高中數(shù)學核心概念教學案例探討——以《橢圓的標準方程》教學為例

沈 瑜

(江蘇省常熟市滸浦高級中學，江蘇 蘇州 215500)

高中數(shù)學核心概念教學案例探討——以《橢圓的標準方程》教學為例

沈 瑜

(江蘇省常熟市滸浦高級中學，江蘇 蘇州 215500)

本文以蘇教版高中數(shù)學《橢圓的標準方程》教學為例，探討了“橢圓”不同設計策略和教學方式.在教學中，教師應關(guān)注“過程”，鼓勵和引導學生自主探索，突破難點，增強核心概念理解，自主構(gòu)建數(shù)學核心知識體系.

高中數(shù)學；核心概念；教學案例

作為連接知識與知識，構(gòu)成知識體系的核心，數(shù)學核心概念對學生學習數(shù)學具有重要的支撐作用，是學生數(shù)學思維發(fā)展、數(shù)學能力培養(yǎng)的基礎.而《橢圓的標準方程》一直是蘇教版高中數(shù)學中的重難點知識，不僅包含了模型、數(shù)形結(jié)合等思想，而且在學習過程中滲透了運算、推理等能力的考察.這就要求教師應建構(gòu)以核心概念為中心，采用不同的不同設計策略和教學方式，關(guān)注“過程”，鼓勵和引導學生自主探索，以增強核心概念理解，自主構(gòu)建數(shù)學核心知識體系.

一、探究學習法

1.創(chuàng)設時代背景，引發(fā)學生共鳴.高中學生好奇心強，教師應結(jié)合時代背景，最大限度地激發(fā)學生學習的興趣.例如，通過視頻的形式展示神州十一號飛船與天空2號對接的場景，讓學生知道對接后形成的組合體運行的軌跡就是橢圓，從而激發(fā)學生對橢圓知識學習的興趣.

2.總結(jié)已學軌跡，提出研究課題.根據(jù)已學知識，通過改變已學知識的條件、假設等合情推理出新的研究課題.例如，在講解《橢圓的標準方程》時，學生已學習過圓、角平分線、線段的垂直平分線等軌跡，筆者從距離、定值等多個角度引導學生提出“到兩個定點距離之和是定值的點的軌跡是什么圖形”這個研究課題.

3.研究軌跡形狀，經(jīng)歷合情推理.尺規(guī)作圖是學生常用的作圖方式，但根據(jù)“到兩個定點的距離之和是定值”這個條件，似乎很難找到問題的答案.此時，教師應讓學生回顧以前學習圓的軌跡的作圖方式，即為了達到“到兩個定點的距離之和是定值”這一條件，可以把繩子的兩端固定在兩個定點的位置上，并鼓勵學生實地探究，通過小組的形式畫出橢圓圖形.

5.特例鞏固練習，再探橢圓性質(zhì).為了進一步研究橢圓的性質(zhì)，加深對橢圓概念的理解，筆者設置了以下問題組織學生探討：

已知橢圓上點A到兩焦點間的距離是10，焦距為8，求該橢圓的方程式.

面對這一問題，筆者引導學生建立直角坐標系，探索如何將具體問題數(shù)學化，并且在直角坐標系中表示出具體的數(shù)值：

由焦距為8得出焦點F1、F2的坐標為(-4,0)、(4,0)；

由點A(x,y)到兩焦點間的距離是10得到|MF1|+|MF2|=10;

二、類比教學法

類比教學法是在學生已學數(shù)學知識和結(jié)論的前提下，通過形象直觀的經(jīng)驗和直覺，推測出某種推理的一種教學方式，從而達到得出數(shù)學概念.但是通過這種推理而得出的結(jié)論不一定正確，需要教師進一步的驗證和推理.橢圓概念類比教學法教學過程如下：

1.理論鋪墊，理解曲線方程.建立平面直角坐標系，結(jié)合該圖形代表的方程研究橢圓幾何圖形性質(zhì).例如，在前面課程學習中，學生已經(jīng)掌握了“以方程的解為坐標的點都在曲線上，曲線上點的坐標都是方程的解”這兩個知識點，筆者以該知識為出發(fā)點，從而引入本節(jié)課程知識.

2.辨析確認，理解橢圓概念.在學生課前復習的基礎上，有意識地呈現(xiàn)學生關(guān)注不夠細致的問題，啟發(fā)學生尋找到問題產(chǎn)生的本質(zhì).例如，當學生初步掌握橢圓就是平面內(nèi)到兩個定點的距離的和等于常數(shù)的點的軌跡時，筆者以常數(shù)為問題，進一步探討常數(shù)的條件，即當這個常數(shù)等于兩個定點的距離時，軌跡是以這兩個點為端點的線段；當這個常數(shù)小于兩個定點的距離時，無法構(gòu)成圖形，軌跡不存在；只有當這個常數(shù)大于這兩個定點的距離時，才能夠成橢圓.通過這樣有意識地反思，幫助學生準確地理解橢圓的概念.

3.操作類比，感受思想方法.充分利用所學圓等方面的知識，通過知識遷移深入理解橢圓的性質(zhì).然后充分發(fā)揮學生的主觀能動性，組織學生以小組的形式探討圓和橢圓的相同點和不同點，通過圓與橢圓在概念、思想方法、標準方程式等方面的異同加深橢圓性質(zhì)的理解.

三、預習教學法

課前預習是學生掌握好課堂內(nèi)容的必要條件，只有在課前預習的前提下，才能將抽象的數(shù)學核心概念理解深刻.橢圓概念預習教學法的教學過程如下：

1.做好課前定位，列出預習提綱.筆者在深入分析教材和學情的基礎上，設計出了以下預習提綱：

(1)什么是圓錐曲線？為什么要研究圓錐曲線？

(2)從集合角度，闡述{(x，y)|x2+y2=1}和{(x，y)|x2+y2≤1}所表示的意義.

(3)總結(jié)出求曲線方程的步驟，深刻體會平面直角坐標系在研究幾何形狀中的重要作用.

⑷橢圓的標準方程如何表示，嘗試對教材中的例題做出變式并解答.

2.把握課堂起點，檢測預習效果.對課前預習情況進行檢查，對于未預習學生，在得知具體原因的基礎上讓學生理解課前預習的重要性；對于預習學生，通過“為什么要學習這節(jié)課、“你認為這節(jié)課主要講了什么”、“不懂的地方有哪些”等問題準確定位課堂內(nèi)容.

4.落實新課目標，做好總結(jié)反思.及時總結(jié)課堂知識，促進學生不斷完善自己的知識結(jié)構(gòu).同時，做好課后作業(yè)布置，進一步加強學習效果.

四、欣賞教學法

數(shù)學概念源于生活，但卻是個別數(shù)學家應用理性思維抽象而得到的，要想在課堂上展示發(fā)展歷程是相當困難的，即使教學再現(xiàn)情境，學生也會感到牽強附會.因此，教師對于學生“你是怎么想到橢圓就是通過筆尖在固定的繩子上移動得到的”、“怎么從鴨蛋中抽象出橢圓的概念呢”等類似問題應通過欣賞的角度組織學生進行學習.

1.欣賞實例，了解概念.通過一些學生非常熟悉的事物深刻理解橢圓圖形，如水杯傾斜時水面的形狀、球在斜射陽光下的影子的邊界.

2.歷史觀點，揭示概念.閱讀教材中給出的橢圓概念，展示1822年旦德林發(fā)現(xiàn)橢圓的焦半徑性質(zhì)，并應用旦德林球模型深刻揭示“到定點的距離等于定長”這一性質(zhì).

3、概念得出，制作模型.通過筆尖在固定的繩子上移動操作畫出橢圓模型，理解繩子的長度、筆尖到兩個定點的距離之和所代表的幾何意義，并推導橢圓的標準方程.

綜上所述，傳統(tǒng)高中數(shù)學核心概念學習較為呆板，只是將其作為一個既定的理論進行講解，學生學習效果較差，而探究學習法、類比教學法、預習教學法、欣賞教學法更加注重核心概念的演繹和推理，注重教學過程中的創(chuàng)新和學生能力的培養(yǎng)，有利于高中學習數(shù)學核心概念的學習.

[1]郝俊鵬.對高中數(shù)學概念教學的幾點思考[J].學周刊,2017(14).

[2]章建躍.“中學數(shù)學核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及教學設計研究與實踐”中期研究報告[J].中學數(shù)學教學參考,2008(13).

[3]周宏燕.數(shù)學核心概念教學實踐感悟[J].教育科學論壇,2013(08).

[責任編輯：楊惠民]

G632

A

1008-0333(2017)24-0009-02

2017-06-01

沈瑜(1987.04-)，女(漢族)，江蘇省蘇州人，本科，中學二級教師.