關(guān)于一類雙單葉函數(shù)的系數(shù)估計(jì)

敖 恩，湯 獲，楊靜宇

（1.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2.赤峰學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

關(guān)于一類雙單葉函數(shù)的系數(shù)估計(jì)

敖 恩，湯 獲，楊靜宇

（1.赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；2.赤峰學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

在本文中,引進(jìn)一類由擬從屬關(guān)系定義的雙單葉函數(shù)新子類,結(jié)合正實(shí)部解析函數(shù)的系數(shù)估計(jì)和分析技巧,研究函數(shù)類的起始項(xiàng)a2和a3的邊界估計(jì)問(wèn)題及Fekete-Szeg?問(wèn)題,得到準(zhǔn)確結(jié)果,并推廣及改進(jìn)一些已有的結(jié)論.

解析函數(shù)；雙單葉函數(shù)；系數(shù)估計(jì)

1 引言

用A表示所有在單位圓盤U={z∈C:|z|＜1}內(nèi)解析且具有形式

的函數(shù)族.記S表示A內(nèi)在單位圓盤U={z∈C:|z|＜1}內(nèi)單葉解析函數(shù)的全體.

著名的Koebe one-quarter Theorem[1]表明每一個(gè)函數(shù)都存在一個(gè)逆函數(shù)f-1,滿足

和

若一個(gè)函數(shù)f∈A在U內(nèi)稱為是雙單葉的當(dāng)且僅當(dāng)f和f-1在U內(nèi)都是單葉的.用σ表示在單位圓盤U內(nèi)雙單葉的函數(shù)的全體.若則

1970年,在文獻(xiàn)[2]中,Robertson引入了擬從屬的概念.設(shè)函數(shù)f(z)和h(z)在單位圓盤U內(nèi)解析,若存在一個(gè)解析函數(shù)φ(z),使得在U內(nèi)解析且

滿足

則稱函數(shù)f(z)在U內(nèi)擬從屬于h(z),記為f(z)?qh(z).特別地,當(dāng)φ(z)=1 時(shí),f(z)=h(ω(z))，z∈U,此時(shí)稱函數(shù) f(z)在 U 內(nèi)從屬于函數(shù) h(z),記為 f(z)?h(z);

當(dāng) ω(z)=z時(shí),f(z)=φ(z)h(ω(z))，z∈U,此時(shí)稱函數(shù) f(z)在 U內(nèi)優(yōu)于函數(shù)h(z),記為f(z)?h(z).因此從屬關(guān)系和優(yōu)化關(guān)系是擬從屬關(guān)系的兩種特殊情形.

在文獻(xiàn)[3]中,Lewin首先引入雙單葉函數(shù)族σ,并對(duì)系數(shù)進(jìn)行估計(jì),得到了若 f∈σ,則 |a2|≤1.51.在文獻(xiàn)[4]中,Branan 和Clunie推測(cè)若 f∈σ,則在文獻(xiàn)[5]中,Netanyahuz 證明了若 f∈σ,則由此開始,許多學(xué)者開始引入與雙單葉函數(shù)族相關(guān)的一些重要子類,并研究其系數(shù)估計(jì)問(wèn)題[6-11].

1976年,在文獻(xiàn)[12]中,Noonan和Thomas研究了函數(shù)f∈A系數(shù)的q階Hankel多項(xiàng)式Hq(n)(q≥1,n≥1)如下:

特別地,H2(1)=|a3-a22|為Fekete-Szeg?問(wèn)題的特殊情況.近來(lái)許多學(xué)者也對(duì)于Hankel多項(xiàng)式產(chǎn)生了極大的興趣 (如[13],[14]).受以上工作的啟發(fā),本文利用擬從屬關(guān)系引入一類雙單葉函數(shù)類,定義如下:

則稱 f(z)∈Nq,σ(γ,λ,δ;?),其中 γ∈C{0},λ≥1,δ≥0,g(ω)=f-1(ω).

當(dāng)參數(shù)取特殊值時(shí),可得到一些特殊的函數(shù)子類,例如:

(1)Nq,σ(1,λ,0;?)=(λ,?)(見文獻(xiàn)[12]);

q,σ

(3)Nq,σ(γ,1,0;?)=(?)滿足

(4)Nq,σ(γ,1,1;?)=(?)滿足

在本文中,利用正實(shí)部解析函數(shù)的系數(shù)估計(jì)和分析技巧,研究了函數(shù)類 Nq,σ(γ,λ,δ;?)中函數(shù)起始項(xiàng) a2和 a3的邊界估計(jì)問(wèn)題及Fekete-Szeg?問(wèn)題的特殊情況.

為了得到本文的主要結(jié)果，需要引進(jìn)下面的引理.

引理[15]設(shè)則 |pk|≤2,k=1,2,…,其中P表示正實(shí)部函數(shù)族,即P表示在單葉圓盤U內(nèi)解析且滿足p(0)=1,Re{p(z)}＞0 的函數(shù)的全體.

2 主要結(jié)果

為了得到本文的主要結(jié)果,在U內(nèi)定義函數(shù)p1(z),p2(ω)為

則函數(shù) p1(z)，p2(ω)在 U 內(nèi)解析，且 p1(0)=p2(0)=1.于是

由解析函數(shù)u,v:U→U可得到函數(shù)p1(z),p2(ω)有正實(shí)部，則 |pi|≤2,|qi|≤2.

除特別聲明,本文規(guī)定

定理 1 設(shè) f(z)∈Nq,σ(γ,λ,δ;?),則

和

證明 設(shè) f(z)∈Nq,σ(γ,λ,δ;?),則根據(jù)定義存在解析函數(shù) u,v：U→U 滿足

及解析函數(shù) ψ(z),φ(z)滿足 |ψ(z)|＜1,|φ(z)|＜1使得

將 f(z)=z+a2z2+a3z3+…和 g(ω)=ω+b2ω2+b3ω3+…分別代入(2.8)式和(2.9)式左側(cè),通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可得

又將(2.1),(2.3)和(2.5)代人(2.8)式右側(cè), 整理可得

同理將(2.2),(2.4)和(2.5)代人(2.9)式右側(cè),整理可得

于是將(2.10)和(2.12)代入到(2.8)式,比較兩邊同次冪的系數(shù)可得

由于 b2=-a2,b3=2a22-a3,則將(2.11)和(2.13)代入到(2.9)式,比較兩邊同次冪的系數(shù)可得

由(2.14)和(2.16)得

由(2.15)和(2.17)得

在(2.18)和(2.19)中利用引理,便可得出(2.4)式中給出的|a2|的上界.

下面再討論 |a3|的上界.由(2.15)和(2.17)得

將(2.18)代入到(2.20)式,有

由引理可得

另一方面,將(2.19)代入到(2.20)式,有

結(jié)合(2.21)和(2.22)式,即可得(2.7)式成立.因此,定理 1 證畢.

在定理1中,分別令γ=1,δ=0和λ=1，得到下面兩個(gè)推論：

推論 1 設(shè)

推論 2 設(shè)

和

注明 推論1和推論2改進(jìn)了文獻(xiàn)[16]和[17]中的相應(yīng)結(jié)果.

在推論2中,分別令δ=0和δ=1,得到下面兩個(gè)推論:

和

和

另外,在(2.20)式中利用引理可以得到下面定理2.定理2中結(jié)果是Fekete-Szeg?問(wèn)題的一個(gè)特殊情況,即二階Hankel多項(xiàng)式H2(1)=|a3-a22|的上界估計(jì).

定理 2 設(shè) f(z)∈Nq,σ(γ,λ,δ;?),則

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O174.51

A

1673-260X（2017）10-013-03

2017-08-03

國(guó)家自然科學(xué)基金（11561001）；內(nèi)蒙古自然科學(xué)基金項(xiàng)目（2014MS0101）；內(nèi)蒙古高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目（2015NJZY240）