解析幾何解題教學(xué)的一些思考

丁益民

江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) (215011)

解析幾何解題教學(xué)的一些思考

丁益民

江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) (215011)

1.師生的“認(rèn)識(shí)”引發(fā)的思考

前幾天聽(tīng)到有學(xué)生問(wèn)一道解析幾何題：“老師，該題是設(shè)坐標(biāo)還是設(shè)斜率？”這不禁讓筆者想起在2013年蘇州高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)研討活動(dòng)中，有位教師開(kāi)了一節(jié)題為“解析幾何的解題策略選擇”的公開(kāi)課，課上教師提出“設(shè)坐標(biāo)”和“設(shè)斜率”兩種策略.解析幾何的解題教學(xué)定位到底是什么？莫非以這種刻意劃分的“設(shè)坐標(biāo)”、“設(shè)斜率”的策略教學(xué)為教學(xué)目標(biāo)？筆者認(rèn)為，解析幾何解題教學(xué)中涉及的算法設(shè)計(jì)與分析、變式教學(xué)、背景探求等都應(yīng)是訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要載體.可實(shí)際教學(xué)現(xiàn)狀令人堪憂(yōu)：教師只側(cè)重于方法的講解展示，熱衷于解題方法的分析，局限于對(duì)某單個(gè)問(wèn)題的個(gè)體研究.整個(gè)教學(xué)過(guò)程儼然就是大容量、快節(jié)奏的題海戰(zhàn)術(shù)演練，學(xué)生的行為完全被支配于低層次的“同化”狀態(tài)，學(xué)生經(jīng)歷的是被動(dòng)的碎片化的思維訓(xùn)練，學(xué)習(xí)效果自然不理想，久而久之便形成了高耗低效的惡性循環(huán).

要改變?nèi)绱司硾r，教師必須要改變以往“大容量、快節(jié)奏”的課堂教學(xué)觀，控制容量，放慢節(jié)奏，以提升學(xué)生核心素養(yǎng)為基本抓手，讓解析幾何解題教學(xué)多點(diǎn)“數(shù)學(xué)味”.本文試以一道橢圓問(wèn)題談?wù)劷馕鰩缀谓忸}教學(xué)的一些想法.

圖1

2.關(guān)注解題教學(xué)的過(guò)程分析

2.1 聚焦運(yùn)算節(jié)點(diǎn)，對(duì)運(yùn)算進(jìn)行“微研究”

在研究解析幾何問(wèn)題時(shí)，很多學(xué)生一旦有了思路便急于下筆，洋洋灑灑寫(xiě)了很多，忽覺(jué)運(yùn)算愈加繁雜，運(yùn)算信心受挫，最終只能望“算”心嘆.這種現(xiàn)象在教學(xué)中尤為常見(jiàn)，是導(dǎo)致解析幾何解題教學(xué)難以突破的一大主因.一直以來(lái)，教師善于引導(dǎo)學(xué)生分析思路，然后便急匆匆地板書(shū)或讓學(xué)生自己驗(yàn)算，在這樣的過(guò)程中，教師既沒(méi)有對(duì)已有算法進(jìn)行合理性分析，也沒(méi)有帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)已有算法的運(yùn)算長(zhǎng)度進(jìn)行預(yù)估，學(xué)生在此情形下實(shí)施的要么是照搬教師黑板板書(shū)，要么就是停留在原有經(jīng)驗(yàn)中的運(yùn)算程式，獲得的“運(yùn)算求解”基本經(jīng)驗(yàn)幾乎沒(méi)有.其實(shí)，完全可以在有思路之后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)思路進(jìn)行算法的設(shè)計(jì)，并力求理清思維走向中的每個(gè)運(yùn)算節(jié)點(diǎn)，對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)中可能的思維障礙、運(yùn)算實(shí)施進(jìn)行預(yù)估，并及時(shí)作出改進(jìn)與優(yōu)化方案.

就本題而言，思路形成后的算法設(shè)計(jì)如下：

S1：設(shè)出P、M、N坐標(biāo)(節(jié)點(diǎn)①)，并表示直線(xiàn)PM、PN的方程；

S2：求得兩條直線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xR、xS(節(jié)點(diǎn)②)；

S3：計(jì)算xR·xS(節(jié)點(diǎn)③).

這樣的算法設(shè)計(jì)就是學(xué)生解題時(shí)的“方向儀”，在此基礎(chǔ)上，可對(duì)其中的運(yùn)算節(jié)點(diǎn)做進(jìn)一步的“微研究”：

在節(jié)點(diǎn)①中，教師可引導(dǎo)學(xué)生分析選擇不同的變量對(duì)后續(xù)運(yùn)算的影響.一般而言，橢圓上的點(diǎn)有兩種設(shè)法：直角坐標(biāo)(x0,y0)或三角參數(shù)形式(acosα,bsinα).兩種設(shè)法各有優(yōu)劣，應(yīng)讓不同層次的學(xué)生感受到不同的設(shè)點(diǎn)方式下導(dǎo)致的運(yùn)算長(zhǎng)度和可能狀況不一樣.

分析：設(shè)成直角坐標(biāo)(x0,y0)直接簡(jiǎn)明，但可能因?yàn)樽兞?字母)較多，后續(xù)消元時(shí)易迷失方向；設(shè)成參數(shù)形式(acosα,bsinα)變量較少，化簡(jiǎn)方向不會(huì)亂，但對(duì)三角恒等變換的要求高.

據(jù)此分析，學(xué)生將會(huì)結(jié)合自身實(shí)際情況選擇合適的設(shè)點(diǎn)方式，進(jìn)而形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

其次，在運(yùn)算“xS”時(shí)習(xí)慣于運(yùn)用“同理可得”，可實(shí)際上很多學(xué)生并非真理解“同理”，“理”在何處？因此，在最初運(yùn)用“同理”時(shí)應(yīng)講清原委，并盡可能地讓學(xué)生自己完成這樣的“同理可得”，讓他們真正體會(huì)到如何進(jìn)行坐標(biāo)替換的思維操作.

可見(jiàn)，通過(guò)慢節(jié)奏對(duì)算法設(shè)計(jì)、運(yùn)算節(jié)點(diǎn)進(jìn)行“微研究”，學(xué)生的思維訓(xùn)練是由淺入深、從粗到細(xì)慢慢展開(kāi)，既有對(duì)自己已有運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)的調(diào)整訓(xùn)練，也有借鑒他人思維的模仿訓(xùn)練，還有對(duì)代數(shù)式觀察、運(yùn)算方向監(jiān)控、運(yùn)算長(zhǎng)度預(yù)估等多重的思維訓(xùn)練，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)都將能得到相應(yīng)的提升.

2.2 算理提煉，形成基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)運(yùn)算的教學(xué)側(cè)重于技能的訓(xùn)練，將數(shù)學(xué)運(yùn)算變成了追求速度、技巧、準(zhǔn)確率的技能訓(xùn)練，學(xué)生疲于“死算”，忙于“瞎算”，這樣的訓(xùn)練對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升是極其不利的.任何運(yùn)算都離不開(kāi)算理的支撐，算理是客觀存在的規(guī)律，為計(jì)算提供了正確的思維方式，保證了計(jì)算的合理性和正確性.沒(méi)有算理指引下的運(yùn)算是盲目的，學(xué)生更需要算理來(lái)指引運(yùn)算，從而減少不必要的時(shí)間消耗.實(shí)際上，在每個(gè)運(yùn)算過(guò)程中蘊(yùn)含著“算理”，需要教師引導(dǎo)學(xué)生提煉出來(lái)，而且要讓學(xué)生體會(huì)到“算理”是進(jìn)行一類(lèi)運(yùn)算的規(guī)律所在.

對(duì)本題的運(yùn)算過(guò)程進(jìn)行回顧，可以發(fā)現(xiàn)“消元”是基本算理，具體到兩種不同的設(shè)點(diǎn)方式：

設(shè)成直角坐標(biāo)最終必定通過(guò)“點(diǎn)在橢圓”上這一信息進(jìn)行坐標(biāo)代換，而設(shè)成三角參數(shù)形式最終必定通過(guò)三角恒等式進(jìn)行消元.通過(guò)對(duì)兩種設(shè)點(diǎn)方式的算理提煉，并及時(shí)指出兩種設(shè)點(diǎn)方式最終的“消元”方式不同，對(duì)知識(shí)要求和運(yùn)算水平也不盡相同.這樣的過(guò)程可以讓學(xué)生根據(jù)自身情況選擇更適合自己的“算法”進(jìn)行運(yùn)算.算理的提煉解決了學(xué)生執(zhí)行算法時(shí)的盲目，學(xué)生獲得了進(jìn)行類(lèi)似操作的思維范式，對(duì)學(xué)生運(yùn)算信心的提高也有很大的幫助.

3.重視解題教學(xué)的本質(zhì)揭示

正如波利亞所言：“好問(wèn)題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長(zhǎng)，找到一個(gè)以后，你應(yīng)當(dāng)在周?chē)艺?，很可能附近就有好幾個(gè).”在解析幾何解題教學(xué)中，應(yīng)有意識(shí)地搜集“附近的蘑菇”，舉一反三，觸類(lèi)旁通，揭示出問(wèn)題本題，并通過(guò)合理的教學(xué)組織，發(fā)揮出應(yīng)有的教學(xué)功能.

很容易搜集整理到原題結(jié)構(gòu)相近的“姊妹題”：

圖2

圖3

(1)略；(2)若點(diǎn)P為橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且直線(xiàn)AP,BP分別交直線(xiàn)y=x于點(diǎn)M、N，證明：OM·ON為定值.

圖4

有了這些形似的素材，可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特

點(diǎn)、思維水平設(shè)計(jì)不同層次的活動(dòng).如變式教學(xué)，將原問(wèn)題變式為題1(或題2)，進(jìn)而變形為題3，并分析題3與原題的聯(lián)系(過(guò)Q作QQ'⊥x軸于Q'，可知Q'、M、C'三點(diǎn)共線(xiàn)，問(wèn)題就是題1了).還可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)運(yùn)算觀察、歸納猜想、推理論證等一系列的思維活動(dòng)，將原問(wèn)題拓展至一般情形，或?qū)⒃瓎?wèn)題退化為“圓”探求其幾何背景.

活動(dòng)1：將原命題推廣至一般情形：

圖5

活動(dòng)2：退化到圓中探求幾何背景.

圖6

如圖6，易證ΔOPM∽ΔONP，于是OM·ON=OP2=OT2，這就是該命題在圓中的幾何背景.

從上面可以看出，通過(guò)對(duì)原有問(wèn)題的類(lèi)題搜集并進(jìn)行有效地組織，使得教學(xué)成為多維度的系統(tǒng)研究，學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解上將會(huì)有更深的感悟，在思維訓(xùn)練上也得到了充分的訓(xùn)練，在邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面將有較大的發(fā)展.

4.結(jié)語(yǔ)

解題教學(xué)不應(yīng)該成為教師炫耀技巧和題型梳理的場(chǎng)所，而應(yīng)該是帶領(lǐng)學(xué)生去感悟數(shù)學(xué)本真，訓(xùn)練學(xué)生思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的舞臺(tái)，應(yīng)該是一個(gè)規(guī)范的系統(tǒng)的長(zhǎng)期工程，需要我們不斷地探索研究并踐行.

[1]潘龍生.教學(xué)，少些一帶而過(guò)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2015，1:14-16.

[2]章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2010.4