Levy噪聲驅(qū)動下指數(shù)型單穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振特性分析

張 剛 宋 瑩 張?zhí)祢U

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Levy噪聲驅(qū)動下指數(shù)型單穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振特性分析

張 剛 宋 瑩*張?zhí)祢U

(重慶郵電大學(xué)信號與信息處理重慶市重點實驗室 重慶 400065)

該文基于絕對值型和指數(shù)型勢函數(shù)，構(gòu)建了更一般的指數(shù)型單穩(wěn)勢函數(shù)，深入研究了Levy噪聲驅(qū)動的指數(shù)型單穩(wěn)系統(tǒng)，并總結(jié)出不同特征指數(shù)和不同對稱參數(shù)下，指數(shù)型系統(tǒng)參數(shù)和Levy噪聲強度系數(shù)對指數(shù)系統(tǒng)共振輸出的作用規(guī)律。研究表明：在不同Levy噪聲驅(qū)動下，通過調(diào)節(jié)參數(shù)和均可誘導(dǎo)隨機共振(SR)，且當(dāng)(或)的取值越大時，產(chǎn)生較好隨機共振效果(或)的區(qū)間越大，從而改善傳統(tǒng)SR系統(tǒng)由于參數(shù)選擇不當(dāng)造成隨機共振效果不佳的問題。此外，通過調(diào)節(jié)噪聲強度系數(shù)也能產(chǎn)生隨機共振，且較好隨機共振區(qū)間不隨或變化；最后將指數(shù)型單穩(wěn)系統(tǒng)應(yīng)用于軸承故障檢測，效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)雙穩(wěn)系統(tǒng)。

指數(shù)型單穩(wěn)系統(tǒng)；Levy噪聲；隨機共振；軸承故障檢測

1 引言

隨機振動是指現(xiàn)實世界中無法用確定性函數(shù)來描述，但又有一定統(tǒng)計規(guī)律的振動。1905年，愛因斯坦[1]在研究水中懸浮的微粒運動問題時發(fā)現(xiàn)了隨機振動，而后學(xué)者們開始廣泛而深入地研究隨機振動系統(tǒng)。Benzi等人[2]在研究地球的冰川期和暖周期交替出現(xiàn)問題時發(fā)現(xiàn)了隨機共振(Stochastic Resonance, SR)，在隨后的研究中許多經(jīng)典隨機共振系統(tǒng)模型相繼被提出，并得到廣泛應(yīng)用。近年來，隨機共振發(fā)展成為非線性學(xué)科中弱信號檢測[3,4]最重要的方法之一。

非線性系統(tǒng)中，在特定的噪聲強度下，噪聲不但不會對激勵信號造成負面影響，反而將噪聲的一部分能量轉(zhuǎn)移給信號，產(chǎn)生協(xié)同效應(yīng)，這種現(xiàn)象叫隨機共振。文獻[5]研究了簡諧勢阱系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)隨噪聲的某些特征參數(shù)呈現(xiàn)非單調(diào)變化的現(xiàn)象；文獻[6]在經(jīng)典雙穩(wěn)模型的基礎(chǔ)上提出了耦合雙穩(wěn)系統(tǒng)，并將該系統(tǒng)應(yīng)用于軸承故障檢測中。陸思良[7]提出基于Woods-Saxon勢阱的隨機共振系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)其在軸承檢測方面優(yōu)于傳統(tǒng)隨機共振，且對噪聲有較強的魯棒性；文獻[8]研究了白噪聲驅(qū)動的一階線性系統(tǒng)廣義調(diào)參SR現(xiàn)象；文獻[9]將簡諧勢阱推廣得到更一般的冪函數(shù)型單勢阱，且對冪函數(shù)型單穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象進行深入分析；文 獻[10]對三穩(wěn)系統(tǒng)模型進行規(guī)范和定義，分析三穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振特性。

在上述的勢阱模型中，傳統(tǒng)雙穩(wěn)和單穩(wěn)勢阱模型的研究已較為成熟。單勢阱勢函數(shù)簡練，同時也有很好的隨機共振性能，因此本文嘗試去拓寬隨機共振的研究范圍，構(gòu)建更一般的指數(shù)型單穩(wěn)勢函數(shù)。高斯噪聲是一種較理想的噪聲，無法有效模擬工程實踐的實際噪聲，因此引入了非高斯Levy噪聲，Levy噪聲的波形具有顯著的尖峰脈沖特性和拖尾特性，更接近實際工程環(huán)境中的隨機噪聲，且白噪聲是Levy噪聲在特征指數(shù)為2的特殊形式。故而，本文研究了不同和的Levy噪聲下，指數(shù)型參數(shù)以及噪聲強度對系統(tǒng)共振輸出的作用規(guī)律，并且將指數(shù)型單穩(wěn)系統(tǒng)應(yīng)用于CWRU軸承故障檢測。

2 指數(shù)型單穩(wěn)系統(tǒng)模型

在周期信號和Levy噪聲共同驅(qū)動下，忽略慣性項的過阻尼非線性系統(tǒng)模型為

2.1指數(shù)型單勢阱

目前常用的勢函數(shù)有很多種，除了傳統(tǒng)的單穩(wěn)和雙穩(wěn)，多項式模型(如FHN模型[4]，三穩(wěn)態(tài)模型)的研究也較多，這些勢函數(shù)的系統(tǒng)在適當(dāng)?shù)膮?shù)條件下會產(chǎn)生隨機共振，但產(chǎn)生隨機共振的參數(shù)區(qū)間不大，參數(shù)選擇有較大限制。此外，在傳統(tǒng)的指數(shù)型系統(tǒng)和絕對值型系統(tǒng)中，其勢函數(shù)形式相對復(fù)雜，對于是否能夠通過噪聲誘導(dǎo)和系統(tǒng)參數(shù)誘導(dǎo)實現(xiàn)隨機共振，研究較為繁瑣。針對以上不足，本文結(jié)合指數(shù)勢和絕對值勢的特點，提出了更具一般性的指數(shù)型單穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)，勢函數(shù)如式(2)所示，可見式(2)能通過泰勒公式展開成多項式組合，具有普遍性。

(4)

2.2 Levy噪聲的特征函數(shù)與產(chǎn)生方法

Levy噪聲保持了自然噪聲的產(chǎn)生機理和傳播機制，其非高斯分布的特點與工程實踐中觀測到的數(shù)據(jù)能很好地吻合。假設(shè)服從Levy分布，其特征函數(shù)表達式為

式中，為特征指數(shù)，Levy分布的脈沖特性隨的減小而增強，拖尾特性隨的減小而減弱。Levy噪聲在時服從柯西分布，時服從高斯分布；為對稱參數(shù)，時噪聲呈現(xiàn)對稱分布，時分布偏左，時分布偏右；為尺度系數(shù)，表示分布樣本點偏離均值的離散程度；為位置參數(shù)，表示分布的中心位置。

圖2 指數(shù)型單穩(wěn)系統(tǒng)勢阱力

(7)

(9)

2.3數(shù)值仿真算法

2.4系統(tǒng)性能指標(biāo)

在眾多衡量SR系統(tǒng)性能的指標(biāo)中輸出信噪比的應(yīng)用最為廣泛，本文采用更能反映SR系統(tǒng)對輸入信噪比改善作用的信噪比增益[14]作為衡量指標(biāo)，且有如式(11)定義：

(12)

3 Levy噪聲驅(qū)動下的指數(shù)型單穩(wěn)系統(tǒng)中隨機共振現(xiàn)象

常用的自適應(yīng)算法有多種，粒子群算法，蟻群算法，人工魚群算法，遺傳算法等智能算法和遍歷法等。智能算法適用于多參數(shù)尋優(yōu)，能夠快速找到最佳值，其時間復(fù)雜度在數(shù)據(jù)量很大時優(yōu)于遍歷法，但在實際應(yīng)用中還存在諸如容易產(chǎn)生早熟收斂、收斂速度慢、全局尋優(yōu)能力差等問題；遍歷法選取盡量多的參數(shù)對進行仿真，雖然其時間復(fù)雜度高于智能算法，但它更傾向于深入觀察性能指標(biāo)的在各個參數(shù)對下的變化規(guī)律，可以驗證智能算法是否正確。為探索指數(shù)型單穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)和對SR系統(tǒng)性能的內(nèi)在規(guī)律，本文利用平均信噪比增益為衡量指標(biāo)的遍歷法進行尋優(yōu)，具體步驟如下：

(2)將含噪的輸入信號送入指數(shù)型單穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)，初始化最佳信噪比增益,,；

下面將深入研究不同Levy噪聲環(huán)境下，即Levy噪聲的特征指數(shù)，對稱參數(shù)取值不同時，系統(tǒng)參數(shù),及噪聲強度系數(shù)對指數(shù)型單穩(wěn)SR系統(tǒng)輸出效應(yīng)的作用規(guī)律。

圖3自適應(yīng)隨機共振仿真結(jié)果圖

圖5 不同取值時隨演變曲線

圖6 不同取值時隨演變曲線

由圖4(a)可知，Levy噪聲環(huán)境下的指數(shù)型單穩(wěn)SR系統(tǒng)的隨參數(shù)呈先增后減的變化趨勢，且在時達到最大值，此時隨機共振效果最佳；在時，非線性系統(tǒng)、噪聲及輸入信號三者達到了最佳匹配關(guān)系，即最佳隨機共振；當(dāng)時，隨著進一步增大，系統(tǒng)響應(yīng)時間過長，使得非線性系統(tǒng)、噪聲及輸入信號三者間的最佳匹配關(guān)系逐漸消失，從而導(dǎo)致逐漸下降；由圖4(b)和圖4(c)可知：當(dāng)特征指數(shù)時，越小，越??；當(dāng)時，越大，越??；結(jié)合圖4(a)，圖4(b)，圖4(c)可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)隨機共振效應(yīng)較好的區(qū)間不隨的變化而變化，且在時，系統(tǒng)的最大。

綜上可知，Levy噪聲驅(qū)動的指數(shù)型單穩(wěn)SR系統(tǒng)中，在Levy噪聲分布不對稱(即)時，對于一個確定的參數(shù)(或)，系統(tǒng)的隨機共振區(qū)間會發(fā)生向右(或向左)的偏移。

圖7 不同取值時隨的演變曲線

圖8 不同取值時隨的演變曲線

4 CWRU實驗驗證

為驗證所提的指數(shù)型單穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)在軸承檢測故障中的有效性，本文分別對內(nèi)圈和外圈的深溝球軸承數(shù)據(jù)進行了分析實驗，也采用雙穩(wěn)系統(tǒng)分析數(shù)據(jù)。軸承故障數(shù)據(jù)來自Case Western Reserve University(CWRU)[15]的電氣工程實驗室，深溝球軸承型號為6205-2RS JEM SKF。轉(zhuǎn)速，采樣頻率，軸承的尺寸參數(shù)見表1。在物理學(xué)中，當(dāng)軸承出現(xiàn)缺陷時，會產(chǎn)生振動信號的周期性脈沖，因此可以通過對脈沖周期來判斷故障類型。

表1 6205-2RS JEM SKF軸承參數(shù)(mm)

圖9 不同取值時隨演變曲線

圖10 雙穩(wěn)態(tài)參數(shù)對的影響

圖11 指數(shù)勢參數(shù)對的影響

根據(jù)表1中的尺寸參數(shù)和轉(zhuǎn)速可以計算出軸承內(nèi)圈和外圈的故障特征頻率，由式(13)[16]可得該軸承外圈的故障頻率，內(nèi)圈的故障頻率為,為軸承的轉(zhuǎn)頻，。

4.1外圈故障實例

圖12(a)為軸承外圈故障信號的時域波形()與頻譜()，缺陷信息不能被識別，且的高頻段存在很多尖峰干擾。將大頻率外圈包絡(luò)信號通過二次采樣，二次采樣頻率，然后經(jīng)過上述,的傳統(tǒng)雙穩(wěn)SR系統(tǒng)后的輸出信號及頻譜如圖12(b)所示。由圖可知，頻譜在(在可接受的誤差范圍內(nèi))處出現(xiàn)了尖峰，但在其周圍還存在一些干擾頻率；將包絡(luò)信號送入,指數(shù)型單穩(wěn)SR系統(tǒng)后的輸出信號及頻譜如圖12(c)所示，可見相比傳統(tǒng)的雙穩(wěn)SR系統(tǒng)，特征頻率周圍的干擾頻率消除了很多，且高頻段的尖峰也幾乎消失，證明是外圈存在故障，驗證了所提方法在弱信號檢測中的有效性，且優(yōu)于傳統(tǒng)的雙穩(wěn)SR系統(tǒng)。

4.2內(nèi)圈故障實例

圖13(a)為軸承內(nèi)圈故障信號的時域波形與頻譜，從其時域和頻譜看，幾乎不能識別特征頻率。同樣將大頻率內(nèi)圈包絡(luò)信號經(jīng)過二次采樣后輸入,的傳統(tǒng)雙穩(wěn)SR系統(tǒng)，輸出信號及頻譜如圖13(b)所示，由圖可知，頻譜在(在可接受的誤差范圍內(nèi))處出現(xiàn)了尖峰；將內(nèi)圈包絡(luò)送入,指數(shù)型單穩(wěn)SR系統(tǒng)后的輸出信號及頻譜如圖13(c)所示，可見特征頻率處的峰值相比傳統(tǒng)SR系統(tǒng)增強了很多，很容易確定是內(nèi)圈存在故障，再一次證明了指數(shù)型單穩(wěn)SR系統(tǒng)在故障檢測領(lǐng)域的有效性與可靠性。

5 結(jié)束語

本文提出了具有一般性的指數(shù)型單穩(wěn)隨機共振系統(tǒng)，研究了在Levy噪聲驅(qū)動下該系統(tǒng)的SR現(xiàn)象。在Levy噪聲分布參數(shù),取值不同時，分別探究了指數(shù)型單勢阱參數(shù)和，以及噪聲強度系數(shù)對的作用規(guī)律，得到以下結(jié)論：(1) 在不同的Levy噪聲下，通過指數(shù)型參數(shù)誘導(dǎo)或噪聲誘導(dǎo)均可實現(xiàn)隨機共振；(2)對于指數(shù)型單勢阱參數(shù)(或)誘導(dǎo)隨機共振的區(qū)間不隨變化，隨會發(fā)生向右(或向左)的偏移，對于噪聲誘導(dǎo)隨機共振的區(qū)間不隨或變化；(3)不同時，時系統(tǒng)的共振效應(yīng)最好；(4)不同時，當(dāng)Levy噪聲分布對稱()時，系統(tǒng)的共振效應(yīng)最好；(5)當(dāng)噪聲分布服從柯西分布()時，存在多組最優(yōu)參數(shù)對使系統(tǒng)達到最佳隨機共振，且(或)越大，對應(yīng)的最佳(或)越大，產(chǎn)生較好隨機共振的(或)的區(qū)間越大，改善了傳統(tǒng)SR系統(tǒng)由于參數(shù)選擇不當(dāng)造成隨機共振效果不佳的問題。這些結(jié)論為指數(shù)型單穩(wěn)系統(tǒng)的參數(shù)選擇提供了可靠的理論基礎(chǔ)，有助于隨機共振應(yīng)用在工程實踐中。

圖12外圈故障檢測實例

圖13內(nèi)圈故障檢測實例

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Characteristic Analysis of Exponential Type Monostable Stochastic Resonance under Levy Noise

ZHANG Gang SONG Ying ZHANG Tianqi

(,,400065,)

Based on the absolute and exponential monostable potential, a generalized exponential type single-well potential function is constructed. The laws for the resonant output of monostable system governed byandof Levy noise are explored under different characteristic indexand symmetry parameterof Levy noise. The results show that the stochastic resonance phenomenon can be induced by adjusting the exponential type parametersandunder anyorof Levy noise.The larger(or) is, the wider parameter interval of(or) can induce SR (Stochastic Resonance). The ESR (Exponential SR) system can solve the problem that the traditional system can not achieve SR due to the improper selection of parameters.The interval ofof Levy noise, which induces good stochastic resonance, does not change withor. At last, the proposed exponential type monostable is applicated to detect bearing fault signals, which achieves better performance compared with the traditional bisabled system.

Exponentialtype monostable system; Levy noise; Stochastic Resonance (SR); Bearing fault detection

TN911.23

A

1009-5896(2017)04-0893-08

10.11999/JEIT160579

2016-06-03；

改回日期：2016-11-25；

2017-01-22

宋瑩 740660604@qq.com

國家自然科學(xué)基金(61371164)，重慶市杰出青年基金(CSTC2011jjjq40002)，重慶市教育委員會科研項目(KJ130524)

The National Natural Science Foundation of China (61371164), The Chongqing Distinguished Youth Foundation (CSTC2011jjjq40002), The Research Project of Chongqing Educational Commission (KJ130524)

張 剛： 男，1976年生，副教授，研究方向為混沌同步、混沌保密通信、微弱信號檢測.

宋 瑩： 女，1993年生，碩士生，研究方向為微弱信號檢測.

張?zhí)祢U： 男，1971年生，教授，研究方向為語音信號處理、盲處理、神經(jīng)網(wǎng)路實現(xiàn)等.