探討圓錐曲線與平面向量的結(jié)合

譚松梨

1引言

平面向量既有數(shù)值又有方向，在平面幾何學(xué)中有舉足輕重的地位，可以連接不同的考察內(nèi)容，利用平面向量，可以將幾何圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)分析，從而進(jìn)行定量分析；圓錐曲線是生活、物理、科研中不可避免接觸的一些經(jīng)典曲線，是科學(xué)研究的基石，例如研究橢圓的特性有利于設(shè)計(jì)更完美的衛(wèi)星軌道方案，是航天科學(xué)的基礎(chǔ)。在高中的重點(diǎn)學(xué)習(xí)方向是平面向量與圓錐曲線的結(jié)合，主要是利用平面向量的手段解決圓錐曲線的題目，研究圓錐曲線的特性。

2結(jié)合題型之求曲線方程和相關(guān)量取值范圍

例 雙曲線M的中心在坐標(biāo)系原點(diǎn)O，右焦坐標(biāo)為為（2，0），右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（[3，0]）。

（1）求M的標(biāo)準(zhǔn)方程。

（2）假設(shè)[l∶y=kx+2]與M的有兩交點(diǎn)A和B，[OA·OB>2]，求直線方程中k的范圍。

解：（1）設(shè)方程[x2a2-y2b2=1]。

[a=3，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1]。

則M的方程為[x23-y2=1]。

（2）[y=kx+2代入x23-y2=1]得

[1-3k2x2-62kx-9=0]。

l與M有不同交點(diǎn)，所以：

[1-3k2≠0?=（62k）2+361-3k2=36（1-k2）>0]

可知[k2≠13且k2<1。]

設(shè)交點(diǎn)[AxA，xA，BxB，xB]，以及[OA·OB>2]

[xA+xB=62k1-3k2，xAxB=-91-3k2]

計(jì)算可得：

[3k2+73k2-1>2，即-3k2+93k2-1>0]。

于是：

[13

綜合可知[13

3結(jié)合題型之求動(dòng)點(diǎn)的軌跡

例 如圖中所示，點(diǎn)F（1，0），l∶x=-1，P為動(dòng)點(diǎn)，P與l的垂線的垂足為Q，且[QP·QF=FP·FQ]，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡。

[l][y][F][x][O][1][-1]

本小題涉及直線、拋物線、向量等知識(shí)，考查學(xué)生的綜合解題能力。

解：設(shè)P（x，y），Q（-1，y），由[QP·QF=FP·FQ]得：

（x+1，0）·（2，-y）=（x-1，y）·（-2，y）

化簡(jiǎn)得C∶y2=4x。

4結(jié)合題型之求曲線幾何特性

例 已知一中心為原點(diǎn)的橢圓，焦點(diǎn)位于x軸，直線斜率為1，與橢圓右焦點(diǎn)F相交，并與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，[OA+OB]與[a=（3，-1）]共線，求橢圓的離心率。

解：設(shè)方程[x2a2+y2b2=1a>b>0，F(xiàn)（c，0）]

則l為y=x-c，代入橢圓方程，得：

（a2+b2）x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0

假設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則[x1+x2=2a2ca2+b2，x1x2=a2c2-a2b2a2+b2]，

進(jìn)一步計(jì)算可知：

3（y1+y2）+（x1+x2）=0又y1=x1-c，y2=x2-c，

∴3（x1+x2-2c）+（x1+x2）=0，

∴x1+x2=[32c]。

即[2a2ca2+b2=3c2]，所以[a2=3b2]。

[∴c=a2-b2=6a3]，

則[e=ca=63]。

5總結(jié)

在解題過程中，要靈活將向量和圓錐曲線的知識(shí)相結(jié)合。出題方向主要求動(dòng)點(diǎn)軌跡、求相關(guān)量和幾何特性的取值范圍或者數(shù)值大小、證明點(diǎn)線存在與否和證明定值等三個(gè)方面。

面對(duì)這些結(jié)合類型題，要有清晰的解題策略，下面將解題策略分解為幾個(gè)步驟，以供參考：①根據(jù)題中的題目背景，建立坐標(biāo)系，以便進(jìn)行平面向量的計(jì)算；②為了方便計(jì)算，要進(jìn)行充分的消元；③利用圓錐曲線的幾何特性，建立坐標(biāo)與向量之間的橋梁；④對(duì)于取值范圍的題型，要將等式不等式的關(guān)系用方程表達(dá)出來；⑤向量是解題過程的重要手段，要充分利用。很多同學(xué)在運(yùn)算方面不過關(guān)，經(jīng)常出現(xiàn)失分現(xiàn)象，所以要提高運(yùn)算水平，以免出現(xiàn)無謂的失分。最后，題型的總結(jié)是方向，但是出題的方式千變?nèi)f化，學(xué)習(xí)中要加強(qiáng)總結(jié)的能力，才能以不變應(yīng)萬變，將知識(shí)掌握在自己手中，不因出題題型變化而丟分，思考的基礎(chǔ)上不斷探索和總結(jié)研究，深入挖掘知識(shí)點(diǎn)的深度，這樣才能提高分?jǐn)?shù)，考取理想的大學(xué)。