一部分主要對丟番圖方程展開了基本介紹，第二部分分析了丟番圖方程引理，第三部分總結(jié)了相關(guān)理論，最后一部分進(jìn)行了定理說明。

關(guān)鍵詞：丟番圖方程；整數(shù)解；平方剩余；同余式

中圖分類號：O156.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-2064（2017）20-0207-02

目前，研究丟番圖方程的學(xué)者較多，不同學(xué)者針對同一方程所應(yīng)用的方法不盡相同，雖然整數(shù)解處理方法尚未統(tǒng)一，但正是不同方法的差異性應(yīng)用促進(jìn)數(shù)論內(nèi)容不斷豐富。丟番圖方程定理較復(fù)雜，個別定理具有生活實(shí)用性，部分定理結(jié)論尚未明確，從中能夠看出，丟番圖方程整數(shù)解研究方面仍需相關(guān)學(xué)者不斷努力，以此拓展研究范圍，探究研究新型研究成果。由此可見，本文針對丟番圖方程x～3±1=3qPy～2整數(shù)解進(jìn)行探究，具有一定理論意義和現(xiàn)實(shí)意義，具體分析如下。

1 丟番圖方程基本介紹

丟番圖方程有兩種名稱，第一種為不定方程，第二種為整數(shù)系多項(xiàng)式方程，具體指的是整數(shù)系方程，方程內(nèi)在變量為一個或多個，受相關(guān)限制性因素影響，這種方程的求解方式不用于實(shí)數(shù)方程，即所得方程解僅限整數(shù)范圍內(nèi)。丟番圖最早研究時間為公元3世紀(jì)，研究者為希臘人，該方程主要以整數(shù)解為主要研究內(nèi)容，研究目標(biāo)有三個，目標(biāo)一為方程解步驟判斷，目標(biāo)二為方程解個數(shù)確定，目標(biāo)三為方程解結(jié)果明確[1]。

丟番圖問題即針對等式對應(yīng)的整數(shù)組合具體確定，這一問題所展開的研究即丟番圖有效性分析。丟番圖方程例子主要有四種，第一種即勾股定理整數(shù)解，第二種即費(fèi)馬最后定理，第三種為貝祖等式，第四種為四平方和定理。其中，不定方程形式為m1×1+m2×2+…+mn×n=c的方程，則（m1，…，mn）是c的因子，這是不定方程有整數(shù)解的充要條件，如果有二元一次不定方程AX+ BY= C，且（A，B）|C，則其必有一組整數(shù)解X1，Y1，并且還有以下關(guān)系式[2]：

*X=X1+[B/（A，B）]t

*Y=Y1-[A/（A，B）]t

其中，t為任意整數(shù)，因此，不定方程解有無限多個。

丟番圖方程發(fā)展、應(yīng)用的過程中，一直研究的問題主要有“是否可以解答？”、“解答結(jié)果有幾種？”、“解答數(shù)目有多少？”、“解答結(jié)果能具體確定嗎？”?，F(xiàn)如今，丟番圖方程研究過程中主要發(fā)展方向有三方面，即丟番圖集——遞歸可枚舉集、研究方法——無窮遞降法、研究原理——哈賽原理、丟番圖逼近——系數(shù)為無理數(shù)不等式，變量為整數(shù)[3]。

2 丟番圖方程引理

丟番圖是希臘著名數(shù)學(xué)家，被人們稱為代數(shù)之父，這位數(shù)學(xué)家將所要研究的問題通過符號代替數(shù)的方式來深入研究。其中，不定方程研究最早理論研究體現(xiàn)于白雞問題分析中，即用百錢購買白雞，雞翁一，直錢一，雞母一，雞雛三，直錢三，直錢五，問母、雛、雞翁數(shù)量各為多少？解決這一數(shù)學(xué)問題時，分別用M、P、Q代表母、雛、雞翁個數(shù)，這一數(shù)學(xué)問題即非負(fù)整數(shù)解M、P、Q，同時，也是三元不定方程組問題。對于丟番圖的年齡計(jì)算，已知條件為：幼年占六分之一，青少年占十二分之一，又過了七分之一才結(jié)婚，五年后生子，子先父四而卒，壽為其父二分之一?！庇?jì)算丟番圖的方程為M/6+M/12+M/7+5+ M/2+4=M，M=84，從中可知，丟番圖享年84歲。除了這種算法外，還可以通過這種算法進(jìn)行年齡計(jì)算，即9/[1-（1/6+1/12+1/7+1/2）][4]。

丟番圖方程（M是無平方因子正整數(shù)），當(dāng)M不含6k+1形素因子、M含6k+1形素因子，以及M含1個或2個6k+1形素因子等情況進(jìn)行研究，引出如下引理[5]。

引理1，如果Q=3e（e+1）+1，e∈N，則QX2-3Y2=1的最小解為（2，2e+1）。引理2，設(shè)Q為奇素?cái)?shù)，則丟番圖方程4X14-QY12=1只有正數(shù)解Q=3，X1=Y1=1和Q=7，X1=2，Y1=3。引理3，設(shè)Q是一個奇素?cái)?shù)，則丟番圖方程X14-QY12=1只有正數(shù)解Q=5，X1=3.Y1=4和Q=29，X1=99，Y1=1820[6]。

3 相關(guān)結(jié)論

定理1，設(shè)Q=，ri≡，其中i大于等于1，小于等于s，并且屬于彼此不同的奇素?cái)?shù)，Q≡為奇素?cái)?shù)，這時丟番圖方程為X3+1=3mQY2。在三種不同條件下，平凡解（X，Y）=（-1，0）。

條件一：m=27e2+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Qm mod8；Q4-m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。條件二：m=12e2+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Qm mod8；Q4-m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。條件三：m=3（3e+1）（3e+2）+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Qm mod8；Q4-m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。

定理2，設(shè)Q=（），ri≡，其中i大于等于1，小于等于s，并且屬于彼此不同的奇素?cái)?shù)，Q≡為奇素?cái)?shù)，這時丟番圖方程為X3-1=3mQY2。在三種不同條件下，平凡解（X，Y）=（1，0）[7]。

條件一：m=27e2+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Q-m mod8；Q4+m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。條件二：m=12e2+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Q-m mod8；Q4+m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。條件三：m=3（3e+1）（3e+2）+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Q-m mod8；Q4+m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。endprint

4 定理證明

證明：設(shè)（X，Y）是方程X3+1=3mQY2的整數(shù)解，即（X+1，X2-X+1）=3，X2-X+10。又ri≡，其中i大于等于1，小于等于s，并且屬于彼此不同的素?cái)?shù)，即X2-X+10，并且i大于等于1，小于等于s，這時方程X3+1=3mQY2有下列兩種情形，分別為X+1=9Qu2，X2-X+1=3mv2，Y=3uv，（u，v）=1；X+1=9Qu2，X2-X+1=3v2，Y=3uv，（u，v）=1。

情形一：將X+1=9Qu2代入X2-X+1=3mv2，整理得，m（2v）2-3（6Qu2-1）2=1，則（2v，6Qu2-1）是方程eX2-3Y2=1的一組解。對于條件一：m=27e2+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Qm mod8；Q4-m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。因?yàn)椋?，3e）是方程eX2-3Y2=1的最小解，則方程m（2v）2-3（6Qu2-1）2=1表示為2v√m+（6Qu2-1）√3=±[√m+3e√3]2n+1，。

由2v√m+（6Qu2-1）√3=±[√m+3e√3]2n+1，可得6Qu2-1≡（3e），因?yàn)?|3e，所以-1≡（3e），較矛盾，從中可知，上述假設(shè)不成立。

對于條件二：m=12e2+1，e∈N，Q滿足下列三種條件，分別為3Q-m mod8；Q4+m（mod8）；m≡1，7，17，23，（）。因?yàn)椋?，2e）是方程eX2-3Y2=1的最小解，則方程m（2v）2-3（6Qu2-1）2=1的全部整數(shù)解表示為2v√m+（6Qu2-1）√3=±[√m+3e√3]2n+1，。由2v√m+（6Qu2-1）√3=±[√m+3e√3]2n+1，可得，6Qu2-1≡（2e），因?yàn)?|2e，所以-1≡（2e），較矛盾，從中可知，上述假設(shè)不成立。條件三利用同樣方法證明，也不成立。

情形二，將X+1=9Qu2代入X2-X+1=3mv2，整理得，（2v）2-3（6mQu2-1）2=1，則（2+√3）是方程X2-3Y2=1的根本解，因此有6mQu2-1=±Yn，，即6mQu2-1=±Yn+1，僅考慮6mQu2=±Yn+1，因此，Yn≡。以此代入可知，方程X3+1=3mQY2的平凡解（X，Y）=（-1，0），即定理1成立。

5 結(jié)論

綜上所述，針對丟番圖方程x～3±1=3qPy～2進(jìn)行整數(shù)解分析，通過相關(guān)引理，得出相關(guān)結(jié)論，同時，對其進(jìn)行定理證明，這對丟番圖方程深入分析具有重要意義。本文所研究的丟番圖方程在方法應(yīng)用以及定理證明等方面仍存在些許不足，要想實(shí)現(xiàn)丟番圖方程的有效性分析，應(yīng)繼續(xù)分析研究理論，針對相關(guān)理論進(jìn)行價值探討、全面學(xué)習(xí)，以此提高丟番圖方程整數(shù)解的準(zhǔn)確性。

參考文獻(xiàn)

[1]杜先存.丟番圖方程x～3±1=3qPy～2的整數(shù)解[N]. 鄭州大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2015，（1）：38-41+45.

[2]尚旭，王澤燈.關(guān)于不定方程x～2+4～n=y～（15）（n=1，2，3）的整數(shù)解[J].渭南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2017，（8）：33-41.

[3]杜先存，萬飛，楊慧章.關(guān)于丟番圖方程X～3±1=1267y～2的整數(shù)解[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，2013，（15）：288-292.

[4]管訓(xùn)貴，杜先存.關(guān)于丟番圖方程x～3-1=13py～2的整數(shù)解[J].沈陽大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，（6）：511-513.

[5]李彤，夏張莉，宿偉玲.求解丟番圖方程的模擬植物生長算法[J].中國管理科學(xué)，2012，（S1）：143-147.

[6]杜先存，孫映成，萬飛.關(guān)于丟番圖方程x～3+1=3pqy～2的整數(shù)解[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，（12）：18-22.

[7]管訓(xùn)貴，杜先存.關(guān)于丟番圖方程x～3+1=13py～2的整數(shù)解[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，（2）：36-38.endprint