劉麗麗 左繼紅 吳 軍 鄧秋連
基于RBF-ARX模型的三容水箱系統(tǒng)預(yù)測控制?
劉麗麗1,2左繼紅1,2吳 軍1鄧秋連1
(1.中南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 長沙 410083)(2.湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 株洲 412001)
由于三容水箱是一個(gè)具有多變量、非線性和耦合特征的系統(tǒng),難以建立精確的數(shù)學(xué)模型。為此,提出了基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制策略。RBF-ARX模型是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)RBF(Radial Basis Function)和線性自回歸ARX(Auto-Regres?sive eXogenous)模型兼容組合的模型,適用于非線性系統(tǒng)的建模。預(yù)測控制算法基于此模型預(yù)測對象輸出變化,并通過閉環(huán)控制,使誤差最小。該設(shè)計(jì)首先構(gòu)建三容水箱系統(tǒng)的RBF-ARX模型,并辨識(shí)、優(yōu)化模型參數(shù)。基于此模型設(shè)計(jì)了系統(tǒng)預(yù)測控制器,最后通過實(shí)時(shí)控制證實(shí)了該方法的可行性和有效性。
三容水箱;RBF-ARX模型;預(yù)測控制
AbstractThe three-tank water system which is multivariable,nonlinear and coupled with each other makes it difficult to es?tablish accurate mathematical model,for the problem,the design of predictive control algorithm based on RBF-ARX model are dis?cussed.This modeling method is a combination model based on the theory of neural network RBF(Radial Basis Function)and lin?ear autoregressive ARX(Auto-Regressive eXogenous)model,it is used to construct the model of nonlinear system.Predictive con?trol algorithm predicts system’s output,and makes the error minimum through closed-loop control.The structure of the three-tank water system’s RBF-ARX model is built firstly,then the model’s parameters are identified and optimized.Predictive control algo?rithm is taken to control the three-tank water system based on this model,the real-time control verify the feasibility and validity of the method.
Key Wordsthree-tank water,RBF-ARX model,predictive control
Class NumberTP273
三容水箱具有滯后性、非線性和耦合性,它可以模擬工業(yè)控制中多種類型的多變量非線性系統(tǒng),屬于過程控制中的控制對象。研究其建模及控制策略,對工程應(yīng)用有重要的參考價(jià)值[1]。目前對它的研究主要是構(gòu)建其精確數(shù)學(xué)模型,因其本身的不穩(wěn)定、多變量、非線性及機(jī)械部件的摩擦、噪聲等干擾因素的存在,通常構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)繁瑣,計(jì)算量較大,參數(shù)辨識(shí)比較困難,并且無法準(zhǔn)確描述其非線性特性。對其控制方法的研究主要是復(fù)雜控制算法如智能控制、預(yù)測控制和模糊控制等方面[2],上述算法除模糊控制算法不需要精確模型外,預(yù)測控制算法、智能控制算法都需要有精確數(shù)學(xué)模型才能使控制算法發(fā)揮得更有效。
本實(shí)驗(yàn)所用三容水箱系統(tǒng)包括水箱、數(shù)據(jù)采集卡、配電柜和計(jì)算機(jī)組成,結(jié)構(gòu)如圖1所示。
圖1 三容水箱控制本體
圖1 中,三容水箱由盛水容器、驅(qū)動(dòng)裝置和壓力傳感器幾部分組成,水泵、手動(dòng)調(diào)節(jié)閥和電磁閥構(gòu)成驅(qū)動(dòng)裝置。水箱通過泵1、泵2為1#、3#水柱供水,通過電磁閥1#、2#和手動(dòng)調(diào)節(jié)閥LV1、LV5來調(diào)節(jié)水流量。1#、3#水柱通過3#、4#電磁閥出水,2#水柱通過LV2出水。LV3、LV4閥連接3個(gè)水柱,通過調(diào)節(jié)連接閥及出水閥可以增加系統(tǒng)的耦合和干擾性。
RBF-ARX模型融合了線性自回歸ARX(Au?to-Regressive eXogenous)模型[3]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) RBF(Radial Basis Function)[4~5],多用于非線性系統(tǒng)的建模,首先構(gòu)建非線性系統(tǒng)的局部線性ARX模型,依存狀態(tài)變化的ARX模型系數(shù)采取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無限逼近,以此來描述系統(tǒng)的全局非線性。
針對兩輸入、兩輸出的三容水箱,兩輸入分別為1#電磁閥電壓u1和2#電磁閥電壓u2,兩輸出分別為1#水柱液面 y1和3#水柱液面 y2,構(gòu)建RBF-ARX模型如式(1),式(1)模型中先構(gòu)建系統(tǒng)基本線性ARX模型,采取高斯徑向基的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)來逼近其時(shí)變的模型系數(shù)[6]。
其中,?i0為模型系數(shù),模型階次用ny,nu表示,非線性環(huán)節(jié)數(shù)用h表示,ξ(t)代表白噪聲干擾,RBF網(wǎng)絡(luò)中心為 zj,m,cij,k(i=1,2,…,nj,j=y,u,v;k=0,1,2,…,m)為線性權(quán)系數(shù),w(t-1)為非線性因素組合,可以是輸入序列組合、輸出序列組合或是二者的組合。Y(t)=[y1(t) y2(t)]T∈?是1#、3#水柱液面的輸出矩陣,U(t)=[u1(t) u2(t)]T∈? 是1#、2#電磁閥電壓輸入矩陣,λikj(k=1,2,…,m;i=y,u;j=1,2)為比例因子,其計(jì)算公式如下
其中||.||2代表矢量的2-范數(shù)。
模型辨識(shí)時(shí),采集輸入輸出數(shù)據(jù)作為辨識(shí)數(shù)據(jù),先將模型參數(shù)分為線性和非線性參數(shù),再確定模型階次 ny,nu,這里采用AIC(Akaike Informa?tion Criterion)信息準(zhǔn)則法來確定,該法常用來估算相應(yīng)參數(shù)值,效果優(yōu)良,計(jì)算公式如下
其中,L?表示模型的擬合度,k代表模型中的參數(shù)數(shù)量。針對本文研究對象三容水箱,循環(huán)計(jì)算使AIC值最小時(shí)對應(yīng)的ny=4,nu=6。最后優(yōu)化離線計(jì)算出模型參數(shù)。
圖2所示為三容水箱RBF-ARX建模精度。
圖2中,e(1)t、e(2)t分別代表1#和3#實(shí)際輸出水位和期望輸出的誤差,采用應(yīng)殘差直方圖分析誤差分布。顯然,RBF-ARX模型下系統(tǒng)實(shí)際輸出與期望輸出間的誤差波動(dòng)范圍小,且成正態(tài)分布,表明建模精度比較高,建模效果良好。
圖2 三容水箱RBF-ARX建模精度
基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制策略采取RBF-ARX模型,采用閉環(huán)輸出反饋預(yù)測系統(tǒng)輸出,適用于非線性復(fù)雜系統(tǒng)的控制算法,其算法結(jié)構(gòu)如圖3所示。
圖3 基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制結(jié)構(gòu)圖
上圖中模型采取RBF-ARX模型,預(yù)測輸出根據(jù)RBF-ARX模型預(yù)測對象輸出,并與系統(tǒng)實(shí)際輸出比較計(jì)算出誤差,將模型預(yù)測輸出和誤差反饋給輸入端,并比較參考軌跡,優(yōu)化計(jì)算出最優(yōu)輸出,使系統(tǒng)的預(yù)測輸出量與參考軌跡的誤差最小。
綜上所述,根據(jù)控制算法結(jié)構(gòu)圖,將模型(1)轉(zhuǎn)換成式(4)所示形式[7~8]。
式中
ξ(t)是高斯白噪聲,需滿足式(5)的代數(shù)方程:
式中Ft-1是σ代數(shù),Ω是有限正值矩陣。
將模型(3)轉(zhuǎn)換成矩陣形式如式(6)所示。
式中
根據(jù)預(yù)測控制策略由模型(5)得到系統(tǒng) j步向前預(yù)測輸出為
其中
的解。其中
其中,Yr(t)是期望參考輸出矩陣,N1、Nu分別為預(yù)測和控制時(shí)域,且有u(t+j)=u(t+Nu-1)(j≥Nu),
由式(9)得
其中
定義優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)如下
式中R(R1或R2)通常定義為R=rINu,r為常數(shù)。
通過以上公式求解控制信號U(t)為
實(shí)時(shí)控制時(shí),選取N1=8,Nu=4,采樣周期定1s,參考期望水位分別在10cm、20cm、30cm之間上升或下降,分析基于RBF-ARX模型的預(yù)測輸出,并與PID控制算法輸出結(jié)果比較,根據(jù)實(shí)驗(yàn)情況,發(fā)現(xiàn)選取PID控制為以下時(shí)效果比較好。
1#液位:kp=0.0665,ki=0.00575;kd=0;
3#液位:kp=0.035,ki=0.0004;kd=0。
通過以上PID參數(shù)值對三容水箱進(jìn)行控制,并將控制結(jié)果與基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制結(jié)果進(jìn)行比較,如下圖。
由圖4和圖6所示,當(dāng)1#水柱液位輸出期望值由100mm上升到200 mm或由200 mm上升到300 mm時(shí),兩種控制方法的輸出水位都能以最快速度上升到期望水位,但是PID控制器調(diào)節(jié)時(shí)間相對較長,結(jié)果基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制算法控制液位穩(wěn)定在期望值早于PID控制器。兩種控制方法的控制誤差尚可,均在1mm內(nèi)。
圖4 1#水柱兩種控制方法效果比較(水位100mm~200mm上升)
圖5 3#水柱兩種控制方法效果比較(水位100mm~200mm上升)
圖6 1#水柱兩種控制方法效果比較(水位200mm~300mm上升)
圖7 3#水柱兩種控制方法效果比較(水位200mm~300mm上升)
由圖5和圖7所示,當(dāng)3#水柱液位輸出期望值由100mm上升到200 mm或由200 mm上升到300 mm時(shí),兩種控制方法的控制效果不如同樣條件下的1#水柱的控制效果理想,但是相對來說基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制方法具有較小的超調(diào)和控制誤差。
圖8 1#水柱兩種控制方法效果比較(水位200 mm下降到100mm)
圖9 3#水柱兩種控制方法效果比較(水位200 mm下降到100mm)
由圖8和圖9所示,當(dāng)1#、3#水柱液位輸出期望值由200mm下降為100mm時(shí),兩種控制方法控制輸出及時(shí)響應(yīng),使液位以最快速度下降到期望輸出。但3#PID控制器的響應(yīng)速度相對較慢,結(jié)果基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制算法下降速度更快。
綜上,1#水柱液位的兩種控制算法控制精度都在1mm之內(nèi),3#水柱液位的基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制算法控制精度較高。
針對三容水箱的非線性耦合特性,提出了基于RBF-ARX模型的預(yù)測控制策略。介紹了RBF-ARX模型的由來,構(gòu)建了三容水箱系統(tǒng)的RBF-ARX模型,對參數(shù)進(jìn)行離線辨識(shí)。并基于此模型設(shè)計(jì)了預(yù)測控制器,采取閉環(huán)控制,使誤差降低到最小。最后通過實(shí)時(shí)控制效果,并與PID控制算法進(jìn)行比較,證實(shí)該方法的有效性。
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Predictive Control for Three-Tank W ater System Based on RBF-ARX M ode
LIU Lili1,2ZUO Jihong1,2WU Jun1DENG Qiu lian1
(1.School of Information Science and Engineering,Central South University,Changsha 410083)(2.College of Hunan Railway Professional Technology,Zhuzhou 412001)
TP273
10.3969/j.issn.1672-9722.2017.09.018
2017年3月16日,
2017年4月21日
2015年度湖南省教育廳科學(xué)研究資助項(xiàng)目“四旋翼飛行器的建模及控制策略的研究”(編號:15C0903);2015年度國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“抗參數(shù)橫揺的欠驅(qū)動(dòng)船舶航跡跟蹤控制研究”(編號:61403045)資助。
劉麗麗,女,碩士,講師,研究方向:復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模及控制方法。左繼紅,男,碩士,講師,研究方向:復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模及控制方法。吳軍,男,博士,講師,研究方向:復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模及控制方法。鄧秋連,女,碩士,高級工程師,研究方向:復(fù)雜非線性系統(tǒng)建模及控制方法。