布金漢方程的代數(shù)解在流變參數(shù)測(cè)定中的應(yīng)用

朱 旦 生

(甘肅省蘭州市灌溉試驗(yàn)示范中心， 甘肅 蘭州 730030)

布金漢方程的代數(shù)解在流變參數(shù)測(cè)定中的應(yīng)用

朱 旦 生

(甘肅省蘭州市灌溉試驗(yàn)示范中心， 甘肅 蘭州 730030)

工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)實(shí)踐中存在大量的以賓漢流體為主的非牛頓流體流動(dòng)現(xiàn)象，由于用來(lái)量化描述賓漢體流變學(xué)特征的賓漢方程是一個(gè)比較復(fù)雜的微分方程，工業(yè)設(shè)計(jì)中流變參數(shù)極限切應(yīng)力τβ、和剛度系數(shù)η的確定，大多數(shù)都通過(guò)毛細(xì)管黏度計(jì)用圖解法獲得。本文介紹了一種賓漢方程的代數(shù)解法，可準(zhǔn)確給出賓漢極限切應(yīng)力與毛細(xì)管中切變速率的數(shù)學(xué)表達(dá)式，以該數(shù)學(xué)表達(dá)式為依據(jù)，導(dǎo)出了極限切應(yīng)力為零時(shí)經(jīng)典的牛頓體泊謖葉方程。該代數(shù)解法所得到的數(shù)學(xué)表達(dá)式，可大幅度的減少傳統(tǒng)的毛細(xì)管黏度計(jì)圖解法試驗(yàn)測(cè)試工作量，對(duì)賓漢體流變參數(shù)的測(cè)定具有重要意義。

賓漢流體；流變參數(shù)

非牛頓流體力學(xué)是由流變學(xué)發(fā)展起來(lái)的研究非牛頓流體應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系和非牛頓流體流動(dòng)問(wèn)題的分支學(xué)科。非牛頓流體是剪應(yīng)力和剪切變形速率之間不滿足線性關(guān)系的流體。自然界中存在著大量非牛頓流體，例如油脂、油漆、牛奶、牙膏、動(dòng)物血液、泥漿等。非牛頓流體力學(xué)在化學(xué)纖維工業(yè)、塑料工業(yè)、石油工業(yè)、輕工業(yè)、食品工業(yè)等許多部門(mén)有廣泛的應(yīng)用。賓漢流體是非牛頓流體的一種，牛頓流體(如水、空氣)屬于低分子量的流體，而賓漢流體則具有高分子量，其切應(yīng)力不符合牛頓內(nèi)摩擦定律。當(dāng)切應(yīng)力達(dá)到某個(gè)確定值以后，流體才開(kāi)始流動(dòng)，并與牛頓流體一樣，其切應(yīng)力和剪切變形速率呈線性關(guān)系。水利行業(yè)科研工作者對(duì)賓漢體的研究始于高含沙水流流動(dòng)現(xiàn)象的研究，20世紀(jì)黃河上、中游高含沙洪水經(jīng)常遇到的“漿河”及“揭河底”現(xiàn)象，以及引渾淤灌生產(chǎn)實(shí)踐中所觀測(cè)到的經(jīng)典水力學(xué)所無(wú)法解釋的高含沙水流流動(dòng)現(xiàn)象，揭示了水利工程生產(chǎn)實(shí)踐中同樣存在賓漢體這一有別于傳統(tǒng)水力學(xué)范疇的非牛頓流體現(xiàn)象。由于賓漢體含沙水流形成的條件不但與渾水的平均含沙量有關(guān)，更多的是與極細(xì)粘性泥沙顆粒的含量高度相關(guān)，相同濃度下黏性細(xì)顆粒構(gòu)成的渾水更容易由牛頓體變?yōu)橘e漢體，因此在灌溉渠系的末端或者一些節(jié)水器具的特殊部位也會(huì)出現(xiàn)賓漢體流動(dòng)現(xiàn)象，這對(duì)微型節(jié)水器具的研發(fā)無(wú)凝會(huì)提出更高的挑戰(zhàn)。因此，從灌溉水力學(xué)的工程生產(chǎn)實(shí)踐需求看，賓漢體渾水的研究也具有重要意義。由于賓漢流體流變參數(shù)的確定是各種賓漢體工業(yè)設(shè)計(jì)問(wèn)題的基礎(chǔ)，因此本文從賓漢體流變方程的求解出發(fā)，對(duì)相關(guān)技術(shù)問(wèn)題的解決進(jìn)行一些有益的探索。

1 賓漢體流變學(xué)的基本問(wèn)題

賓漢體流變特性可用方程

(1)

對(duì)于管流對(duì)上式分離變量積分，得到著名的布金漢方程。

(2)

τβ=0時(shí)，由該公式即可得出適合牛頓體的泊謖葉方程

(3)

(4)

1952年赫德斯托姆用無(wú)量綱得出[3]

(5)

上式中NHe=赫德斯托姆，Re=雷諾數(shù)，f=范寧摩擦系數(shù)，赫德斯托姆用量剛分析法一定程度上解釋了布金漢方程。但實(shí)用性還是有諸多不便。隨著現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算技術(shù)的飛速發(fā)展，尋求一種可通過(guò)數(shù)值計(jì)算確定流變參數(shù)的方法很有必要。

2 布金漢方程的代數(shù)解法

我們仔細(xì)研究了方程(2)的結(jié)構(gòu)，把方程改變?yōu)槿缦滦问?/p>

(6)

進(jìn)一步變形為

(7)

(8)

根據(jù)一元三次方程卡當(dāng)公式[4]，一元三次方程

(9)

可代為

(10)

u3=-0.3333-1.003i

v3=-1.3636

u3=x+yi=γ(cosθ+isinθ)

v3=γ(cosθ-isinθ)

三個(gè)實(shí)根

x1=u1+v1=1.8360

x2=ωu1+ω2v1=-1.6455

x3=ω2u1+ωv1=-0.2175

因此，布金漢方程寫(xiě)成如下形式

(11)

令τβ=0，則得到著名的牛頓體泊謖葉方程

(12)

式(12)這時(shí)與式(3)相比系數(shù)比32略大，這可能是取有效數(shù)字?jǐn)?shù)四位計(jì)算引起的誤差，公式結(jié)構(gòu)形式的完全相同基本上可以證明式(11)的正確合理性。根據(jù)式(11)可多種方法求τβ、η。該式列成實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表格，可確定流變參數(shù)，該方法理論嚴(yán)密，可運(yùn)用在實(shí)際工作中。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)管流中賓漢體流變方程的轉(zhuǎn)換代數(shù)最終得到了式(11)所示的賓漢體流變方程的代數(shù)解，該式列成實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表格，借助數(shù)值分析方法和少量的毛細(xì)管流變?cè)囼?yàn)即可確定流變參數(shù)，可大幅度減少常規(guī)毛細(xì)管黏度計(jì)測(cè)定賓漢體流變參數(shù)的工作量，具有很強(qiáng)的使用價(jià)值。作為一種科學(xué)探索，本文所提方法需要從事賓漢流體工程問(wèn)題研究的科技工作者在科研實(shí)踐中檢驗(yàn)應(yīng)用，具體的使用方法有待實(shí)踐中總結(jié)。

[1] Wasp E J.固體物料的漿體管道輸送[M].黃河水利委員會(huì)科研所《固體物料的漿體管道輸送》翻譯組譯.北京：水利出版社，1980.

[2] 遲耀瑜，王在陽(yáng)，楊延瑜.高含沙水流遠(yuǎn)距離輸送[M].北京：水利水電出版社，1990.

[3] 武漢水利水電學(xué)院．河流工程學(xué)：上冊(cè)[M].北京：水利水電出版社，1980.

[4] 余元希，田萬(wàn)海，毛宏德.初等代數(shù)研究：下冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，1992.

TheApplicationofAlgebraicSolutionBinghamEquationanditsApplicationinmeasurementofRheologicalParameter

ZHU Dansheng

(LanzhouIrrigationExperimentDemonstrationCentre,Lanzhou,Gansu730030,China)

A large number of non-newtonian fluid flow mainly based on Bingham fluid theory which exist in the practice of industrial and agricultural production. Most rheological parameter in industrial design was derived from capillary viscometer by graphical method because Bingham Equation is a complex differential equation which can quantify the rheological feature of Bingham body. This paper introduces an algebraic solution of Bingham equation which can give mathematical expression of shear rate in capillary and bingham yield stress. The classical Newton body Poiseuille equation is derived by this expression when the yield stress is zero. This solution can greatly reduce the computation time of traditional graphical method and thus have great significance to the measurement of Bingham body rheological parameter.

Binghamfluidtheory;RheologicalParameter

10.3969/j.issn.1672-1144.2017.05.040

2017-05-16

2017-06-10

朱旦生(1965—)，男，浙江義烏人，工程師，主要從事節(jié)水新技術(shù)方面的研究工作。E-mail: 3236665744@qq.com

TV131

A

1672—1144(2017)05—0216—02