例談?dòng)蛇f推式求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法

曹文韜

一、定義法

在通項(xiàng)公式的求解中，直接通過等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義來獲取結(jié)果的方法被稱為是定義法，此種方法可以在具有明顯數(shù)列類型的題目當(dāng)中應(yīng)用。如從數(shù)列的第二項(xiàng)開始，其后每一項(xiàng)減去其前一項(xiàng)所得到的數(shù)值全部相同，或者從第二項(xiàng)開始，其后每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的比例值相同，則可以利用定義法的方式進(jìn)行通項(xiàng)公式的計(jì)算。

例1 已知等差數(shù)列[an]符合a3=7，a5+a7=26，并且sn為前n項(xiàng)和，求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式。

解：假設(shè)數(shù)列[an]的公差為d，由于a3=7，a5+a7=26，所以可以列入如下公式[a1+2d=72a1+10d=26]，通過化解能夠得出[a1=3d=2]，因此，最終的an=3+2（n-1）=2n+1。

二、公式法

如果已知數(shù)列前n項(xiàng)中的an與Sn之間的聯(lián)系，最終要想求得[an]數(shù)列通項(xiàng)an，則可以利用an=S1，（n=1），an=Sn-Sn-1（n≥2）進(jìn)行求解。

例2 已知Sn代表數(shù)列[an]中的前n項(xiàng)和，并且滿足[sn=2an-1]，求數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式。

解：當(dāng)n=1時(shí)，a1與S1相等，帶入到公式中能夠得出[s1=2a1-1]，求得a1=1；當(dāng)n≥2時(shí)，[an=sn-sn-1]，帶入到公式中為：[2an-1-2an-1-1=2an-2an-1]最終經(jīng)過化簡能夠得出[anan-1=2]，因此，數(shù)列[an]的第一項(xiàng)為a1=1，從第二項(xiàng)開始以后為等比數(shù)列，且公比為2，所以為[an=2n-1]。在利用公式法進(jìn)行解題時(shí)，應(yīng)遵循an=S1，（n=1），an=Sn-Sn-1（n≥2）原則，根據(jù)題目的具體情況，通常情況下應(yīng)對n進(jìn)行分類求解，但如果能夠合并時(shí)一定要進(jìn)行整合計(jì)算。

三、遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式

在利用遞推方法求取數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，主要可以采用公式間的變換方式解決，通常將已知數(shù)列向等差或者等比數(shù)列方面轉(zhuǎn)換，但是也不排除利用特殊轉(zhuǎn)換方法與特殊數(shù)列進(jìn)行求解的可能。例如經(jīng)常用到的遞推公式：[an+1=an+f（n）]。

例3 已知數(shù)列[an]中的幾項(xiàng)數(shù)值分別為[a1=12，an+1=an+1n2+n]，對數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式進(jìn)行求值。

解：根據(jù)題目中的所給條件能夠得出[an+1-an=1n-1n+1]，并且n的值為1到（n-1），將n的數(shù)值逐一帶入到上述公式當(dāng)中，再進(jìn)行累加之后能夠得到公式：[an-a1+a3-a2+…an-an-1=1-12+12-13+…（1n-1-1n）]，所以最終能夠得出[an=12]，將其帶入后能夠得出[an=32-1n]。在利用此種方式求通項(xiàng)公式時(shí)，可以將原本的公式轉(zhuǎn)變?yōu)閇an+1=an+f（n）]的方式，再利用累加的方式求得[an]的數(shù)值。

此外，遞推式求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法還有[an+2=pan+1+qan]的類型，這種類型的數(shù)列可以適用于以下題目的求解當(dāng)中。

例4 已知數(shù)列[an]中a1的值為2，a2的值為5，并且[an+2-3an+1+2an=0]，求該式中數(shù)列[an]的通項(xiàng)公式。

解：通過該題中的已知條件，將a1與a2的數(shù)值分別帶入到已知的公式當(dāng)中，能夠得出a1a2=5-2=3，因此，該式中后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之間的公比為2，等比數(shù)列的首相數(shù)值為3，所以，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)之間差值的表達(dá)公式為：[an+1-an=3?2n-1]。

在此結(jié)果的基礎(chǔ)上利用逐差法能夠得出：[an+1=an+1-an+an-an-1+…a2-a1+a1]將數(shù)值帶入后能夠得出[3?2n-1]，最終能夠得出[an=3×2n-1-1]。通過利用分解系數(shù)，可以將數(shù)列[an]轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥鈹?shù)列[an-an-1]的樣式進(jìn)行求解。同時(shí)，通過對系數(shù)p的分解，能夠得到上述等比數(shù)列，假設(shè)[an+2-kan+1=h（an+1-kan）]，將其帶入到公式當(dāng)中，能夠得出h和k的數(shù)值。

四、結(jié)束語

在做數(shù)列方面練習(xí)題時(shí)，應(yīng)采用變換性思維方式，從多個(gè)角度進(jìn)行分析，并且在課堂中認(rèn)真聽取教師所講解的解題方法，對求數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種常用方法熟練掌握，進(jìn)而能夠在實(shí)際解題過程中，熟練應(yīng)用。endprint