安徽省人口發(fā)展趨勢預(yù)測
——單一模型與組合模型的模擬仿真比較

楊世娟，李勝

（1.黃山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽黃山245041；2.六安市第九中學(xué)，安徽六安237000）

安徽省人口發(fā)展趨勢預(yù)測
——單一模型與組合模型的模擬仿真比較

楊世娟1，李勝2

（1.黃山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽黃山245041；2.六安市第九中學(xué)，安徽六安237000）

選取安徽省2000-2015年戶籍人口數(shù)年度數(shù)據(jù)作為樣本，利用單一模型（Malthus模型、Logistic模型和灰色DGM(2,1)模型）及組合模型對安徽省人口發(fā)展趨勢進(jìn)行預(yù)測、比較與分析，結(jié)果表明基于組合模型的人口規(guī)模預(yù)測精度比單一模型的預(yù)測精度高，預(yù)測性能最好。利用組合預(yù)測模型預(yù)測了安徽省未來的人口數(shù)量，以期對安徽省未來的人口規(guī)模以及發(fā)展趨勢做出合理的分析與判斷。

人口預(yù)測；組合模型；Logistic模型；灰色DGM(2,1)

1 引言

預(yù)測指的是對先驗(yàn)信息進(jìn)行分析，并通過建立相應(yīng)模型，推測未來某事件是否會發(fā)生或事件的發(fā)展趨勢。隨著學(xué)術(shù)界不斷的推陳出新，新的預(yù)測方法層出不窮，預(yù)測技術(shù)也變得越來越成熟，在將各種預(yù)測技術(shù)應(yīng)用到具體的實(shí)踐過程中時，往往會由于針對的問題迥異和先驗(yàn)信息的多寡，所適應(yīng)的模型并不相同，且這些模型并非預(yù)測精度都高，需各方面綜合考慮選取“最優(yōu)”的模型，但這簡單依靠一種模型往往難以達(dá)到。如果能綜合這些模型，充分利用各模型優(yōu)勢，用適當(dāng)?shù)姆椒右灾亟M，便可得到一個精度更高的模型[1]。組合預(yù)測模型就是從這一角度出發(fā)的，它充分利用各個單一模型的信息，降低各個單一模型受到的隨機(jī)影響，因此組合預(yù)測模型能汲取各個模型的優(yōu)點(diǎn)，提高模型整體的預(yù)測精度[2]。

人口問題既是一個社會問題，也是一個經(jīng)濟(jì)發(fā)展問題，歷來都受到各個國家和地區(qū)的關(guān)注。相對于其他經(jīng)濟(jì)大省，安徽省的經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)，而人口眾多，且人口的發(fā)展具有顯明的地方特點(diǎn)[3]。在現(xiàn)代化及城鎮(zhèn)化進(jìn)程中，要實(shí)現(xiàn)人口與經(jīng)濟(jì)、社會、環(huán)境的協(xié)調(diào)發(fā)展，有效地分析與科學(xué)地預(yù)測安徽省人口的發(fā)展變化趨勢顯得既緊迫又重要。

2 基于組合預(yù)測模型的安徽省人口發(fā)展趨勢模擬

2.1 組合預(yù)測模型構(gòu)建

假設(shè)安徽省人口規(guī)模的歷史數(shù)據(jù)為Y=（y1,y2,…yn）T，n為時間跨度，現(xiàn)采用m種預(yù)測方法建立安徽省人口發(fā)展趨勢的預(yù)測模型，并根據(jù)所建立的模型對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，設(shè)m種預(yù)測模型在時期t的模擬值為{f1（t），f2（t）,…，fm（t）}。組合預(yù)測模型采用加權(quán)的方式綜合m種預(yù)測模型的優(yōu)點(diǎn)，將綜合值作為安徽省人口數(shù)量的最終模擬值，最終值為：

其中W={w1，w2，…，wm}為權(quán)重，且滿足

2.2 權(quán)重的確定

在構(gòu)建安徽省人口發(fā)展趨勢組合預(yù)測模型的過程中，最關(guān)鍵的一步是確定權(quán)重向量W=（w1，w2，…，wm），依據(jù)模擬值與實(shí)際值之間的偏差盡可能小的原則來確定組合權(quán)重向量，即通過建立如下方程，利用多元函數(shù)極值原理求解得出權(quán)重向量[4]：

對（2）式關(guān)于自變量wj（j=1,2,…，m）求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)為零，則可得到偏導(dǎo)數(shù)方程：

將（3）式進(jìn)行變換與整理，可得如下方程組：

則（4）式可表示為：FY=FFTW

利用矩陣方程求解，即可得出組合預(yù)測模型中權(quán)重公式：

3 單一模型與組合模型的模擬仿真比較

以下實(shí)證分析所采用的預(yù)測技術(shù)涉及到的原始數(shù)據(jù)來自于2001-2016年的《安徽省統(tǒng)計(jì)年鑒》，表征人口發(fā)展規(guī)模的變量選取為安徽省戶籍人口數(shù)，單位為萬人，數(shù)據(jù)序列的時間跨度為2000-2015年。

綜合考慮安徽省人口發(fā)展的典型特點(diǎn)以及實(shí)際預(yù)測需要，文中選取3種預(yù)測技術(shù)構(gòu)建安徽省人口發(fā)展趨勢預(yù)測的單一模型：Malthus模型、Logistic模型和灰色DGM(2,1)模型，并采用上述組合權(quán)重確定方法選取組合權(quán)重向量，整合單一模型的各自優(yōu)勢構(gòu)建組合預(yù)測模型，以便充分利用各單一模型的信息，降低各單一模型受到的隨機(jī)影響，提高整體的預(yù)測精度。

3.1 Malthus模型

英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家Malthus在《人口原理》一書中首次提出了Malthus人口模型，模型的基本思想是在人口自然增長過程中，凈相對增長是常數(shù)，即單位時間內(nèi)人口的增長量與人口成正比，并設(shè)定比例系數(shù)設(shè)為r，在此假設(shè)下，推導(dǎo)并求解人口隨時間變化的數(shù)學(xué)模型。Malthus人口模型認(rèn)為人口以幾何級數(shù)增長，故采用指數(shù)函數(shù)來擬合、預(yù)測人口增長[5]。具體建模步驟如下。

令y（t）表示t（t=0,1,2,…）時刻人口數(shù)量，y0表示初始時刻的人口數(shù)量，人口出生率為b，人口死亡率為c，假設(shè)人口自然增長率為r，則在t到t+△t時間段內(nèi)人口的增量為：

當(dāng)△t→0時，滿足如下微分方程：

模型的最終表達(dá)公式為：

利用Malthus預(yù)測模型對安徽省人口發(fā)展趨勢進(jìn)行建模，并利用所建立模型對2000-2015年人口規(guī)模進(jìn)行擬合，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)做比較[6]。記Malthus模型估計(jì)的安徽省歷年人口數(shù)量模擬值為y1，估計(jì)的相對誤差為e1，具體數(shù)值見表1。估計(jì)的最終模型如下：

3.2 Logistic模型

Logistic模型也叫做阻滯增長模型，該模型考慮到自然資源與環(huán)境條件對人口數(shù)量有限制作用，認(rèn)為一定環(huán)境所容納的人口數(shù)量是一定的，人口不會無限制的增加，而是最終趨近于某個常數(shù)[7]。阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率的影響上，即r為關(guān)于y的減函數(shù)r（y）。一個最簡單的假定是令r（y）為y的線性函數(shù)：

其中，r為人口的固有增長率，s=r/ym，ym為一定自然資源和環(huán)境條件下所能容納的最大人口數(shù)量。于是可以建立如下微分方程：

解該方程，得到模型的最終表達(dá)形式為：

利用Logistic預(yù)測模型對安徽省人口發(fā)展趨勢進(jìn)行建模，并利用所建立模型對各年人口規(guī)模進(jìn)行擬合，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)做比較。記Logistic預(yù)測模型估計(jì)的安徽省歷年人口數(shù)量模擬值為y2，估計(jì)的相對誤差記為e2，具體數(shù)值見表1。最終模型如下：

3.3 DGM(2,1)模型

灰色預(yù)測就是通過對原始數(shù)據(jù)的處理來發(fā)現(xiàn)并掌握系統(tǒng)發(fā)展的規(guī)律，并對系統(tǒng)的未來狀態(tài)做出定量預(yù)測。它主要用于時間跨度短，歷史數(shù)據(jù)少，波動性不大的預(yù)測問題，且對于序列較短而有規(guī)律的數(shù)據(jù)來說，灰色預(yù)測的精度較高[8]。人口數(shù)量的影響因素較多，包括確定因素與不確定的因素，適合于用灰色預(yù)測模型進(jìn)行趨勢估計(jì)。但GM(1,1)模型的應(yīng)用前提是序列具有較強(qiáng)指數(shù)規(guī)律，對于非單調(diào)的擺動發(fā)展序列或飽和的S型序列并不適用，在這種情況下可以建立GM(2,1)或DGM模型代替之[9]。以下對安徽省2000-2015年的人口數(shù)據(jù)擬合灰色DGM(2,1)模型。

記安徽省人口規(guī)模的歷史數(shù)據(jù)序列為

y（0）=（y（0）（1），y（0）（2），…，y（0）（n）），其1-AGO序列y（1）和1-IAGO序列α（1）y（0）分別為y（1）=（y（1）（1），y（1）（2），…，y（1）（n））和α（1）y（0）=（α（1）y（0）（2），α（1）y（0）（3），…，α（1）y（0）（n）），則DGM(2,1)模型為：

其白化方程為：

表1 安徽省歷年人口規(guī)模及4種預(yù)測方法的模擬數(shù)值

DGM(2,1)模型的時間響應(yīng)序列為：

經(jīng)過一階累減還原后的還原值為：

利用DGM(2,1)預(yù)測模型對安徽省人口發(fā)展趨勢進(jìn)行建模，并利用所建立模型對各年人口規(guī)模進(jìn)行擬合。估計(jì)的結(jié)果如下：

DGM(2,1)時間響應(yīng)函數(shù)為

做1-IAGO還原，得原序列的預(yù)測方程

記DGM(2,1)模型下安徽省歷年人口數(shù)量的模擬值為y3，估計(jì)的相對誤差記為e3，具體數(shù)值見表1。

3.4 組合預(yù)測

利用前述組合預(yù)測模型模擬安徽省人口發(fā)展趨勢，關(guān)鍵在組合權(quán)重的確定。首先利用前文推導(dǎo)出的組合權(quán)重確定公式W=（FFT）-1FY計(jì)算組合權(quán)重向量，計(jì)算結(jié)果為：

然后，通過組合預(yù)測模型計(jì)算人口數(shù)量的模擬值以及估計(jì)的誤差，記安徽省歷年人口數(shù)量的模擬值為y4，估計(jì)的相對誤差記為e4，具體數(shù)值見表1。

表1給出了4種預(yù)測方法得到的模擬值和估計(jì)的相對誤差，并與安徽省歷年的人口數(shù)量原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了對比，較清晰的展示了各個方法的預(yù)測效果。為了更直觀的展現(xiàn)對比效果，將真實(shí)值與4種預(yù)測方法的模擬值作圖，并且對4種預(yù)測方法估計(jì)的相對誤差進(jìn)行圖示，如圖1與圖2所示。

圖1 真實(shí)值與4種預(yù)測方法擬合值

圖2 4種人口預(yù)測方法的相對誤差

通過對比與分析可以看出，4種人口發(fā)展趨勢的預(yù)測模型中，組合預(yù)測模型估計(jì)的相對誤差較其余3種單一模型的相對誤差要小，表明組合預(yù)測方法能一定程度上提高模型的預(yù)測精度，體現(xiàn)出其在短期預(yù)測上的高效性。

鑒于組合預(yù)測模型的在短期預(yù)測上的高效性，現(xiàn)利用該模型對安徽省2016-2020年的人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表2所示。

表2 2016-2020年安徽省戶籍人口數(shù)量預(yù)測值

4 結(jié)束語

人口問題關(guān)系到社會、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等各個方面的協(xié)調(diào)與可持續(xù)發(fā)展，對現(xiàn)在及未來人口的發(fā)展變化趨勢做出合理、準(zhǔn)確的分析與判斷，對安徽省乃至整個國家來說都具有非常重要的意義。文章主要對安徽省的人口發(fā)展與變化趨勢的預(yù)測做了更加精確的研究，以往的預(yù)測方法主要是采用單一的模型進(jìn)行預(yù)測，雖然具有一定的預(yù)測精度，但考慮到安徽省人口發(fā)展的典型特點(diǎn)以及非線性的影響因素，所以不應(yīng)該只限于某個單一的模型進(jìn)行預(yù)測，而應(yīng)該從不同的角度選用不同的預(yù)測技術(shù)構(gòu)建模型，再運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定組合權(quán)重對各個預(yù)測結(jié)果進(jìn)行綜合加權(quán)，以便更好地利用各種預(yù)測技術(shù)的優(yōu)勢，進(jìn)一步提高預(yù)測精度。文中采用了Malthus模型、Logistic模型、灰色DGM(2,1)模型構(gòu)建了安徽省人口發(fā)展趨勢預(yù)測的單一模型，并通過選取適當(dāng)權(quán)重整合單一模型的各自優(yōu)勢構(gòu)建組合模型。通過實(shí)例分析驗(yàn)證了基于組合預(yù)測模型的安徽省人口發(fā)展趨勢預(yù)測的效果要優(yōu)于單一模型的預(yù)測效果。

[1]蔚春杰.組合預(yù)測模型在CPI預(yù)測中的應(yīng)用[D].大連：東北財經(jīng)大學(xué)，2012：106-118.

[2]王淑花.基于時間序列模型的組合預(yù)測模型研究[D].河北：燕山大學(xué)，2011：45-78.

[3]黃立山.安徽省人口中長期發(fā)展戰(zhàn)略[C].全國統(tǒng)計(jì)科學(xué)討論會，2005:484-491.

[4]余路.電信客戶流失的組合預(yù)測模型[J].華僑大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2016(5)：637-640.

[5]劉志佳,黃河清.土地資源對珠三角地區(qū)人口增長的約束分析[J].生態(tài)環(huán)境學(xué)報，2014，23(12)：2003-2009.

[6]潘黎霞.基于微分方程模型的我國出口貿(mào)易實(shí)證研究[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2011(20)：120-122.

[7]李勇勝.人口預(yù)測中的模型選擇與參數(shù)的認(rèn)定[J].財經(jīng)科學(xué)，2004(2)：68-72.

[8]楊世娟,盧維學(xué),方輝平.灰色系統(tǒng)與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型及其應(yīng)用[J].統(tǒng)計(jì)與決策，2016(24)：82-84.

[9]鄧聚龍.灰理論基礎(chǔ)[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2002:21-36.

The Prediction of Population Development Trend in Anhui Province——A Comparison of the Single Models and Combined Model

Yang Shijuan1,Li Sheng2
(1.School of Mathematics and Statistics,Huangshan University,Huangshan245041,China;2.Mathematics Group,Lu'an Ninth Middle School,Lu’an237000,China)

Selecting the annual data of the registered population in Anhui Province from 2000 to 2015 as the sample,the population development trend is forecasted,compared and analyzed based on the single models(Malthus model,Logistic model and DGM(2,1)model)and the combined model.Result of the research reveals that the accuracy of the prediction based on the combined model is higher than that of the single models,and the prediction performance is the best.Finally,the future population of Anhui Province is forecasted by using the combined forecasting model,so as to make a reasonable analysis and judgment on the future population size and development trend of Anhui Province.

population prediction;combined model;Logistic model;DGM(2,1)

F222；C812

A

1672-447X(2017)05-0001-005

2017-06-03

安徽省教育廳自然科學(xué)研究項(xiàng)目（KJHS2016B04；KJHS2017B09）；安徽省大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（201510375019）；黃山學(xué)院自然科學(xué)研究項(xiàng)目（2015xkj004；2015xkj005）

楊世娟(1988-)，安徽安慶人，碩士，黃山學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院助教，研究方向?yàn)閼?yīng)用統(tǒng)計(jì)；李勝(1964-)，安徽六安人，六安市第九中學(xué)高級教師，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育。

責(zé)任編輯：胡德明