關(guān)于積分變限函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的探討

紀(jì)銘

摘要：本文通過例題解析的形式對高等數(shù)學(xué)中積分變限函數(shù)求導(dǎo)數(shù)問題進行分析和總結(jié)，希望加深學(xué)生對積分變限函數(shù)的理解和運用。

關(guān)鍵詞：積分變限函數(shù) 變限積分 求導(dǎo)

積分變限函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一類具有特殊形式的函數(shù)，在證明原函數(shù)存在定理和牛頓—萊布尼茲公式定理中占有重要地位。同時積分上限函數(shù)又作為一般函數(shù)，一般常見題型以求導(dǎo)數(shù)為主。

1.知識準(zhǔn)備

定理1 如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則積分上限函數(shù)

在[a，b]上可導(dǎo)，并且它的導(dǎo)數(shù)

定理2 如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么函數(shù)

就是在區(qū)間[a，b]上的一個原函數(shù)。

2.例題解析

例1 設(shè)連續(xù)，則

（A） （B）

（C） （D）

【分析】這是上下限均為已知函數(shù)的變限積分，直接由變限積分求導(dǎo)法得。故選A。

例2 設(shè)求

【分析】被積函數(shù)含自變量，不能直接求導(dǎo)，需要先轉(zhuǎn)化到積分外面去。

對被積函數(shù)做恒等變形，配方法得，于是

例3 求

【分析】這是求型的極限。用洛必達法則時就要求變限積分求導(dǎo)數(shù)。

3.小結(jié)

積分變限函數(shù)是以一種新的定義方式出現(xiàn)的函數(shù)，在學(xué)習(xí)難度上較大，但歸根結(jié)底，積分變限函數(shù)的基礎(chǔ)是求導(dǎo)數(shù)，因此，掌握其求導(dǎo)數(shù)的基本方法并加以練習(xí)和延拓，必能將積分變限函數(shù)掌握。

參考文獻：

[1]數(shù)學(xué)分析[M] 華東師范大學(xué)數(shù)理系 高等教育出版社 2001

[2]數(shù)學(xué)輔導(dǎo)全書（數(shù)學(xué)一）[M] 李正元 李永樂 范培華 中國政法大學(xué)出版社 2017endprint