實(shí)變量復(fù)值函數(shù)的連續(xù)性

□陳歡

（陜西國(guó)際商貿(mào)學(xué)院基礎(chǔ)部陜西咸陽(yáng)712046）

實(shí)變量復(fù)值函數(shù)的連續(xù)性

□陳歡

（陜西國(guó)際商貿(mào)學(xué)院基礎(chǔ)部陜西咸陽(yáng)712046）

本文研究了復(fù)值函數(shù)的分析性質(zhì),給出復(fù)值函數(shù)的極限與有界性定義。提出了復(fù)值函數(shù)連續(xù)、左連續(xù)、右連續(xù)、區(qū)間連續(xù)的概念。給出了復(fù)值復(fù)合函數(shù)的概念。

復(fù)值函數(shù)；復(fù)合復(fù)值函數(shù)；復(fù)值函數(shù)連續(xù)；有界性

將實(shí)值函數(shù)進(jìn)行傅里葉變換得到復(fù)值函數(shù)。傅里葉變換在信號(hào)處理，圖像處理以及微分方程求解中有廣泛的應(yīng)用，復(fù)值函數(shù)的研究并不像實(shí)值函數(shù)那么深入。對(duì)復(fù)值函數(shù)研究是必要而有意義的。本文提出了復(fù)值函數(shù)連續(xù)的概念，討論復(fù)值函數(shù)的連續(xù)性，給出了復(fù)值函數(shù)在求解中的應(yīng)用例子。

1 復(fù)值函數(shù)的概念

根據(jù)實(shí)值函數(shù)的概念，引入復(fù)值函數(shù)的概念與復(fù)合復(fù)值函數(shù)如下：

定義1.1[3]設(shè)y=φ(t)和y=ψ(t)是區(qū)間[α,b]上的實(shí)函數(shù)，是虛數(shù)單位，如果對(duì)于區(qū)間[α,b]中的每一個(gè)實(shí)數(shù)t，有唯一復(fù)數(shù)z(t)=φ(t)+iψ(t)與它對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)在區(qū)間[α,b]上給定了一個(gè)復(fù)值函數(shù)，記作z=z(t)，t∈[α,b].

定義1.2（復(fù)合復(fù)值函數(shù)）設(shè)有一個(gè)復(fù)值函數(shù)w=f(u)與實(shí)函數(shù)u=φ(t)

記E*={t|φ(t)∈D}∩E。若E*不為空，則對(duì)每一個(gè)t∈E*，可通過(guò)實(shí)值函數(shù)u=φ(t)對(duì)應(yīng)D內(nèi)唯一的一個(gè)值u，而u又是通過(guò)復(fù)值函數(shù)f(u)對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)值w。這就確定了一個(gè)定義在E*上的復(fù)值函數(shù)，它以t為自變量，w為因變量，記作

稱(chēng)為復(fù)值函數(shù)f(u)和實(shí)值函數(shù)φ(t)的復(fù)合函數(shù)，并稱(chēng)f(u)為外函數(shù)，φ(t)為內(nèi)函數(shù)，u為中間變量。復(fù)值函數(shù)f(u)和實(shí)值函數(shù)φ(t)的復(fù)合運(yùn)算也可記為f°φ。

定義1.3設(shè)z(t)=φ(t)+iψ(t)是定義在區(qū)間[α,b]上的復(fù)值函數(shù)，若φ(t)和ψ(t)均是[α,b]上的有界函數(shù)，那么稱(chēng)z=z(t)是[α,b]上的有界復(fù)值函數(shù)。

還可以按照下面的方法刻畫(huà)它的有界性：設(shè)z=z(t)是定義在區(qū)間[α,b]上的復(fù)值函數(shù)，若存在正數(shù)M,使得對(duì)每一個(gè)t∈[α,b]有

則稱(chēng)z=z(t)是α≤t≤b上的有界復(fù)值函數(shù)。

2 復(fù)值函數(shù)的連續(xù)性

連續(xù)性不僅是實(shí)值函數(shù)的重要性質(zhì)，也是復(fù)值函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。本節(jié)給出復(fù)值函數(shù)極限，連續(xù)的定義，討論它們的性質(zhì)。

定義2.1（復(fù)值函數(shù)極限的ε-δ定義）設(shè)復(fù)值函數(shù)z=z(t)在區(qū)間[α,b]上一點(diǎn)t0的某個(gè)去心鄰域U0(t0;δ')內(nèi)有定義，A為一個(gè)確定的復(fù)數(shù)。若對(duì)任給的ε＞0，存在正數(shù)δ(＜δ')，使得當(dāng)0＜|t-t0|＜δ時(shí)，有

則稱(chēng)復(fù)值函數(shù)z=z(t)當(dāng)t趨于t0時(shí)以A為極限，記作

利用實(shí)函數(shù)極限給出復(fù)值函數(shù)極限的一條性質(zhì)。

性質(zhì)2.1[3]復(fù)值函數(shù)在t趨于t0時(shí)有極限的充分必要條件是它的實(shí)部與虛部在t趨于t0時(shí)有極限。

定義2.2[3]設(shè)復(fù)值函數(shù)z=z(t)在區(qū)間[α,b]的某個(gè)鄰域U(t0)上有定義，若

則稱(chēng)z=z(t)在點(diǎn)t0連續(xù)。

性質(zhì)2.2復(fù)值函數(shù)在t0點(diǎn)連續(xù)等價(jià)于它的實(shí)部與虛部在t0點(diǎn)連續(xù)。

證?由復(fù)值函數(shù)z(t)=φ(t)+iψ(t)在t0點(diǎn)連續(xù)知

?由實(shí)函數(shù)φ(t)，ψ(t)在點(diǎn)t0連續(xù)知

定義2.3（在區(qū)間上連續(xù)）如果復(fù)值函數(shù)z=z(t)在區(qū)間(α,b)上的每一點(diǎn)都連續(xù)，且在α點(diǎn)右連續(xù)，在b點(diǎn)左連續(xù)，那么就稱(chēng)復(fù)值函數(shù)z=z(t)在區(qū)間[α,b]上連續(xù)。

例證明z(t)=t+it2在[-1,1]上連續(xù)。

證任取t0∈(-1,1)，因?yàn)椋詚(t)在(-1,1)上每一點(diǎn)都連續(xù)。又因?yàn)椋詚(t)在(-1,1)上連續(xù)。

定理2.1若復(fù)值函數(shù)z=z(t)在t0點(diǎn)連續(xù)，則它在t0的鄰域內(nèi)局部有界。

定理2.2若復(fù)值函數(shù)z=z(t)在[α,b]連續(xù)，則它在[α,b]內(nèi)有界。

結(jié)束語(yǔ)

本文關(guān)于復(fù)值函數(shù)的連續(xù)性首先引入復(fù)值函數(shù)的概念，給出復(fù)值函數(shù)的連續(xù)與極限的概定義，連續(xù)性也是復(fù)值函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)。本文還給出了復(fù)值函數(shù)的左右連續(xù)、在某一點(diǎn)連續(xù)、區(qū)間連續(xù)等多個(gè)概念，具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析.第四版.上下冊(cè).北京：高等教育出版社，2010.

[2]蘇變萍，陳東立.復(fù)變函數(shù)與積分變換.第二版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程.第三版.北京：高等教育出版社，2006.

Properties of complex-valued functions with real variables

CHEN Huan

(Dept.of Fundamentals,Shaanxi Institute of International Trade&Cmmerce,Xianyang,712046)

This paper studies the analysis proper ties of complex valued functions,and puts forward the concept of complex valued functions continuous,lef t continuous,right continuous and intervals continuous.The properties of complex valued function are given.The appl ication of complex valued function in the solution is given.

complex value functions;Complex complex valued function;Continuous value function;Property of complex function

1004-7026（2017）20-0130-02

O211.5

A

10.16675/j.cnki.cn14-1065/f.2017.20.102

陜西國(guó)際商貿(mào)學(xué)院校級(jí)項(xiàng)目（SMXY201642）。

陳歡（1989-），女，陜西漢中人，碩士，助教,從事小波分析的研究。