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    以橢圓為例研究圓錐曲線的由來及其解析定義

    2017-11-15 11:40:43江西省宜春中學(xué)2018屆高三22
    數(shù)學(xué)大世界 2017年29期
    關(guān)鍵詞:圓錐圓柱橢圓

    江西省宜春中學(xué)2018屆高三(22)班 宋 禹

    以橢圓為例研究圓錐曲線的由來及其解析定義

    江西省宜春中學(xué)2018屆高三(22)班 宋 禹

    高中數(shù)學(xué)教材將橢圓、雙曲線、拋物線歸在圓錐曲線章節(jié)中,這在當(dāng)時(shí)給我及許多初學(xué)的同學(xué)帶來了一些疑惑。不管是第一定義、第二定義還是性質(zhì)與判斷,這三種曲線似乎都與圓錐并無聯(lián)系,為什么它們會(huì)被命名為圓錐曲線呢?

    為了解開這個(gè)疑惑,筆者查閱資料研究圓錐曲線的發(fā)展歷史。原來,最初這幾種曲線就是用平面切割圓錐得到的,故命名為圓錐曲線。在2000多年前,古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的著作《圓錐曲線》中,記載了用不同角度的平面去截一個(gè)二次錐面,得到的交線中就包括橢圓、雙曲線、拋物線及一些退化情形(圓和直線)。而我們現(xiàn)在所熟知的圓錐曲線的定義和性質(zhì),是在16世紀(jì)以后才由數(shù)學(xué)家們陸續(xù)發(fā)現(xiàn)的,之后對于圓錐曲線的研究更多偏向于解析幾何方向,包括直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中。

    然而,為什么用一個(gè)平面截圓錐就能得到橢圓等曲線?這些曲線為什么能滿足解析幾何下的定義?這仍然是困擾許多高中學(xué)生的問題。本文以橢圓為例,從平面幾何和立體幾何的角度證明,用平面截圓錐所得曲線確實(shí)可以滿足橢圓的解析定義。因直接研究平面截圓錐較煩瑣,本文先從證明平面截圓柱所得“圓柱曲線”為橢圓開始說明。

    一、平面截圓柱

    首先證明用一個(gè)平面截圓柱的側(cè)面所得曲線為橢圓,具體可以簡化為如下模型。

    例1 如圖1,平面α截圓柱得到曲線C,求證:曲線C為橢圓。

    圖1

    分析:令A(yù)'B'= 2r,AA'= 2h,AB'=2a,則有r2+h2=a2,證明橢圓可以通過其定義“到兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)”來證明,但關(guān)鍵之處就是要確定橢圓的焦點(diǎn)位置,這里可以應(yīng)用先猜后證的思想。圖中可猜想其“長軸”為2a,“短軸”為2r,則得出其焦距為2h,如果在AB上取兩點(diǎn)C、D,使CO=DO=h,那C、D可能就是兩焦點(diǎn),這之后如果能證明曲線上任意一點(diǎn)P,使得PC+PD=2a,問題就解決了。

    證明:在線段AB上取C、D兩點(diǎn),使CO=DO=h,做出如圖所示的輔助線,其中PF⊥AB',P'E⊥A'B',易得四邊形PP′EF是矩形。

    設(shè)P'E=y(tǒng),EO'=x,則x2+y2=r2,

    PC2=PF2+FC2=P'E2+(FE-CC')2+(EO'-C'O')2,

    所以曲線C是以2a為長軸,2r為短軸,2h為焦距的橢圓。

    這只是證明的第一步,只證明了所謂的“圓柱曲線”為橢圓。如果能證明平面截圓錐側(cè)面所得曲線在底面的投影是一個(gè)圓,那么運(yùn)用這個(gè)模型就可以直接得出該曲線可以是橢圓的結(jié)論,但投影是不是圓有待證明。

    二、先猜后證

    例2 如圖2,平面α截圓錐形成曲線C,曲線C在圓錐底面的投影是不是圓?

    圖2

    思路:同樣是先猜后證的思想,猜想它是個(gè)圓,之后找等量關(guān)系,即其上任意一點(diǎn)到圓心的距離相等。若能證明其是圓,問題便迎刃而解,若不是圓,用字母表示很難證出,最快的方法就是用特殊值法判斷其有沒有可能是圓。

    解:用特殊值法判斷。設(shè)底面圓半徑R=1,圓錐的高H=3,AA'=2h=2,則h=1,取底面圓上任意一點(diǎn)P,連接PO',PO,PO交曲線C于D,PO'交曲線BA'于D',曲線C的投影是曲線BA',所以DD′與底面垂直。

    這樣就得到了x,y的關(guān)系式,現(xiàn)在只需要將任意一個(gè)符合條件的x的值帶入,求出ED'的值,將其與EA'比較,就可初步判斷其是否可能為圓。

    ∴D'E≠A'E,所以曲線C在圓錐底面的投影不是圓。

    這樣便不能運(yùn)用之前的那個(gè)模型,通過此方法也就無法說明曲線C為橢圓,所以這部分只當(dāng)作先猜后證以及特殊值法的一種運(yùn)用,激發(fā)讀者想到更好的方法。

    三、平面截橢圓柱

    既然二中的投影不是圓,筆者就自然而然地想到了是橢圓,還是通過一中的方法,首先證明平面截橢圓柱得到的圖形是橢圓。

    例3 如圖3,平面α截橢圓柱得到曲線C,求證:曲線C為橢圓。

    圖3

    分析:類似于一中先猜后證的思想方法,先找出其“焦點(diǎn)”位置令NM'=2a,MM'=2h,MN=2A,則有

    設(shè)底面橢圓的半短軸長(即是曲線C的“半短軸”長)為b,曲線C的半焦距為C,則有同樣的道理,只要在曲線C上找一點(diǎn)P,使得兩“焦點(diǎn)”S、T的距離之和PS+PT=2A,即可得證。

    解:設(shè)NM'=2a,MM'=2h,MN=2A,底面橢圓的半短軸長為b,則有在M、N上取兩點(diǎn)S、T,使得SO=OT=C(其中

    令m=PS+PT,化簡可得:m=2A,所以曲線C為橢圓。

    接下來,如果能證明圓錐曲線(橢圓)在底面圓的投影是橢圓,那么運(yùn)用這個(gè)模型就可以解決這個(gè)問題了,這里就不再進(jìn)行深入討論讀者有意可繼續(xù)探究。

    四、探究過程中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論

    回顧“一”中的探究過程,筆者發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)現(xiàn)象:

    所證橢圓AB的離心率

    在三角形BAA'中,sin∠ABA'=仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn),該角是平面與圓柱底面所成的二面角,所以可概括為:sinθ=e。(θ為平面截圓柱時(shí),平面與圓柱底面所成二面角的大小,e為所截的橢圓的離心率)

    本文是筆者為解開自己和同學(xué)們關(guān)于圓錐曲線的疑惑所做的研究,證明了橢圓的幾何定義與解析定義的等價(jià)性,也發(fā)現(xiàn)了一些有益的結(jié)論,其中反復(fù)運(yùn)用了先猜后證的思想。猜證思想是數(shù)學(xué)中重要的工具之一,許多偉大的數(shù)學(xué)定理都是科學(xué)家們先有大致的猜測再經(jīng)過嚴(yán)格的證明得到。同樣,在高中數(shù)學(xué)解題中,這也是一種很重要的思想,但是在實(shí)際操作過程中,同學(xué)們往往猜測之后沒有嚴(yán)格證明,或者在證明過程中碰到困難就輕易放棄猜想,如在本文二中發(fā)現(xiàn)平面截圓錐所得曲線的投影不是圓后,就認(rèn)為該曲線不是橢圓。這些問題都是同學(xué)們常犯的問題,希望本文能為大家對于猜證思想的運(yùn)用帶來更深的認(rèn)識,大膽假設(shè),細(xì)心求證!

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