底部局部加熱多孔介質自然對流傳熱的格子Boltzmann模擬?

何宗旭 嚴微微 張凱 楊向龍 魏義坤

1)(中國計量學院計量測試工程學院,杭州 310018)

2)(深圳大學土木工程學院,深圳 518060)

3)(浙江理工大學機械與自動控制學院,杭州 310018)

底部局部加熱多孔介質自然對流傳熱的格子Boltzmann模擬?

何宗旭1)嚴微微1)?張凱1)楊向龍2)魏義坤3)

1)(中國計量學院計量測試工程學院,杭州 310018)

2)(深圳大學土木工程學院,深圳 518060)

3)(浙江理工大學機械與自動控制學院,杭州 310018)

自然對流傳熱,多孔介質,格子Boltzmann方法

運用格子Boltzmann方法研究了底部局部加熱多孔介質方腔的自然對流傳熱.方腔的上壁面為低溫熱源,下壁面為局部高溫熱源,左右壁面為絕熱條件.重點分析了高溫熱源位置a及尺寸b對多孔介質方腔自然對流傳熱性能的影響,提出了平均Nusselt數和位置a及尺寸b的擬合關系式.研究結果表明:高溫熱源位置及尺寸對多孔介質方腔內自然對流傳熱性質的影響很大,且存在最佳高溫熱源位置(a=4/16)和尺寸(b=0.75),以達到最強的對流換熱強度(max≈10.35)和最大的對流換熱量(Qmax≈5.69).

1 引 言

多孔介質中的對流傳熱現象在自然界和工程實踐中普遍存在[1],例如:核反應堆的冷卻絕熱、巖石與土壤的蓄熱蓄冷、石油和天然氣的勘探、太陽能集熱器的開發(fā)利用[2]等.因此,開展多孔介質對流傳熱的研究具有重要的理論意義與應用價值.

目前,對多孔介質的對流傳熱問題的研究比較廣泛[1,2],現有研究主要集中在側壁加熱和底部加熱兩個方面.就側壁加熱而言,陳凱等通過在方腔內布置固體顆粒以模擬多孔介質結構,采用虛擬區(qū)域方法求解了多孔介質中流體的流場和溫度場,詳細研究了固體顆粒的數目、布置方式和形狀對傳熱效率的影響[3].Yan等[4]運用格子Boltzmann方法(lattice Boltzmann method,LBM)模擬了側壁加熱多孔介質方腔的自然對流傳熱,發(fā)現邊緣介質孔隙度對對流傳熱性能的影響很大,而中間介質孔隙度的作用效果甚微.就底部加熱而言,楊偉等采用整體求解法對底部加熱方腔內的溫度場和速度場進行了數值研究,著重分析了瑞利數對多孔介質方腔自然對流換熱性能的影響[5].基于分岔理論,孔祥言和吳建兵[6]運用有限差分方法研究了多孔介質底部加熱所引起的非達西自然對流,并確定了流體熱膨脹系數與分岔臨界瑞利數的關系.Fatih[7]應用有限元方法模擬了方腔底部溫度隨時間變化的多孔介質對流傳熱,發(fā)現對流傳熱特性受控于底部溫度邊界變化的頻率和幅值.

由于多孔介質結構的復雜性,采用實驗方法研究其中的對流傳熱機理仍存在較大困難.研究者大多采用諸如有限元、有限差分、有限體積等數值方法研究多孔介質的對流傳熱特性[3,5?7].對于熱傳遞的數值研究,蒙特卡羅法也是一種行之有效的計算方法[8?10].目前,研究者對側壁加熱多孔介質對流傳熱機理的認識已較為成熟[3,4],而對底部加熱多孔介質對流傳熱特性的研究還較為少見,主要原因在于求解熱流分岔等非線性特性仍存在較大困難[5?7,11].由于計算的高效性、精確性和魯棒性等優(yōu)點,LBM越來越受到研究者的重視[12,13],且已被成功應用于多孔介質對流傳熱的建模與模擬[4,14?17].最具代表性的LBM模型是Guo和Zhao[18]所提出的熱格子Boltzmann模型(thermal lattice Boltzmann model,TLBM),其基本思想是采用一套格子Boltzmann方程求解多孔介質流動的速度場,采用另一套格子Boltzmann方程求解多孔介質流動的溫度場,再把速度場和溫度場通過Boussinesq近似方程耦合起來.本文采用TLBM對方腔底部局部加熱的多孔介質對流傳熱特性展開數值研究,主要分析高溫熱源位置及尺寸對多孔介質對流傳熱性能的影響.

2 數值方法

2.1 物理模型

圖1為多孔介質二維方腔底部局部加熱的物理模型.方腔的無量綱長度和寬度均為L=1,假設其內部充滿各向同性的飽和多孔介質,多孔介質間隙充滿流體.方腔的左右壁面保持絕熱;下壁面距離左壁面a處有一無量綱長度為b的高溫熱源,其無量綱溫度為Th=1;上壁面和下壁面的左右部位均為低溫熱源,其無量綱溫度為Tc=0.在高溫熱源作用下,方腔內的流體會發(fā)生對流傳熱現象.

圖1 多孔介質自然對流傳熱的物理模型Fig.1. Physical model of natural convective heat transfer in porous cavity.

2.2 多孔介質流動的控制方程

本文基于Brinkman-Forchheimer擴展Darcy模型,在表征單元體積尺度下模擬多孔介質的對流傳熱[19],其宏觀控制方程為

(1)—(3)式分別為不可壓多孔介質流動的質量、動量和能量守恒方程.其中u,p和T分別為流體的體積平均速度、壓力和溫度;ε為多孔介質的孔隙度,α為有效熱傳導率,ν為有效黏性系數,σ為多孔介質固體骨架和流體的熱容比;ρ為流體密度,采用Boussinesq假設.F為多孔介質固體骨架對流體的作用力:

這里G=?gβ(T?T0),g為重力加速度,β為熱膨脹系數,T0為系統(tǒng)平均溫度.多孔介質幾何形狀因子Fε和滲透率K與孔隙度ε的關系為:和這里dp為多孔介質固體顆粒的有效直徑.由方程(1)—(3)控制的多孔介質對流傳熱問題由ε及以下3個無量綱參數描述,即普朗特數,Pr=ν/αe;達西數,Da=K/L2;瑞利數,Ra=gβΔTL3/(ναe).

2.3 多孔介質流動的LBM模型

采用LBM模擬方腔內的多孔介質對流傳熱.基于D2Q9模型[12,13],LBM的演化方程為:

式中i=0—8,fi和Ti分別為流體粒子的速度和溫度分布函數,Δt為時間步長.和分別表示處于平衡態(tài)的速度和溫度分布函數[8]:

式中cs為聲速,ωi為權重,ω0=4/9;當i=1—4時,ωi=1/9;當i=5—8時,ωi=1/36.τ為無量綱松弛時間,由τ=0.5+νe/Δt決定.(5)式中力項Fi表示為

流體的體積平均密度、溫度和速度分別表示為

3 結果與討論

3.1 模型驗證

為了驗證計算網格的可靠性,選用120×120,160×160和200×200三種網格對多孔介質對流傳熱進行數值模擬.首先,整個下壁面設置為高溫熱源,即a=0,b=1.其他模擬參數設置為:Pr=0.71,ε=0.4,Da=10?3,Ra=106.圖2為計算所得方腔中間高度的豎直速度和溫度分布.三種網格下的流體速度分布曲線幾乎重合,而溫度分布曲線存在一定的偏差.其中,160×160和200×200網格下的溫度分布曲線符合較好,最大偏差約為0.77%,而120×120和160×160網格下的溫度分布曲線偏差較大,最大偏差約為1.6%.因此,本文采用160×160網格對多孔介質對流傳熱進行模擬研究.

圖2 (網刊彩色)三種網格下方腔中間高度的豎直速度(a)和溫度分布(b)對比Fig.2.(color online)Comparison of the vertical velocity(a)and temperature distribution(b)at the middle height of the cavity with the three different grids.

圖3 (網刊彩色)方腔內純流體自然對流傳熱的計算結果(a)與實驗結果(b)的對比Fig.3.(color online)Comparison of natural convection heat transfer of pure fl uid in cavity between the calculation(a)and experimental result(b).

圖4 (網刊彩色)高溫熱源位置a變化時多孔介質對流傳熱的流線和等溫線 (a)a=0,b=1/2;(b)a=3/16,b=1/2;(c)a=4/16,b=1/2;(d)a=5/16,b=1/2;(e)a=8/16,b=1/2Fig.4.(color online)Streamlines and isotherms of natural convective heat transfer in porous cavity as the hot heat source position a varies from 0 to 8/16:(a)a=0,b=1/2;(b)a=3/16,b=1/2;(c)a=4/16,b=1/2;(d)a=5/16,b=1/2;(e)a=8/16,b=1/2.

為了驗證計算方法的可靠性,本文運用LBM模擬了Pr=0.71,ε=1.0,Ra=2.02×105條件下方腔內純流體的自然對流傳熱,并把模擬結果與文獻[20]實驗結果進行對比.由圖3可知,計算結果與實驗結果符合良好,從而驗證了LBM用于模擬多孔介質對流傳熱問題的準確性和可靠性.

3.2 高溫熱源位置對對流傳熱特性的影響

為了研究高溫熱源位置對多孔介質對流傳熱的影響,選取高溫熱源尺寸b=1/2為定量,而高溫熱源位置距離左壁的無量綱長度a=0,1/16,2/16,···,8/16.其他模擬參數設置為:Pr=0.71,ε=0.4,Da=10?3,Ra=106.圖4為高溫熱源位置a變化時多孔介質對流傳熱的流線和等溫線.當a=0時,在方腔內形成一個呈順時針運動的旋渦,此時等溫線不閉合,并在左下壁附近形成高溫區(qū).隨著高溫熱源位置的右移,當a=3/16時,單旋渦對流分裂成2個大小不一的旋渦.由于對流傳熱的作用,靠近左壁的小旋渦呈逆時針運動,靠近右壁的大旋渦呈順時針運動,此時溫度分布與高溫熱源形成了閉合曲線.當a=4/16時,即高溫熱源位于方腔底部正中,此時方腔內形成2個大小相等方向相反的旋渦,流線和等溫線均呈左右對稱.當a=5/16時,對流傳熱的流線和等溫線與a=3/16時的情況相似,兩者呈左右鏡像對稱.當a=8/16時,在方腔內形成呈逆時針的單旋渦對流,此時對流傳熱的流線和等溫線與a=0時的情況呈左右鏡像對稱.

為了定量分析高溫熱源位置a對多孔介質對流傳熱的影響,計算得到方腔中間高度的豎直速度和溫度隨a的變化情況.由圖5可以看出,當a=0,8/16及a=3/16,5/16時,速度分布和溫度分布均呈左右對稱,最大速度Vmax和溫度Tmax出現的位置與a密切相關.隨著a的增大,Vmax和Tmax出現的位置向右移動.當a=4/16時,Vmax和Tmax均出現于方腔的中間寬度x=0.5處.總體而言,不同a值下方腔中間高度的最大速度和最小速度相近,即Vmax≈65,Vmin≈?55.然而,當a=0,8/16時,由于對流傳熱較弱,Tmax≈0.62分別出現在左右壁面上,且明顯大于a=3/16,4/16和5/16時的最大溫度Tmax≈0.56.

圖5 (網刊彩色)高溫熱源位置a變化時方腔中間高度的豎直速度分布(a)和溫度分布(b)Fig.5.(color online)Vertical velocity distribution(a)and temperature distribution(b)at the middle height of porous cavity as the hot heat source position a varies.

是衡量高溫熱源在壁面上換熱強度的一個重要無量綱參數.本文通過計算得到隨a值的變化規(guī)律.由圖6(a)可以觀察到:分布關于a=4/16對稱;當a＜4/16時,Nu隨a值的增大而增大;當a＞4/16時,Nu隨a值的增大而減小;而當a=4/16時,取得最大值,且10.35,此時多孔介質自然對流換熱的強度最強.運用最小二乘法,得到Nu關于a值的擬合關系式(擬合優(yōu)度為90.6%):0≤a≤0.5.圖6(b)為高溫熱源向方腔輸出的無量綱換熱量Qhot隨a值的變化規(guī)律.Qhot隨位置a的變化規(guī)律與相似,其分布關于a=4/16對稱,并在a=4/16處取得最大值,且Qmax≈5.18.綜上所述可以得到:當高溫熱源尺寸b為定值時,高溫熱源位置a的變化對多孔介質方腔自然對流傳熱的影響很大,當高溫熱源位于方腔底部正中時,多孔介質的對流傳熱最為劇烈.因此,可以通過合理設置a值,以獲得特定位置的對流換熱強度和熱量輸出強度,這對于換熱器的設計具有一定的理論指導意義.

圖6 (網刊彩色)(a)Nu隨著a的變化規(guī)律及擬合結果;(b)Qhot隨a的變化規(guī)律Fig.6.(color online)(a)Variation of changes with a and its fi tting results;(b)variation of Qhotchanges with a.

3.3 高溫熱源尺寸對對流傳熱特性的影響

為了研究高溫熱源尺寸b對多孔介質對流傳熱的影響,選取高溫熱源位置位于方腔的底部中心,而高溫熱源尺寸b=0.2,0.4,0.6,0.8,1.0.其他模擬參數設置為:Pr=0.71,ε=0.4,Da=10?3,Ra=106.圖7為高溫熱源尺寸b變化時多孔介質對流傳熱的流線和等溫線分布.當b=0.2,0.4,0.6時,多孔介質對流的流線呈大小相等、左右對稱的雙旋渦模式,此時的溫度分布與高溫熱源形成閉合曲線.當b=0.8,1.0時,多孔介質對流模式由雙旋渦分裂為4個較大的旋渦運動.由于對流模式的改變,等溫線發(fā)生了很大變化,且由單峰線變成了雙峰線.因此,高溫熱源尺寸b對多孔介質對流傳熱的影響很大,它既會影響流體的對流模式,也會影響熱量的傳遞模式.

為了定量分析熱源尺寸b對多孔介質對流傳熱的影響,計算得到方腔中間高度的豎直速度和溫度分布隨b的變化情況.如圖8所示:由于多孔介質對流模式的變化,豎直速度和溫度分布由b=0.2,0.4,0.6時的單峰線變成了b=0.8,1.0時的雙峰線.隨著b從0.2,0.4增加到0.6,單峰線最大速度由47.5,60.0增大到62.0,而單峰線最大溫度由0.32,0.50增加到0.60;隨著b從0.8增加到1.0,雙峰線最大速度由48.0增加到50.2,而雙峰線最大溫度由0.58增大到0.62.

4 結 論

運用LBM模擬了多孔介質方腔底部局部加熱的自然對流傳熱,主要分析了高溫熱源位置及尺寸對流場、溫度場和對流傳熱強度的影響,研究結果對換熱器的設計具有一定的理論指導意義.具體的研究結論如下.

圖8 (網刊彩色)高溫熱源尺寸b變化時方腔中間高度的豎直速度分布(a)和溫度分布(b)Fig.8.(color online)Vertical velocity distribution(a)and temperature distribution(b)at the middle height of porous cavity as the hot heat source size b varies.

圖9 (a)隨b的變化規(guī)律及擬合結果;(b)Qhot隨b的變化規(guī)律Fig.9.(a)Variation of changes with b and its fi tting results;(b)variation of Qhotchanges with b.

1)當高溫熱源長度b=1/2為恒定時,底部高溫熱源位置a對多孔介質方腔對流傳熱的影響很大.存在最佳高溫熱源位置,即a=4/16,以達到最強的對流換熱強度,即

2)當高溫熱源位置處于方腔底部正中時,底部高溫熱源尺寸b對多孔介質方腔對流傳熱的影響也很大.隨著b值的增大,多孔介質方腔高溫壁面的值隨之減小,且存在最佳高溫熱源尺寸,即b=0.75,以得到最大的對流換熱量,即Qmax≈5.69.

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Simulation of e ff ect of bottom heat source on natural convective heat transfer characteristics in a porous cavity by lattice Boltzmann method?

He Zong-Xu1)Yan Wei-Wei1)?Zhang Kai1)Yang Xiang-Long2)Wei Yi-Kun3)

1)(College of Metrology and Measurement Engineering,China Jiliang University,Hangzhou 310018,China)
2)(College of Civil Engineering,Shenzhen University,Shenzhen 518060,China)
3)(Faculty of Mechanical Engineering and Automation,Zhejiang Sci-Tech University,Hangzhou 310018,China)

20 April 2017;revised manuscript

17 May 2017)

The in fl uence of bottom heat source on natural convective heat transfer characteristics in a two-dimensional square cavity fully fi lled with a homogeneous porous medium is numerically studied by the lattice Boltzmann method.In this physical model,the upper wall of porous cavity is set to be a cold heat source,and the bottom wall is designed as a local hot heat source.Both the left wall and the right wall are set to be adibatic.Speci fi cally,the e ff ects of both the position and size of bottom heat source on the properties of natural convective heat transfer are analyzed.The numerical results show that the position and size of bottom heat source have great in fl uences on the characteristics of natural convective heat transfer,and there also exist the best position(a=4/16)and optimal size(b=0.75)of the bottom heat source for the maximal convective heat transfer intensity(max≈10.35)and heat exchange capacity(Qmax≈5.69).

natural convective heat transfer,porous medium,lattice Boltzmann method

(2017年4月20日收到;2017年5月17日收到修改稿)

10.7498/aps.66.204402

?浙江省自然科學基金(批準號:LY15A020005)和國家自然科學基金(批準號:11202203,11472260,11502237)資助的課題.

?通信作者.E-mail:yanww@cjlu.edu.cn

?2017中國物理學會Chinese Physical Society

http://wulixb.iphy.ac.cn

PACS:44.30.+v,47.27.teDOI:10.7498/aps.66.204402

*Project supported by the Natural Science Foundation of Zhejiang Province,China(Grant No.LY15A020005)and the National Natural Science Foundation of China(Grant Nos.11202203,11472260,11502237).

?Corresponding author.E-mail:yanww@cjlu.edu.cn