基于擴(kuò)展DFT的諧波檢測(cè)算法的研究

張靜　趙慶生　王旭平　郭尊

摘 要： 傳統(tǒng)離散傅里葉變換（DFT）算法因其具有計(jì)算效率高，便于在嵌入式系統(tǒng)中應(yīng)用的優(yōu)點(diǎn)而廣泛應(yīng)用于諧波檢測(cè)中，但其在非同步采樣下，頻譜泄露和柵欄效應(yīng)的存在將會(huì)影響到測(cè)量結(jié)果的精確性。將擴(kuò)展傅里葉變換（EDFT）應(yīng)用于諧波檢測(cè)中，EDFT以傅里葉積分變換為目標(biāo)，在擴(kuò)展的頻率范圍內(nèi)優(yōu)化變換基即利用變換基函數(shù)取代傳統(tǒng)DFT變換中的指數(shù)基來(lái)構(gòu)造信號(hào)的目標(biāo)函數(shù)，并將原始數(shù)據(jù)通過(guò)迭代近似擬合從而使測(cè)量精度得以提高。經(jīng)驗(yàn)證，在非同步采樣和噪聲存在的條件下，該方法依然有較高的頻率分辨率和較強(qiáng)的抗干擾特性，適用于高精度測(cè)量或檢測(cè)。

關(guān)鍵詞： 非同步采樣； DFT； 擴(kuò)展傅里葉變換； 諧波檢測(cè)

中圖分類(lèi)號(hào)： TN911.6?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2017）21?0175?05

Research on harmonic detection algorithm based on extended DFT

ZHANG Jing1， ZHAO Qingsheng1， WANG Xuping1， GUO Zun2

（1. Shanxi Key Laboratory of Power System Operation and Control， Taiyuan University of Technology， Taiyuan 030024， China；

2. School of Electrical and Electronic Engineering， North China Electric Power University， Beijing 102206， China）

Abstract： The traditional discrete Fourier transform （DFT） algorithm has fast computational efficiency and is convenient to apply to the embedded system， which is widely used in the harmonic detection. However， the available spectrum leakage and picket fence effect may influence the accuracy of the measuring result under the condition of asynchronous sampling. The extended discrete Fourier transform （EDFT） algorithm is applied to the harmonic detection. Taking the Fourier integral transform as the target of EDFT algorithm， the transform basis is optimized within the extended frequency range， for which the index basis in traditional DFT is replaced by the transform basis function to construct the target function of the signal. The original data is carried out with the iterative approximation fitting to improve the measuring accuracy. The simulation result shows that， under the conditions of asynchronous sampling and noise， the algorithm has high frequency resolution and strong anti?interference ability， and is suitable for the high?precision measurement or detection.

Keywords： asynchronous sampling； DFT； EDFT； harmonic detection

0 引 言

越來(lái)越多的非線(xiàn)性元件接入電網(wǎng)是電網(wǎng)波形失真的主要原因，諧波、間諧波和分諧波等的存在嚴(yán)重影響電力系統(tǒng)的電能質(zhì)量[1]。精確的電能質(zhì)量算法在電力系統(tǒng)安全檢測(cè)、瞬態(tài)值估計(jì)和繼電保護(hù)中起著重要的作用。

現(xiàn)如今諧波檢測(cè)的主流算法有：Prony 算法[2]、小波變換法[3]和離散傅里葉變換（DFT）法[4]等。Prony 算法頻率分辨率較高，但對(duì)噪聲較敏感；小波變換法雖能濾除不同頻率的信號(hào)從而提高頻率分辨率，但其計(jì)算復(fù)雜且需DSP具有更強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理能力；離散傅里葉變換（DFT）計(jì)算速度快，能較好地處理諧波，可以方便地應(yīng)用于嵌入式系統(tǒng)中而成為電能質(zhì)量計(jì)算中應(yīng)用最廣泛的算法之一。但在實(shí)際運(yùn)行的電網(wǎng)中頻率不會(huì)一直不變，就會(huì)引起非同步采樣，頻譜泄露和柵欄效應(yīng)問(wèn)題將會(huì)呈現(xiàn)，DFT計(jì)算精度就會(huì)受到嚴(yán)重影響。加窗插值DFT算法可減輕頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，有效解決諧波和間諧波問(wèn)題，但減小了頻率分辨率[4]。

EDFT以傅里葉積分變換為目標(biāo)，在擴(kuò)展的頻率范圍內(nèi)優(yōu)化變換基，并將原始數(shù)據(jù)通過(guò)迭代從而近似擬合。文獻(xiàn)[5]將EDFT應(yīng)用于感應(yīng)電動(dòng)機(jī)的故障檢測(cè)中，根據(jù)頻域諧波幅值的變化來(lái)確定電機(jī)狀態(tài)，諧波幅值百分比變化可以判斷故障的嚴(yán)重程度。文獻(xiàn)[6]將EDFT用于輸電線(xiàn)路上的電弧故障檢測(cè)和定位，EDFT能有效減少在基波和諧波計(jì)算時(shí)由指數(shù)衰減偏置所引起的誤差，并將故障監(jiān)測(cè)的時(shí)間縮短到3.25 ms。文獻(xiàn)[7]基于EDFT設(shè)計(jì)出了可變帶寬濾波器，所設(shè)計(jì)的濾波器具有更新簡(jiǎn)單、不太復(fù)雜、濾波效果顯著等特性。endprint

為了保證供電可靠性，越來(lái)越多的研究者開(kāi)始研究和探索高精度的諧波檢測(cè)算法。本文將EDFT算法應(yīng)用于諧波檢測(cè)中，該算法是對(duì)傳統(tǒng)DFT算法的改進(jìn)，在擴(kuò)展頻率范圍內(nèi)優(yōu)化變換基，可有效提高測(cè)量精度、抗噪能力和頻率分辨率等，為諧波檢測(cè)提供了新的方向。

1 理論分析

1.1 非同步采樣條件下傳統(tǒng)DFT

傳統(tǒng)的傅里葉變換在同步采樣條件下能很好地處理和分析諧波，然而實(shí)際電網(wǎng)中頻率在發(fā)生偏移，如果仍然以[Nf0]進(jìn)行采樣并且通過(guò)傅里葉變換計(jì)算時(shí)，因頻譜泄露和柵欄效應(yīng)，所得的精確度較低[8]。

設(shè)輸入信號(hào)[x（t）]為只含基波的周期信號(hào)，信號(hào)模型為：

[x（t）=2Xcos2πf0+Δft+φ，-∞

式中：[2X]為幅值；[φ]為初相位；[f0]為基波頻率；[Δf]為頻率偏移。采樣信號(hào)可以表示為：

[x=2Xejφ（1）sinπΔff0NsinπΔfNf0（2）e-j（2φ+2π（N-1）（f+Δf）Nf0）（3）×1+sinπΔfNf0sinπ（2f0+Δf）Nf0e-j2φ+2π（N-1）（f+Δf）Nf0（4）] （2）

由式（2）可以看出，在同步采樣條件下，[Δf=0，]采樣頻率[fs=Nf0，]式（2）可化簡(jiǎn)為[x=2Xejφ。]由以上理論分析可見(jiàn)，同步采樣下，計(jì)算結(jié)果與輸入信號(hào)一致。然而當(dāng)進(jìn)行非同步采樣時(shí)，第一部分是原始的幅值和相位；第二部分和第三部分分別表示當(dāng)頻率偏離標(biāo)稱(chēng)值時(shí)，所產(chǎn)生的幅值和相位誤差；第四部分為幅值和相角的旋轉(zhuǎn)偏移量，與頻率偏移[Δf]和初相[φ]有關(guān)[8]。通過(guò)以上分析可以看出傳統(tǒng)的DFT在非同步采樣下所產(chǎn)生的誤差較大。

1.2 EDFT

為解決傳統(tǒng)傅里葉變換算法由于頻率變化而引起的頻譜泄露和柵欄效應(yīng)的問(wèn)題，EDFT需對(duì)同步采樣沒(méi)有特殊要求，以傅里葉積分變換為目標(biāo)，在擴(kuò)展的頻率范圍內(nèi)優(yōu)化變換基將原始數(shù)據(jù)通過(guò)迭代近似擬合[9]。此外，該算法還可以增加頻率分辨率，穩(wěn)定性更高。

對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)[x（t）]進(jìn)行傅里葉變換和逆變換：

[F（ω）=-∞∞x（t）e-jωtdt] （3）

[x（t）=12π-∞∞F（ω）ejωtdω] （4）

然而，實(shí)際的數(shù)值模擬還是在有限空間，即[-Θ2

EDFT的基本形式為：

[Fα（ω）=-Θ2Θ2x（t）α（ω，t）dt] （5）

同步采樣條件下，EDFT計(jì)算式為：

[Fα（ω）=k=0K-1x（kT）α（ω，kT）] （6）

非同步采樣條件下，EDFT計(jì)算式為：

[Fα（ω）=k=0K-1x（tk）α（ω，tk）] （7）

擴(kuò)展傅里葉逆變換計(jì)算式：

[xα（t）=12π-ΩΩFα（ω）ejωtdω] （8）

用變換基[α（ω，t），α（ω，tk），α（ω，kT）]代替?zhèn)鹘y(tǒng)傅里葉變換的基[e-jωt]，為了使[F（ω）]與[Fα（ω）]接近，需構(gòu)造函數(shù)：

[F（ω）-Fα（ω）2→min] （9）

然而，對(duì)于帶限信號(hào)[F（ω）]直接求取是困難的，為使式（9）成立必須找一個(gè)表達(dá)式來(lái)替代，考慮在無(wú)限的時(shí)間間隔里用圓頻率[ω0]和幅值譜[S（ω0）]來(lái)表示[x（t）]。

[F（ω）=-∞∞x（ω0，t）e-jωtdt=-∞∞S（ω0）ejω0te-jωtdt=2πS（ω0）δ（ω-ω0）] （10）

顯然式（10）是在信號(hào)[x（t）]的幅值譜已知的情況下才成立的，因此，經(jīng)過(guò)替換的目標(biāo)函數(shù)為：

[Δ=-ΩΩ2πS（ω0）δ（ω-ω0）-Θ2Θ2S（ω0）ejω0tα（ω，t）dt2dω0] （11）

同步采樣和非同步采樣下的EDFT的目標(biāo)函數(shù)就是將式（11）中的[Fα（ω）]用式（6）和式（7）替換并且用[ω0]和[S（ω0）]來(lái)表示[x（tk）]和[x（kT）]。要使目標(biāo)函數(shù)最小即可得出信號(hào)[x（t）]下的[α（ω，t），][α（ω，kT），][α（ω，tk）]等。為了確定[S（ω0）]與時(shí)間序列[x（t），][x（tk）]和[x（kT）]對(duì)應(yīng)的幅值譜[Sα（ω）]，當(dāng)[Δ=0，ω=ω0]時(shí)，定義[Sα（ω）]為：

[Sα（ω）=-Θ2Θ2x（t）α（ω，t）dt-Θ2Θ2ejωtα（ω，t）dt] （12）

同理，同步采樣和非同步采樣條件下的幅值譜與式（12）類(lèi)似。

2 EDFT的實(shí)現(xiàn)

EDFT對(duì)輸入序列[X]進(jìn)行[N]點(diǎn)的傅里葉變換，當(dāng)[N]大于輸入序列的長(zhǎng)度時(shí)，會(huì)自動(dòng)擴(kuò)展輸入序列至[N。]FFT通過(guò)補(bǔ)零的方式達(dá)到數(shù)據(jù)[N，]但補(bǔ)零并不會(huì)影響頻率分辨率[10]。而EDFT主要基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)和擴(kuò)展頻率來(lái)進(jìn)行計(jì)算，頻率分辨率得以提高。該方法可以用于連續(xù)頻率和離散頻率，在連續(xù)頻率下的計(jì)算如下所示：

[Fα（ω）=S（ω）2XR-1Eω，-Ω≤ω≤Ω] （13）

[xα（t）=XR-1Et，-∞

[Sα（ω）=XR-1EωEHωR-1Eω] （15）

當(dāng)然，EDFT在離散頻率[-Ω<ωn<Ω]（其中[n=0，1，2，…，N-1]）下也能實(shí)現(xiàn)，EDFT迭代過(guò)程主要為：

第一步：設(shè)定功率譜向量的初始值為[W0=][[1，1，…，1]1×N]；

第二步：根據(jù)[W0]的初始值來(lái)確定自相關(guān)矩陣[R1；]

第三步：計(jì)算傅里葉變換[F1]、離散幅值譜[S1]、功率譜[W1，]為下一次迭代做準(zhǔn)備。當(dāng)?shù)畲蟠螖?shù)[I]達(dá)到或功率譜變化率小于所給定的閾值時(shí)迭代將會(huì)終止。

[Ri=E?diagWiN?EH] （16）

[Fi=XRi-1EWi] （17）

[Si=XRi-1E.I1×ME*.×（Ri-1E）] （18）

[Wi+1=Si.×Si*] （19）

[δp=sum（Wi）-sum（Wi-1）sum（Wi）] （20）

式中：{·}?1代表矩陣求逆；{·}H表示矩陣的共軛裝置；[·×]代表元素間相乘；[sum（Wi）]代表所有行向量元素的和；[I1×M]代表[1×M]階的所有元素為1的行向量；[I]乘以一個(gè)矩陣可以將矩陣的每行元素添加到一個(gè)行向量。

經(jīng)過(guò)以上迭代過(guò)程進(jìn)行近似擬合，迭代次數(shù)[i=1，2，…，I]（[I]是迭代的最大次數(shù)），其中矩陣[R]為相關(guān)矩陣，[W]為功率譜向量，[X]是同步采樣下的[x（kT）]和非同步采樣下的[x（tk）]，[E]包含元素[e-j2πfnkT]和[e-j2πfntk。][Fi]為第[i]次迭代所得的傅里葉變換結(jié)果，[Si]為第[i]次迭代所得的幅值譜結(jié)果，將其進(jìn)行坐標(biāo)變換即可獲得所需的幅值和相角。算法的流程如圖1所示。

3 算法驗(yàn)證

3.1 仿真算例

為了驗(yàn)證理論分析的正確性，對(duì)同步和非同步采樣條件下的EDFT進(jìn)行驗(yàn)證。信號(hào)的原始頻譜包括3個(gè)非重疊頻域分量：在頻率范圍-0.5～-0.25內(nèi)平坦的帶限噪聲，0～0.25間的矩形脈沖和在頻率為0.35和0.412 5上有兩個(gè)單位的功率復(fù)合指數(shù)。

對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行同步采樣和非同步采樣，同步采樣的時(shí)間間隔是1 s，非同步采樣的平均時(shí)間間隔是1 s，[tk=kT+τk，k=0，1，2，…，K-1]。其中[τk]是在0～0.8間均勻分布的隨機(jī)值，采樣點(diǎn)數(shù)選擇[N=500，]上限頻率[fu=0.5]Hz，分別對(duì)原始頻譜進(jìn)行傳統(tǒng)的DFT變換和EDFT變換，并將兩種方法的功率譜和相對(duì)分辨率的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖2，圖3分別是擴(kuò)展頻率范圍內(nèi)同步采樣和非同步采樣條件下經(jīng)DFT和EDFT后所得的功率譜[10?lgS2]計(jì)算結(jié)果。

對(duì)比圖2（a）和圖3（a）可得，非同步采樣下傳統(tǒng)DFT的誤差較大，所得結(jié)果與式（2）分析相一致。然而由圖2（b），圖3（b）可看出EDFT在同步采樣和非同步采樣條件下誤差都較小，與原始頻譜接近，由此可以得出EDFT適用于高精度的測(cè)量中。諧波檢測(cè)需要考慮的另一個(gè)因素是相對(duì)頻率分辨率，傳統(tǒng)DFT和EDFT的相對(duì)頻率分辨率對(duì)比如圖4所示。

由圖4可看出傳統(tǒng)的DFT算法由[1（2fuTs）]計(jì)算出的相對(duì)頻率分辨率函數(shù)值為常數(shù)1，如實(shí)線(xiàn)所示，頻率為0.35 Hz的時(shí)頻率分辨率達(dá)到最大值（最大值為[NK≈8]），而在頻率為0.412 5 Hz時(shí)沒(méi)有達(dá)到最大值，因?yàn)轭l率間隔[2fuN=0.002]Hz，0.412 5 Hz在兩個(gè)頻率間隔的中間，頻率分辨率達(dá)不到最大值。從圖4中所示的結(jié)果可以看出傳統(tǒng)DFT和EDFT算法性能上的差異，利用傳統(tǒng)的DFT方法由于頻譜泄漏的影響，不能準(zhǔn)確分辨0.35 Hz和0.412 5 Hz的頻率，而EDFT能準(zhǔn)確分辨這兩個(gè)頻率點(diǎn)，充分體現(xiàn)了本文算法具有的超高頻率分辨率特性。

為了驗(yàn)證在噪聲存在條件下EDFT依然能有較高的精度，本文將幅值為0.5，1，2.5，3.5，初始相位任意的4個(gè)正弦信號(hào)和信噪比為15 dB的高斯噪聲作為原始數(shù)據(jù)，在非同步采樣條件下分別進(jìn)行傳統(tǒng)DFT變換和EDFT變換，所得結(jié)果如圖5和圖6所示。其中，圖5（a）所示的是原始數(shù)據(jù)，圖5（b）圈代表原始數(shù)據(jù)的幅值，點(diǎn)線(xiàn)、實(shí)線(xiàn)分別是DFT變換和EDFT變換所得的結(jié)果。圖6（a）是DFT和EDFT在噪聲存在情況下進(jìn)行非同步采樣相對(duì)頻率分辨率高低的對(duì)比，圖6（b）是將原始的時(shí)域數(shù)據(jù)與逆EDFT變換所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

從圖5（b）可以看出，傳統(tǒng)DFT不能識(shí)別出弱小的信號(hào)，而EDFT能準(zhǔn)確地識(shí)別出各種信號(hào)，并且能對(duì)幅值進(jìn)行精確的估計(jì)。圖6（a）中傳統(tǒng)DFT的頻率分辨率[1（2fuTs）=KN=0.064，]其值遠(yuǎn)小于信號(hào)處理的需要，將會(huì)導(dǎo)致頻譜泄露和柵欄效應(yīng)；而EDFT的頻率分辨率通過(guò)式[12fuTsKF.S=1NF.S]計(jì)算所得，增加了[NK]倍，由圖中點(diǎn)線(xiàn)可以看出最大值接近1。從圖6（b）中可以看出擴(kuò)展逆DFT用于輸出長(zhǎng)度為[N]的序列，其中包括[K]點(diǎn)的原始數(shù)據(jù)和[N-K]點(diǎn)插值序列。

3.2 實(shí)例分析

為了觀(guān)察非線(xiàn)性負(fù)載對(duì)電壓的影響，將某可監(jiān)測(cè)電壓的裝置接入220/380 V電壓等級(jí)的測(cè)試點(diǎn)，負(fù)載主要包括功率為3 kW的三相交流電機(jī)和24 kW焊接爐。實(shí)驗(yàn)所得電壓波形如圖7所示，取實(shí)測(cè)電壓數(shù)據(jù)中間有諧波的數(shù)據(jù)進(jìn)行EDFT和傳統(tǒng)DFT分析，結(jié)果如圖8所示。

從圖8中可以清晰地看出，電網(wǎng)中的頻率成分主要為50 Hz，DFT和EDFT都能準(zhǔn)確地檢測(cè)出基波和高次諧波（200 Hz），但是傳統(tǒng)DFT由于頻譜泄露和混疊，頻譜很容易受附近頻率成分的干擾，并不能檢測(cè)出間諧波。而EDFT還可以檢測(cè)出頻率為25 Hz（幅值150.02 V），87.5 Hz（幅值78.33 V）、112.5 Hz（幅值73.58 V）和162 Hz（幅值69.35 V）的間諧波。由此可看出EDFT有較高的頻率分辨率。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文針對(duì)傳統(tǒng)DFT算法在非同步采樣下，影響到電能質(zhì)量測(cè)量結(jié)果的精確性，將EDFT方法應(yīng)用于諧波檢測(cè)中。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在非同步采樣和噪聲存在的條件下，EDFT方法相比DFT方法有較高的頻率分辨率和較強(qiáng)的抗干擾特性，為諧波檢測(cè)提供了新方法。endprint

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