地圖比例尺定義及多比例尺地圖覆蓋的拓?fù)鋵W(xué)原理

張瑞辰,鐘業(yè)勛,胡寶清,劉雁春,邊少鋒

(1. 海軍工程大學(xué) 導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430043； 2. 廣西師范學(xué)院 北部灣環(huán)境演變與資源利用省部共建教育部重點實驗室;廣西地表過程與智能模擬重點實驗室，廣西 南寧 530001； 3. 廣西測繪地理信息局，廣西 南寧 530023；4. 海軍大連艦艇學(xué)院，遼寧 大連 116018)

地圖比例尺定義及多比例尺地圖覆蓋的拓?fù)鋵W(xué)原理

張瑞辰1,鐘業(yè)勛1，2，3,胡寶清2,劉雁春4,邊少鋒1

(1. 海軍工程大學(xué) 導(dǎo)航工程系，湖北 武漢 430043； 2. 廣西師范學(xué)院 北部灣環(huán)境演變與資源利用省部共建教育部重點實驗室;廣西地表過程與智能模擬重點實驗室，廣西 南寧 530001； 3. 廣西測繪地理信息局，廣西 南寧 530023；4. 海軍大連艦艇學(xué)院，遼寧 大連 116018)

為了用數(shù)學(xué)形式表征地圖比例尺的本質(zhì)特征，地圖比例尺的概念需要精密的數(shù)學(xué)表達(dá)形式。根據(jù)地圖比例尺與地球制圖半徑、可視化點對應(yīng)點元半徑的函數(shù)關(guān)系，給出兩個地圖比例尺的數(shù)學(xué)定義；由函數(shù)的定義域推出大、中、小地圖比例尺的分類；并從拓?fù)鋵W(xué)覆蓋的數(shù)學(xué)定義，論證制圖區(qū)域多種地圖比例尺覆蓋的科學(xué)合理性。

地圖比例尺；地球半徑；可視化點；點元半徑；數(shù)學(xué)定義；覆蓋

比較法是不可或缺的認(rèn)知與描述工具，更是解釋性的，是一項控制變異的方法(Smelser，1976)及建立變量間普遍關(guān)系或“法則”的方法(Lijphart，1971;Sartori，1970)，最終，它是一項歸納推理的方法。有的學(xué)者認(rèn)為，沒有比較就沒有科學(xué)思想(Swanson，1971)，且無論何種形態(tài)的研究，都不可避免是比較性的(Lasswell，1986;Liebeerson，1985)。比較構(gòu)成了所有科學(xué)解釋的核心(Armer，1973;Bailey，1982;Blalock，1961)，所有科學(xué)本質(zhì)上都是比較的(Klingman，1980)[1]。地圖作為人們空間認(rèn)知的必要工具，比較法的使用更是比比皆是：地物的結(jié)構(gòu)特征、外在形態(tài)、地物的大小、數(shù)量、距離遠(yuǎn)近、分布密度等等，都需要比較才能得出判斷結(jié)論。地物的定位精度、地物的概括程度也是一種比較，這類比較與比例尺相關(guān)，這就涉及地圖按比例尺的分類。關(guān)于地圖按比例尺的分類，傳統(tǒng)的教科書中通常分為3類：大比例尺地圖：1∶10萬及更大比例尺地圖；中比例尺地圖：介于1∶10萬和1∶100萬之間的地圖；小比例尺地圖：1∶100萬及更小比例尺的地圖[2-3]。關(guān)于地圖比例尺，普遍認(rèn)同的定義是：地圖上兩點之間的距離與實地兩對應(yīng)點之間的距離的比值。然而，由于地球表面是個不可展面，地圖投影就是地球表面在平面上的拓?fù)渥儞Q。拓?fù)渥儞Q的雙一一函數(shù)關(guān)系，使得不可展面上的線素投影到平面上也必須是連續(xù)的，這就使平面上的線必定有重疊或拉伸，也就是說，從嚴(yán)格的意義上，地圖上不同部位的比例尺是不相同的，這就是局部比例尺。地圖上不同部位的兩點距離的變異性導(dǎo)致以它推出的地圖比例尺具有不確定性。確定性是科學(xué)思維的一個基本規(guī)定，科學(xué)思維的精密性在于用數(shù)學(xué)形式表征事物的本質(zhì)特征[4]。確定性要求地圖比例尺必定是某個有規(guī)律的變量的函數(shù)，并且存在對所有地圖都不變的常數(shù)?；诖怂悸罚疚母鶕?jù)制圖時采用的地球半徑和可視化點對應(yīng)的點元半徑與地圖比例尺的函數(shù)關(guān)系，推導(dǎo)了兩個地圖比例尺的數(shù)學(xué)定義。還從拓?fù)鋵W(xué)中的覆蓋定義，闡釋了多種比例尺地圖對制圖區(qū)域的覆蓋原理。

1 基于地球制圖半徑函數(shù)的地圖比例尺的數(shù)學(xué)定義

計算地圖投影或制作地圖時，必須將地球(橢球或球)按一定的比例縮小并表示在平面上，這個比率稱為地圖的主比例尺，或稱普通比例尺。地圖上標(biāo)注的比例尺就是主比例尺[5-6]。地球制圖半徑與地圖比例尺的密切相關(guān)性可以視地圖比例尺為地球制圖半徑的函數(shù)，構(gòu)建地圖比例尺的通用公式，并通過制圖半徑的定義域，給出大、中、小比例尺的數(shù)學(xué)定義。

1.1 地圖比例尺的定義

定義1地圖比例尺。設(shè)地球的實體半徑為R，地圖制圖采用的球體半徑為Rz，Rz與R之比稱為地圖主比例尺，簡稱地圖比例尺，即

(1)

式中：地球的實體半徑R為常數(shù)，Rz與地圖比例尺M(jìn)成正比關(guān)系。

設(shè)D為地圖，M∈D,M的大小決定地圖比例尺的分類:

條件1)表明，大比例尺地圖的比例尺M(jìn)的定義域為1和1/100 000的半開區(qū)間，但不會等于1，因為不存在比例尺為1的地圖；中比例尺地圖的比例尺M(jìn)的定義域為1/100 000到1/1 000 000的開區(qū)間；小比例尺地圖的比例尺M(jìn)的定義域為1/1 000 000到0的半開區(qū)間，說明沒有比例尺為0的地圖。

1.2 實例

例1設(shè)R為等面積球體半徑，試求大、中、小比例尺地圖所對應(yīng)的制圖球體半徑Rz的定義域。

解：等面積球體半徑R用式(2)求得。

(2)

式中：a為地球橢球長半徑，e為第一偏心率。采用2000國家大地坐標(biāo)系時，a=6 378 137 m，e=0.081 819 191，R=6 371 007 m，地球的實體半徑R為常數(shù)。

1)Rz∈[63.710 07,6 371 007)?大比例尺地圖；

2)Rz∈(6.371 007,63.710 07)?中比例尺地圖；

3)Rz∈(0,6.371 007]?小比例尺地圖。

因63.710 07 m正好是等面積地球的實體半徑6 371 007 m的1/100 000，大于此值時為大比例尺地圖。Rz的定義域表明，Rz不會與R相等，因為不存在比例尺為1:1的地圖；當(dāng)Rz為6.371 007 m時，正好是等面積地球的實體半徑6 371 007 m的1/1 000 000，小于此值時比例尺更小，但不會等于0，不存在比例尺為0的地圖，所以這類地圖為小比例尺地圖；而球體的制圖半徑處在6.371 007 m與63.710 07 m之間的地圖屬于中比例尺地圖。

2 基于可視化點對應(yīng)點元半徑函數(shù)的地圖比例尺的數(shù)學(xué)定義

2.1 地圖可視化點的閾值及其對應(yīng)的點元

F.泰勒在1994年提出的著名地圖學(xué)概念圖解中，把可視化看作地圖學(xué)的核心。可視化在西方多稱為視覺化(Visualization)，解釋為“不可直接覺察的某種事物的直觀表示”。地學(xué)空間信息中，有可見的居民地、道路、水系、植被；有深埋地下的礦藏、地質(zhì)構(gòu)造，這些事物存在但不可見；有可測不可見的氣溫、氣壓，或明或隱的行政界線，以及人口、工農(nóng)業(yè)產(chǎn)值等人文要素；有不可再現(xiàn)的歷史事件和消亡現(xiàn)象等。但在地圖上，這些不可直接覺察的事物，通過符號化表示使其實現(xiàn)了可視化[7-9]。不同比例尺的地圖圖式，規(guī)定了地圖可視化的閾限：線粗為0.1 mm，點大為0.15 mm，符號間的間隔不能小于0.2 mm[10-11]。一個0.15 mm的可視化點，在不同比例尺條件下反演為實地上的點元—一個圓形區(qū)域。所謂點元，也就是把這樣一個圓形區(qū)域僅看作0.15 mm的可視化點的對應(yīng)物，圓形區(qū)域內(nèi)的所有地物的性質(zhì)，視為等價類[12-13]。

定義2地圖可視化點對應(yīng)的點元。設(shè)S為球面，Y為平面，存在拓?fù)溆成鋐:S→Y，令P0=0.15 mm，如果C∈S∧C=πr2?f(C)=P0∈Y，則稱C為可視化點P0=0.15 mm對應(yīng)的點元。也即f-1(P0)=C=πr2。

2.2 基于點元半徑函數(shù)的地圖比例尺定義

由于任何比例尺地圖上的可視化點P0=0.15 mm是不變的，同一比例尺地圖上的點元大小相同，不同比例尺地圖對應(yīng)的點元大小不同，比例尺越小可視化點對應(yīng)的點元越大，因此， 地圖比例尺的大小可以用點元大小來度量，它是點元半徑r的函數(shù)。

定義3地圖比例尺。設(shè)可視化點P0=0.15 mm，把它視為一個圓點，它的半徑r0=0.075 mm，令點元C的半徑為rc，則地圖D的比例尺M(jìn)為

(3)

式中：r0為常數(shù)，地圖比例尺M(jìn)與點元C的半徑rc成反比，rc愈小則地圖比例尺愈大，反之亦然。

設(shè)D為地圖，M∈D,M的大小決定地圖比例尺的分類:

條件1)表明，沒有比例尺為1的地圖，條件3)表明，沒有比例尺為0的地圖。定義1和定義3是等價的地圖比例尺定義。

3 多種比例尺地圖覆蓋同一地區(qū)的拓?fù)鋵W(xué)原理

3.1 覆蓋定義

定義4覆蓋。令X表示一個隨意的非空集合，又E表示X的一個子集。如果X的一個子集族{Uα}α∈I能使E?∪α∈IUα,則{Uα}α∈I叫做集合E的一個覆蓋。當(dāng){Uα}α∈I是E的一個覆蓋時，又說，E被所有的Uα所覆蓋，或者說，所有的Uα覆蓋著E。

令

u={Uα}α∈I,并令v={Uα}α∈I*,其中，I*∈I.

(4)

如此，稱族v為族u的子族，并且可以寫成v?u或者u?v。當(dāng)E的一個覆蓋u的某個子族v也是E的一個覆蓋時，稱v為u的一個子覆蓋[14]。拓?fù)鋵W(xué)中關(guān)于覆蓋的定義，為測繪工作中對同一地區(qū)的不同比例尺地圖覆蓋提供了理論基礎(chǔ)。

3.2 不同比例尺地圖覆蓋的理論闡釋

在測繪工作中，常常在一個國家或一個省區(qū)，施測多種比例尺地圖。我國的1∶100萬、1∶50萬、1∶25萬、1∶10萬地形圖已全部覆蓋了全國。圖1為1∶100萬、1∶50萬、1∶25萬比例尺覆蓋原理的示意圖，非常簡潔地表示了多比例尺地圖覆蓋的數(shù)量和包含關(guān)系。

圖1 多種比例尺地圖覆蓋

我國的1∶100萬圖77幅，1∶50萬圖257幅，1∶25萬圖819幅，1∶10萬圖7 176幅。1:5萬覆蓋全國圖幅數(shù)應(yīng)為24 091幅，已測制19 333幅，占80%。1∶1萬地形圖已測制14.6萬幅，覆蓋面積達(dá)422萬km2。經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)已測制了第三代1∶5萬和1∶1萬地形圖[15]。設(shè)X為地球表面，E∈X為中國的陸地面積，在E?∪α∈IUα的包含關(guān)系中，當(dāng)I=77?Uα?1∶100萬地形圖，此時u={Uα}α∈I?v={Uα}α∈I*∧u?v,表明1∶100萬地形圖包含的子集族有v，v可為1∶50萬、1∶25萬、1∶10萬、1∶5萬、1∶2.5萬、1∶1萬和1∶5 000地形圖，這些不同比例尺的子集族，全都是中國的陸地面積E∈X的覆蓋。

4 結(jié) 論

地圖比例尺是地圖制圖中的基本概念，它的產(chǎn)生是比較法應(yīng)用的結(jié)果，而地圖比例尺又是反演地物狀態(tài)的依據(jù)和尺度，與比較法密切相關(guān)。根據(jù)地圖比例尺必定是某個有規(guī)律的變量的函數(shù)的科學(xué)思維的確定性要求，提出了地圖比例尺的兩種數(shù)學(xué)形式：地球制圖半徑函數(shù)式和點元半徑函數(shù)式。前者以地球?qū)嶓w半徑R為常數(shù)，地圖比例尺與地球制圖半徑Rz成正比；后者以可視化點P0=0.15 mm為常數(shù)，地圖比例尺與點元半徑rc成反比。這兩個地圖比例尺公式是等價的。地圖比例尺的點元半徑函數(shù)式是本文的創(chuàng)新公式。由于社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展的程度、技術(shù)條件等因素，我國和各省(區(qū))國家基本比例尺地圖覆蓋的情況有所差異。總的情況是，經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)人口較多的東部地區(qū)，不但覆蓋了各種比例尺地圖，有的還測制了第三代1∶5萬和1∶1萬地形圖。本文根據(jù)拓?fù)鋵W(xué)中覆蓋的定義，對多種比例尺地圖覆蓋同一地區(qū)的現(xiàn)象進(jìn)行了闡釋。

[1] [瑞士]丹尼爾.卡拉曼尼(Daniele Caramani).基于布爾代數(shù)的比較法導(dǎo)論[M].蔣勤，譯.上海：格致出版社，上海人民出版社，2012.

[2] 祝國瑞.地圖學(xué)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2004.

[3] 廖克.現(xiàn)代地圖學(xué)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2003.

[4] 周昌忠.科學(xué)思維學(xué)[M]. 上海：上海人民出版社，1988.

[5] 胡毓鉅.龔劍文.地圖投影[M].2版.北京：測繪出版社，2006.

[6] 胡毓鉅.數(shù)學(xué)制圖學(xué)[M].北京：中國工業(yè)出版社，1964.

[7] 鐘業(yè)勛.數(shù)理地圖學(xué)[M].北京：測繪出版社，2007.

[8] 鐘業(yè)勛，童新華.基于可視化的地圖學(xué)概念的形成邏輯[J].海洋測繪，2012，32(4)∶78-80.

[9] 鐘業(yè)勛，朱重光，童新華,等.地圖可視化與地圖學(xué)概念的相關(guān)性研究 [J].玉林師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，33(2)∶146-149.

[10] 國家技術(shù)監(jiān)督局.1∶25 000，1∶50 000，1∶100 000地形圖圖式[S]. 北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社，1991.

[11] 鐘業(yè)勛，胡寶清，童新華,等. 地圖學(xué)概念的數(shù)學(xué)表述研究[M].北京：科學(xué)出版社，2015.

[12] 李占元， 鐘業(yè)勛.等高線悖論與廣義等高線定義的研究[J].測繪科學(xué)，2005，3(4)：25-26.

[13] 鐘業(yè)勛，黃仁濤，王龍波.等高線悖論與廣義等高線定義的修改[J].黑龍江工程學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2007，21(3)：4-6.

[14] 李孝傳，陳玉清.一般拓?fù)鋵W(xué)導(dǎo)引[M].北京：高等教育出版社，1982.

[15] 百度知道.國家基本比例尺地圖的全中國圖幅總數(shù)量[DB/OL].Kongfz.com 孔夫子舊書網(wǎng)，[2016-06-01].

[責(zé)任編輯：郝麗英]

Coverage in the cartographic region

ZHANG Ruichen1,ZHONG Yexun1,2,3,HU Baoqing2,BIAN Shaofeng1

(1. Dept. of Navigation Engineering, Naval University of Engineering, Hubei 430033,China; 2. Key Laboratory of Beibu Gulf Environment Change and Resources Use, Ministry of Education, Guangxi Teachers Education University, Nanning 530001,China; 3. Guangxi Key Laboratory of Earth Surface Processes and Intelligent Simulation, Guangxi Teachers Education University, Nanning 530001,China; 3. Guangxi Regional Geographical Information Bureau of Surveying and Mapping, Nanning 530023,China; 4. Dalian Naval Academy, Dalian 116018,China)

In order to express the essential features of map scale in mathematical form, the concept of map scale needs a precise mathematical expression form. According to the relationships between map scale and earth mapping radius as well as visualization point’s corresponding point element radius, the paper gives two mathematical definitions of the map scale. From the domain of the function it introduces the classification of large, medium and small scale maps. From the mathematical definition of topology coverage, the paper demonstrates the scientific rationality of various map scale coverage in the cartographic region.

map scale; earth radius; visualization point; radius of point element; mathematical definition; coverage

P22

A

1671-4679(2017)05-0017-04

2017-05-25

國家自然科學(xué)基金項目(20154424,41671459,41361022,41571441)；廣西科技開發(fā)項目(2014DD29090)；廣西北部灣重大基礎(chǔ)專項子課題(2012GXNSFEA053001)

張瑞辰(1993-)，女，碩士研究生，研究方向：海圖投影.

10.19352/j.cnki.issn1671-4679.2017.05.004