分類討論思想在高考導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用

河北易縣中學(xué) 邊紅霞

分類討論思想在高考導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用

河北易縣中學(xué) 邊紅霞

分類討論是高中數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，同時(shí)也是一種重要的解題策略，體現(xiàn)了化整為零的思想，它在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)發(fā)揮著重要的作用，并貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)始終。它揭示了研究對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律，有助于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和鍛煉，能夠使分析問題達(dá)到由繁到簡(jiǎn)的目的，有利于鍛煉學(xué)生思維的邏輯性、綜合性、探索性，使問題思考條理化、有序化。

一、分類討論的依據(jù)

分類討論是根據(jù)研究的數(shù)學(xué)對(duì)象在不同情況下得到不同的結(jié)論而進(jìn)行的。大致可以分為：①每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件；②每一種數(shù)學(xué)方法的使用都有其適用范圍；③有些圖形的位置不是唯一的；④有些問題在解題時(shí)不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究；⑤已知量是用字母表示的，字母的取值影響問題的解決等。

二、分類討論的標(biāo)準(zhǔn)

一般地，在集合C上討論某一數(shù)學(xué)問題時(shí)，可根據(jù)某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)P，把C劃分為C1,C2,C3,……Cn,這時(shí)，在C1,C2,C3,……Cn上分別實(shí)施討論，等價(jià)于在A上實(shí)施對(duì)問題的討論，把P就叫作分類討論的標(biāo)準(zhǔn)。

三、分類討論的原則

為了解決數(shù)學(xué)問題，分類旨在化大為小，分散難點(diǎn)，操作程序是各個(gè)擊破。分類時(shí)，要遵循以下原則：①②保證研究的問題不會(huì)重復(fù)；③保證研究的問題不會(huì)有遺漏。近幾年高考解答題中的導(dǎo)數(shù)問題在求解時(shí)大都是結(jié)論不唯一，都需要分類討論，本文將詳細(xì)敘述導(dǎo)數(shù)問題中分類討論思想的使用。

例1 （2016年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ 理科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)。

（Ⅰ）求a的取值范圍；

解：函數(shù)的零點(diǎn)是指函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，確定方法是只要在區(qū)間上滿足則在上必存在x0，使得

此時(shí)，在這道題目中要想確定其零點(diǎn)，題目中含有字母a，它的符號(hào)影響了導(dǎo)數(shù)對(duì)應(yīng)方程的跟根，因此需對(duì)a的符號(hào)展開討論：

分析：本題主要是考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，在求解過(guò)程中考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)思想，考查運(yùn)算求解能力及邏輯思維能力。此題充分利用數(shù)形結(jié)合，同時(shí)使用了構(gòu)造函數(shù)求極值、證明不等式，這是這道題目的最大亮點(diǎn)。

例2 （2015年全國(guó)新課標(biāo)卷Ⅰ 理科數(shù)學(xué)第21題）已知函數(shù)

圖1

圖2

評(píng)析：此題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)比較函數(shù)值的大小，考查了分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想，考查綜合分析問題及解決問題的能力。

以上近幾年的高考導(dǎo)數(shù)問題充分考查了分類討論思想，并在解題的過(guò)程中又淋漓盡致地使用了數(shù)形結(jié)合，同時(shí)還用到了化歸思想和轉(zhuǎn)化思想，因此，數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題最本真的方法，特別是在高考導(dǎo)數(shù)題目中發(fā)揮著巨大作用。往往是在解決問題的全過(guò)程中，不斷地把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，化整為零，各個(gè)擊破，同時(shí)，通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，將抽象的問題具體化，這樣使解題過(guò)程實(shí)現(xiàn)一路綠燈，順暢通行。