基于AMA的均值—方差模型在大類資產(chǎn)配置中的應(yīng)用

徐皓

[摘 要]隨著FOF基金逐步進(jìn)入投資者的視野，關(guān)于大類資產(chǎn)配置的方法和策略越來越被重視。首先，文章對H.M.Markowitz在1952年提出的均值—方差模型進(jìn)行了闡述和分析，總結(jié)其優(yōu)點(diǎn)和缺陷。其次，針對經(jīng)典模型存在的缺陷，文章引入考夫曼自適應(yīng)移動平均線，建立了基于AMA的均值—方差模型。改進(jìn)后的模型可以有效降低經(jīng)典模型對歷史數(shù)據(jù)的依賴性。最后，文章運(yùn)用該模型對中證全指、中證全債、Wind商品指數(shù)進(jìn)行資產(chǎn)配置，回測期為2007年1月1日到2016年12月31日，3個(gè)月?lián)Q倉一次，取得了年化 21.46%的收益，最大回撤率為 19.79%，夏普比率為 1.43，整體回測結(jié)果理想。

[關(guān)鍵詞]均值方差模型；考夫曼自適應(yīng)移動平均線；大類資產(chǎn)配置

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2017.28.059

在公募FOF發(fā)展的初期，如何對大類資產(chǎn)進(jìn)行配置和選擇是公募FOF發(fā)展初期的重點(diǎn)。文章對Markowitz（1952）提出的經(jīng)典的均值—方差模型進(jìn)行了闡述和分析，總結(jié)其優(yōu)缺點(diǎn)，并在其基礎(chǔ)上引入考夫曼自適應(yīng)移動平均線系統(tǒng)（AMA）對模型進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化，以期建立更加完善的大類資產(chǎn)配置模型。

1 經(jīng)典的均值—方差模型

Markowitz（1952）提出的均值—方差模型首次將數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析方法引入金融領(lǐng)域，將風(fēng)險(xiǎn)定義為收益率的波動率。該模型的基本思想是：基于理性投資行為“回避風(fēng)險(xiǎn)”“非滿足性”等特點(diǎn)，以給定收益水平下最小化風(fēng)險(xiǎn)或者在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下最大化收益為約束目標(biāo)，求解最優(yōu)的資產(chǎn)配置組合。

1.1 模型的基本假設(shè)

（1）投資者在進(jìn)行每一次投資決策時(shí)，其投資依據(jù)是某一持倉時(shí)間內(nèi)資產(chǎn)收益的概率分布。

（2）投資者根據(jù)投資標(biāo)的的期望收益率估測風(fēng)險(xiǎn)。

（3）投資者的決策僅僅依據(jù)投資標(biāo)的的風(fēng)險(xiǎn)和收益。

（4）不考慮交易費(fèi)用、個(gè)人所得稅等因素的影響，即市場無摩擦。

（5）投資者是理性的，即在給定風(fēng)險(xiǎn)水平下期望收益最大或者在給定收益水平下期望承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)最小。

1.2 均值—方差模型的構(gòu)建

基于上述假設(shè)，假設(shè)存在n種投資標(biāo)的，若R=（r1， r2， r3， …， rn）T為各類投資標(biāo)的期望收益率，w=（w1， w2， w3， …， wn

經(jīng)典的均值方差模型較為簡單，能夠在收益與風(fēng)險(xiǎn)之間尋找適應(yīng)投資者需要的均衡點(diǎn)。但是，模型求解投資組合時(shí)，收益與風(fēng)險(xiǎn)的微小變化會改變有效組合構(gòu)成，缺乏穩(wěn)健性，使得投資者在模型的實(shí)際應(yīng)用中往往僅能得到次優(yōu)組合。同時(shí)，模型傾向于選擇具有歷史高收益或低風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)，而其他質(zhì)量相對較差的資產(chǎn)分配0權(quán)重，并沒有實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)充分分散，違背了模型的本來目的。

2 基于AMA的均值—方差模型

如前文所述，經(jīng)典的均值—方差模型存在一些不足，直接使用該模型往往達(dá)不到預(yù)期的效果，為了增強(qiáng)模型在實(shí)踐中的表現(xiàn)，我們對該模型進(jìn)行以下改進(jìn)。

第一，模型易受到誤差放大機(jī)制的影響，傾向于對相對低收益、高風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)分配0權(quán)重。針對該缺陷，我們對各類資產(chǎn)持有比重設(shè)置下限5%。

第二，投資組合權(quán)重的變化依賴于歷史數(shù)據(jù)，難以根據(jù)市場及時(shí)調(diào)整，對此從兩個(gè)方面修正：①考慮一種極端情形，若短期內(nèi)（60個(gè)交易日）某一標(biāo)的虧損超過10%，為實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，設(shè)置下期該類型資產(chǎn)持有比例小于或等于10%；②采用考夫曼自適應(yīng)移動平均線平滑資產(chǎn)價(jià)格，計(jì)算趨勢下未來一段時(shí)間內(nèi)資產(chǎn)期望收益率。

2.1 考夫曼自適應(yīng)移動平均線（AMA）

佩里·考夫曼的自適應(yīng)移動平均線（AMA）是一個(gè)經(jīng)典的技術(shù)指標(biāo)，既可以消除短周期均線帶來的噪聲，又可以避免長周期均線的滯后性。當(dāng)市場快速沿著趨勢方向移動時(shí)，AMA使用快速移動平均；當(dāng)價(jià)格橫盤調(diào)整時(shí)，AMA使用慢速移動平均。

利用AMA進(jìn)行未來一段時(shí)間移動平均線的構(gòu)建方法如下：

AMAt=AMAt-1+c*（Pt-AMAt-1）（2）

其中AMAt表示價(jià)格在持倉期內(nèi)第t天的移動平均值，Pt表示標(biāo)的資產(chǎn)在持倉期內(nèi)第t天的實(shí)際價(jià)格?？挤蚵赃m應(yīng)移動平均線的一個(gè)要點(diǎn)是如何確定系數(shù)c。為了計(jì)算系數(shù)c，在此需要引入三個(gè)概念：價(jià)格方向、波動性和效率系數(shù)。

價(jià)格方向Direction是指T個(gè)時(shí)間間隔中標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的凈變化。波動性Volatility即為市場噪聲的數(shù)量，是T個(gè)時(shí)間間隔中每個(gè)時(shí)間間隔的價(jià)格變化絕對值的總和。效率系數(shù)（ER）是價(jià)格方向與波動性的比值，計(jì)算如下：

ER=DirectionVolatility=PT-P1T-1t=1Pt+1-Pt（3）

效率系數(shù)的值在0～1之間，當(dāng)ER=1時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動趨勢明顯，系數(shù)接近短周期系數(shù)Fastest，F(xiàn)astest=2/（m1+1），m1表示短周期均線長度。當(dāng)ER=0時(shí)，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動波動性較大，波段明顯，系數(shù)接近長周期系數(shù)Slowest，Slowest=2/（m2+1），m2表示長周期均線的長度。

建立效率系數(shù)ER與系數(shù)c之間的聯(lián)系，將系數(shù)c定義為：

c=[ER×（Fastest-Slowest）+Slowest]2（4）

將式（4）代入式（2）即可得到考夫曼自適應(yīng)移動平均線，第t天的AMA自適應(yīng)均線計(jì)算值為：

2.2 基于AMA的均值—方差模型

基于以上分析，用考夫曼自適應(yīng)移動平均線替代資產(chǎn)實(shí)際價(jià)格計(jì)算趨勢下未來一段時(shí)間資產(chǎn)的期望收益率，可以降低均值—方差模型對歷史數(shù)據(jù)的依賴性。

用AMA替代資產(chǎn)實(shí)際價(jià)格，則資產(chǎn)i的期望收益率和資產(chǎn)i收益率的標(biāo)準(zhǔn)差分別可表示為：

由上述模型可以計(jì)算出每一持倉期資產(chǎn)組合的最優(yōu)權(quán)重w，再根據(jù)各期各資產(chǎn)的實(shí)際收益率和權(quán)重可計(jì)算出各期投資組合的收益，從而可以計(jì)算資產(chǎn)組合的累計(jì)收益率和年化收益率。

3 回測檢驗(yàn)

對基于AMA的均值—方差模型，設(shè)定考夫曼快速、慢速均線長度分別為5天、60天，設(shè)定風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)λ=3，運(yùn)用該模型對中證全指、中證全債、Wind商品指數(shù)進(jìn)行資產(chǎn)配置，回測期為2007年1月1日到2016年12月31日，3個(gè)月?lián)Q倉一次，回測結(jié)果如下：

基于AMA的均值—方差模型回測結(jié)果

從表1可以看出：過去十年，策略取得5.63倍絕對收益，年化收益率達(dá)21.46%。風(fēng)險(xiǎn)方面，策略年化波動率為13.24%，最大回撤19.79%?；贏MA的均值—方差模型Sharp比率為1.43，整體回測結(jié)果較為理想。

參考文獻(xiàn)：

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