基于廣義位勢理論的非共軸本構(gòu)模型驗(yàn)證

溫勇，楊光華，湯連生，鐘志輝，姚捷，張玉成

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基于廣義位勢理論的非共軸本構(gòu)模型驗(yàn)證

溫勇1, 2，楊光華2, 3, 4，湯連生1，鐘志輝5，姚捷6，張玉成2, 3

(1. 中山大學(xué)地球科學(xué)與工程學(xué)院，廣東廣州，510275；2. 廣東省水利水電科學(xué)研究院，廣東廣州，510610；3. 廣東省巖土工程技術(shù)研究中心，廣東廣州，510610；4. 武漢大學(xué)土木建筑工程學(xué)院，湖北武漢，430072；5. 上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海，200072；6. 中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北武漢，430063)

基于廣義位勢理論提出的考慮擬彈性塑性變形的彈塑性模型，把塑性應(yīng)變增量分解為滿足彈性分解準(zhǔn)則的擬彈性部分和符合傳統(tǒng)塑性理論假設(shè)的純塑性部分，這樣得到的塑性應(yīng)變增量方向不僅與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且與應(yīng)力增量相關(guān)，為解決土的非共軸性問題提供一種有效的方法。通過單剪試驗(yàn)結(jié)果及含主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)的土體平面問題數(shù)值模擬對模型的合理性進(jìn)行檢驗(yàn)。研究結(jié)果表明：本文模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，且能夠描述單剪試驗(yàn)過程中的非共軸現(xiàn)象；此外，與共軸模型數(shù)值模擬結(jié)果相比，本文模型能夠考慮主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的土體塑性變形，計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際。

非共軸；本構(gòu)模型；廣義位勢理論；主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)；數(shù)值模擬

當(dāng)土體主應(yīng)力方向發(fā)生旋轉(zhuǎn)時，塑性主應(yīng)變增量方向與主應(yīng)力方向之間存在著非共軸現(xiàn)象，這已被很多室內(nèi)試驗(yàn)所證實(shí)[1?6]，例如單剪試驗(yàn)、空心扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)等。同時，在實(shí)際巖土工程問題中(例如偏荷載、交通及波浪荷載作用等)，由于主應(yīng)力軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)所引起的非共軸現(xiàn)象也是普遍存在[5, 7?8]。然而，由于傳統(tǒng)的本構(gòu)模型大多建立在雙軸和三軸試驗(yàn)的基礎(chǔ)上，這些試驗(yàn)受加載系統(tǒng)的限制，在加載過程中荷載的增量始終限制在應(yīng)變的主方向，使得本構(gòu)模型的屈服面和塑性勢面的數(shù)學(xué)表達(dá)式往往定義為當(dāng)前的主應(yīng)力或應(yīng)力不變量的函數(shù)，再結(jié)合傳統(tǒng)塑性理論的正交流動法則假設(shè)，導(dǎo)致得到的塑性應(yīng)變增量的主方向和主應(yīng)力的方向始終保持一致(即共軸)。因此，基于傳統(tǒng)塑性理論的本構(gòu)模型無法客觀地描述土體的非共軸現(xiàn)象。針對這個問題，國內(nèi)外學(xué)者提出了基于多面概念、邊界面概念、亞塑性概念以及中間面概念等非共軸模型來預(yù)測主應(yīng)力和塑性主應(yīng)變增量的變化趨勢。但這些模型的建立沒有基于人們熟悉的彈塑性理論，因而在實(shí)際應(yīng)用中(如有限元計(jì)算)受到一定的限制[9?10]。廣義位勢理論[11]直接從數(shù)學(xué)原理出發(fā)建立土的本構(gòu)模型，其特點(diǎn)是數(shù)學(xué)原理明確，何處引入何種假設(shè)清晰，且新理論可表達(dá)更為一般的土的本構(gòu)關(guān)系，包含傳統(tǒng)塑性本構(gòu)理論作為其特例，從而為研究土的本構(gòu)模型提供了更為廣闊的理論基礎(chǔ)。本文作者基于廣義位勢理論模型對土的非共軸特性進(jìn)行分析，提出基于廣義位勢理論的非共軸本構(gòu)模型，并通過土體單剪試驗(yàn)結(jié)果及含主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)的土體平面問題數(shù)值模擬對模型的合理性進(jìn)行檢驗(yàn)。

1 傳統(tǒng)塑性位勢理論的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)及其共軸假定

Mises在1928年類比彈性應(yīng)變增量可用彈性勢函數(shù)對應(yīng)力求偏導(dǎo)的表達(dá)式，提出了塑性勢的概念，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式(1)即為傳統(tǒng)的塑性位勢理論，其實(shí)質(zhì)是規(guī)定了塑性應(yīng)變增量各分量之間的比例關(guān)系。為了更清楚地了解傳統(tǒng)塑性位勢理論的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，從一般情況進(jìn)行探討[11]。設(shè)主空間上得到的塑性應(yīng)變增量與應(yīng)力增量的本構(gòu)關(guān)系為：

(2)

(4)

將式(3)代入式(4)，有

式(5)與式(1)相同，皆為傳統(tǒng)的塑性位勢理論公式。由以上分析可知：傳統(tǒng)塑性位勢理論的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是假定了主空間上的本構(gòu)關(guān)系矢量為一有勢場矢量，且和的3個主方向一致。因此，傳統(tǒng)的塑性位勢理論隱含了塑性主應(yīng)變增量方向和主應(yīng)力方向共軸的假定。

2 基于廣義位勢理論的非共軸本構(gòu)模型

2.1 廣義位勢理論及其簡化彈塑性模型

楊光華等[11]從數(shù)學(xué)角度出發(fā)建立了更一般的巖土材料本構(gòu)理論——廣義位勢理論，它把本構(gòu)模型的研究分為2個主要部分：1) 用線性無關(guān)的勢函數(shù)梯度矢量來表述主空間的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系；2) 通過導(dǎo)數(shù)表示的坐標(biāo)變換方法，把主空間上的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系轉(zhuǎn)換為六維空間的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，形成以勢函數(shù)表述的本構(gòu)關(guān)系。傳統(tǒng)的位勢理論都可歸結(jié)為由主空間上的本構(gòu)關(guān)系通過數(shù)學(xué)坐標(biāo)變換而得到，不同的只是坐標(biāo)轉(zhuǎn)換過程中采用的數(shù)學(xué)假設(shè)。

根據(jù)廣義位勢理論可建立簡化的彈塑性模型。以應(yīng)力空間為例，忽略Lode角等影響，塑性應(yīng)變增量與應(yīng)力增量的關(guān)系一般可表示為

式中：，，和為塑性系數(shù)；和分別為平均主應(yīng)力和廣義剪應(yīng)力；和分別為塑性體應(yīng)變和塑性剪應(yīng)變。

類似傳統(tǒng)彈塑性理論，把總的應(yīng)變增量分解為彈性部分和塑性部分。其中，彈性部分應(yīng)變根據(jù)彈性理論求得，即

塑性部分應(yīng)變則根據(jù)廣義位勢理論可得

因此，由式(7)~(9)可得到用于有限元等數(shù)值分析的一般應(yīng)力空間本構(gòu)方程，即

(10)

由此可見：基于廣義位勢理論的簡化彈塑性模型只需確定4個系數(shù)，即可獲得計(jì)算所需的彈塑性柔度矩陣；廣義位勢理論模型對，，和關(guān)系不進(jìn)行規(guī)定，且，，和可通過常規(guī)三軸試驗(yàn)、等向壓縮試驗(yàn)及等試驗(yàn)確定[11]。

進(jìn)一步分析可知[11]，傳統(tǒng)塑性位勢理論實(shí)質(zhì)上規(guī)定了，，和這4個系數(shù)滿足一定的數(shù)學(xué)條件，即

且當(dāng)傳統(tǒng)塑性位勢理論模型為非關(guān)聯(lián)模型時，有

(12)

當(dāng)傳統(tǒng)塑性位勢理論模型為關(guān)聯(lián)模型時，有

此時，，，和可以通過鄧肯?張模型中的切線模量t、切線泊松比t來表示[11]，也可以由劍橋模型中的各向等壓固結(jié)參數(shù)、回彈參數(shù)及破壞常數(shù)來表示[12?13]。

因此，傳統(tǒng)塑性位勢理論模型可以看作為廣義位勢理論模型在一定假設(shè)條件下的特例。

2.2 基于廣義位勢理論模型的土的非共軸性分析

傳統(tǒng)的塑性位勢理論隱含了塑性主應(yīng)變增量方向和主應(yīng)力方向共軸的假定。塑性主應(yīng)變增量和主應(yīng)力的共軸性與傳統(tǒng)的試驗(yàn)觀察是一致的，因?yàn)樵陔p軸、三軸或真三軸試驗(yàn)的加載過程中應(yīng)力的主方向始終保持不變，而應(yīng)變的增量也限制在應(yīng)力的主方向。然而，含主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)的試驗(yàn)研究表明[2, 7, 14]：土的塑性應(yīng)變增量流動方向不僅僅取決于當(dāng)前的應(yīng)力狀態(tài)，而且取決于當(dāng)前的應(yīng)力增量，即塑性應(yīng)變增量主方向與主應(yīng)力方向并不始終保持一致；且即使在應(yīng)力不變量保持不變的條件下，單純的主應(yīng)力方向旋轉(zhuǎn)也會引起塑性變形。

針對土的塑性應(yīng)變增量方向存在非唯一性問題，楊光華等[15?16]基于廣義位勢理論提出了考慮擬彈性變形的土體彈塑性模型，其主要思想是把傳統(tǒng)不可恢復(fù)的塑性應(yīng)變增量分解為具有彈性應(yīng)變特性的擬彈性部分和純塑性部分，如圖1所示。其中：擬彈性部分遵循彈性法則，并與應(yīng)力增量有相同的方向，采用彈性模型表示；純塑性部分遵循傳統(tǒng)塑性理論的假設(shè)，方向具有唯一性，可以采用符合塑性理論的假設(shè)來建模。

圖1 塑性應(yīng)變增量分解

根據(jù)以上建模思想，若進(jìn)一步從?平面來分析，式(6)可寫成為

式中：pe和pe為擬彈性參數(shù)；pp，，和pp為純塑性系數(shù)。

擬彈性塑性應(yīng)變部分遵從彈性法則，假設(shè)符合廣義虎克定律，則有

純塑性應(yīng)變部分遵從傳統(tǒng)塑性理論，即

(16)

式中：塑性系數(shù)pp，，和pp滿足傳統(tǒng)塑性理論假設(shè)的數(shù)學(xué)條件，即式(11)。

為了方便計(jì)算，文獻(xiàn)[15]建議：把純塑性部分直接假設(shè)符合關(guān)聯(lián)模型，并將關(guān)聯(lián)模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間的差值部分歸為擬彈性塑性部分，以此確定參數(shù)pe和pe，而此時純塑性系數(shù)pp，，和pp可通過鄧肯?張模型參數(shù)或劍橋模型參數(shù)來確 定[11?12]。經(jīng)這樣處理后的模型不但計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果更符合，而且保持了關(guān)聯(lián)模型彈塑性矩陣對稱的優(yōu)點(diǎn)，利于數(shù)值計(jì)算。此外，由此得到的塑性應(yīng)變增量方向不僅與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且與應(yīng)力增量相關(guān)，這為解決土的非共軸性問題提供了一種有效的方法。下面以土體單剪試驗(yàn)及含主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)的土體平面問題數(shù)值模擬對模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

3 模型的試驗(yàn)及數(shù)值驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)驗(yàn)證

單剪試驗(yàn)和空心圓柱扭剪試驗(yàn)是典型的主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)試驗(yàn)，但由于空心圓柱扭剪試驗(yàn)中的荷載及位移邊界條件比較復(fù)雜，而單剪試驗(yàn)可以看成平面問題，其荷載及位移邊界條件相對簡單。因此，本文選取單剪試驗(yàn)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇浴?/p>

在單剪試驗(yàn)加載過程中，主應(yīng)力和塑性主應(yīng)變增量方向都會發(fā)生偏轉(zhuǎn)，如圖2所示[17]，兩者的偏轉(zhuǎn)角計(jì)算公式由彈性力學(xué)可知，即

根據(jù)前面基于廣義位勢理論模型的土的非共軸性分析，將塑性應(yīng)變增量分解為具有彈性應(yīng)變特性的擬彈性部分和純塑性部分，且和分別采用彈性模型和符合傳統(tǒng)塑性位勢理論假設(shè)的模型來計(jì)算。對于平面問題，純塑性部分的計(jì)算可寫成為

式中：pe和pe分別為擬彈性彈性模量和泊松比，通過將關(guān)聯(lián)模型計(jì)算結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果之間的差值部分歸為擬彈性塑性部分，根據(jù)式(15)確定。

采用文獻(xiàn)[14]給出的單剪試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。試樣分別由直徑1.6 mm和3.0 mm、長50 mm的鋁棒混合堆積而成，通過一個二維應(yīng)力裝置進(jìn)行單剪試驗(yàn)，并測定相應(yīng)的應(yīng)力，和以及應(yīng)變，和。該試驗(yàn)材料的初始孔隙比為0.23，起始應(yīng)力為，，，試驗(yàn)過程中保持不變，剪應(yīng)力步長。為了進(jìn)行對比分析，選取類劍橋模型[12]作為共軸模型，模型參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)[14]

根據(jù)前面介紹的方法及式(18)和式(19)，計(jì)算出擬彈性部分和純塑性部分，兩者相加得到總的塑性應(yīng)變增量，將其代入式(17)即可得到塑性主應(yīng)變增量方向角的變化情況。與共軸模型計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果如圖3所示。

1—主應(yīng)力方向角(共軸模型)；2—塑性主應(yīng)變增量方向角(共軸模型)；3—主應(yīng)力方向角(試驗(yàn))；4—塑性主應(yīng)變增量方向角(試驗(yàn))；5—主應(yīng)力方向角(本文模型)；6—塑性主應(yīng)變增量方向角(本文模型)。

由圖3可知：共軸模型計(jì)算得到的塑性主應(yīng)變增量方向角和主應(yīng)力方向角始終保持相等，即共軸；而本文模型計(jì)算得到的塑性主應(yīng)變增量方向角和主應(yīng)力方向角在開始時偏差較大，但隨著剪應(yīng)變增加，兩者之間的偏差逐漸減小，最終趨于相等，這與試驗(yàn)結(jié)果較吻合，說明本文模型能夠較好地描述土體單剪試驗(yàn)過程中的非共軸現(xiàn)象。

3.2 含主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)的土體平面問題數(shù)值模擬

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)本文模型的合理性，基于FLAC3D對本文模型進(jìn)行二次開發(fā)，并將其應(yīng)用于分析一類含主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)的土體平面問題，即偏荷載作用問題，數(shù)值計(jì)算模型及邊界條件如圖4所示。該模型長10 m，高5 m，土體采用文獻(xiàn)[18]中的砂土材料。為了便于說明，考慮以下2種荷載工況：1) 頂部施加均布荷載0=500 kPa；2) 頂部左起0~3 m段再施加偏荷載1=1 500 kPa，以使土體產(chǎn)生主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)。

圖4 含主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)的土體平面問題計(jì)算模型

同樣，為了與本文模型進(jìn)行對比，選取(考慮剪脹性的)類劍橋模型[13]作為共軸模型，模型參數(shù)[18]如表2所示。本文模型則根據(jù)前面介紹的方法求得。利用這2個模型分別計(jì)算不同荷載工況下土體的主應(yīng)力方向和豎向位移。

表2 模型參數(shù)[18]

圖5和圖6所示分別為均布荷載作用下共軸模型與本文模型的計(jì)算結(jié)果。由圖5和圖6可知：在均布荷載作用下，2個模型計(jì)算得到的主應(yīng)力方向都未發(fā)生旋轉(zhuǎn)，最大豎向位移分別為13.9 mm和13.5 mm，基本一致。因此，在均布荷載作用下，2個模型計(jì)算得到的土體主應(yīng)力方向和豎向位移都基本一致，這主要是均布荷載作用下土體為均勻沉降，此時土體不存在主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)，故共軸模型與非共軸模型的計(jì)算結(jié)果基本一致。

(a) 共軸模型；(b) 本文模型

(a) 共軸模型；(b) 本文模型

圖7和圖8所示分別為偏荷載作用下共軸模型與本文模型的計(jì)算結(jié)果。由圖7和圖8可知：在偏荷載作用下，2個模型計(jì)算得到的主應(yīng)力方向均發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，最大豎向位移分別為42.5 mm和47.1 mm，本文模型計(jì)算結(jié)果比共軸模型的計(jì)算結(jié)果大一些。這主要是偏荷載作用下土體主應(yīng)力軸發(fā)生了旋轉(zhuǎn)，而主應(yīng)力軸旋轉(zhuǎn)會產(chǎn)生塑性變形[2, 7, 14]，共軸模型由于隱含了共軸假定，不能反映主應(yīng)力軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的塑性變形，而本文模型能夠反映土體的非共軸，因此，導(dǎo)致其計(jì)算結(jié)果比共軸模型的計(jì)算結(jié)果大一些，這更符合實(shí)際，也與文獻(xiàn)[19]得到的結(jié)論定性一致，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了本文模型的合理性。

(a) 共軸模型；(b) 本文模型

(a) 共軸模型；(b) 本文模型

4 結(jié)論

1) 土體的非共軸現(xiàn)象是存在的，而傳統(tǒng)的塑性位勢理論隱含了塑性主應(yīng)變增量方向和主應(yīng)力方向共軸的假定，因而無法客觀地描述土體的非共軸現(xiàn)象。

2) 基于廣義位勢理論提出的考慮擬彈性變形的彈塑性模型，把總的塑性應(yīng)變分解為滿足彈性分解準(zhǔn)則的擬彈性部分和符合傳統(tǒng)塑性理論假設(shè)的純塑性部分，這樣得到的塑性應(yīng)變增量方向不僅與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且與應(yīng)力增量相關(guān)，從而為解決土的非共軸性問題提供了一種可能有效的方法。本文模型計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，且能夠較好地描述土體單剪試驗(yàn)過程中的非共軸現(xiàn)象。

3) 與共軸模型相比，本文模型能夠較好地反映主應(yīng)力軸發(fā)生旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的塑性變形，計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際，從而進(jìn)一步驗(yàn)證了其合理性。

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(編輯 楊幼平)

Verification of non-coaxial constitutive model based on generalized potential theory

WEN Yong1, 2, YANG Guanghua2, 3, 4, TANG Liansheng1, ZHONG Zhihui5, YAO Jie6, ZHANG Yucheng2, 3

(1. School of Earth Science and Engineering, Sun Yat-Sen University, Guangzhou 510275, China;2. Guangdong Research Institute of Water Resources and Hydropower, Guangzhou 510610, China;3. Geotechnical Engineering Technology Center of Guangdong Province, Guangzhou 510610, China;4. School of Civil and Architectural Engineering, Wuhan University, Wuhan 430072, China;5. Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics, Shanghai University, Shanghai 200072, China;6. China Railway Siyuan Survey and Design Group Co. Ltd., Wuhan 430063, China)

An elastic-plastic model considering quasi-elastic-plastic deformation was proposed based on the generalized potential theory, in which the plastic strain increment was decomposed into quasi-elastic part and pure-plastic part, and the quasi-elastic part obeyed elastic rule and the pure-plastic part obeyed the traditional plasticity theory. The direction of plastic strain increment obtained by this proposed model not only depends on total stress but also the stress increment, which gives an effective method to solve the problem of the non-coaxiality of soil. The results of a simple shear test and numerical simulation of a plane problem of soil involving the rotation of principal stress axes were used to verify the rationality of the proposed model. The results show that the calculation results of the proposed model agree well with the test ones and the non-coaxial phenomenon during the simple shear test can be described reasonably. What is more, the plastic deformation of soil caused by the rotation of principal stress axes can be considered by the proposed model, which makes the calculation results of the proposed model conform to reality better than the coaxial model.

non-coaxiality; constitutive model; generalized potential theory; rotation of principal stress axes; numerical simulation

10.11817/j.issn.1672-7207.2017.07.019

TU443

A

1672?7207(2017)07?1817?07

2016?08?07；

2016?10?14

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378131, 41572277)；廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015A030313118)；廣東省水利科技創(chuàng)新項(xiàng)目(2009-25)；廣東省巖土工程技術(shù)研究中心開放基金資助項(xiàng)目(201404002) (Projects(51378131, 41572277) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2015A030313118) supported by the Natural Science Foundation of Guangdong Province；Project(2009-25) supported by the Technological Innovation of Guangdong Water Conservancy; Project(201404002) supported by the Geotechnical Engineering Technology Center of Guangdong Province)

湯連生，教授，博士生導(dǎo)師，從事巖土力學(xué)、地質(zhì)工程研究；E-mail: eestls@mail. sysu.edu.cn