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    一類微分多項式的零點的不等式估計

    2017-10-13 06:18:33戴瑞芳徐俊峰
    關(guān)鍵詞:亞純徐俊瑞芳

    戴瑞芳,徐俊峰

    ?

    一類微分多項式的零點的不等式估計

    戴瑞芳,徐俊峰

    (五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院,廣東 江門 529020)

    本文利用精簡計數(shù)函數(shù)給出了微分多項式的定量估計不等式,設(shè)為超越亞純函數(shù),為正整數(shù),其中為的小函數(shù)滿足.

    亞純函數(shù);微分多項式;小函數(shù);值分布

    1 引言與定理

    1995年,Bergweiler和Eremenko[2]證明了當(dāng)時定理成立.

    1993年,Chung等[3]猜測為超越亞純函數(shù),為正整數(shù),取到任意非零有限值無限多次.

    1998年,Zhang等[4]證明了以下結(jié)果:

    Alotaibi[6]將上述定量的計數(shù)函數(shù)改為更精確的精簡計數(shù)函數(shù),得到下述定量結(jié)果:

    ,

    其中,

    .

    , (2)

    . (4)

    .

    注2:最近Jiang[8]利用定理4的方法證明了如下結(jié)果:設(shè)為超越亞純函數(shù),均為的整數(shù),為非零常數(shù),我們可得:

    2 引理

    本文定理6的證明需要用到以下引理

    .

    由式(1),(3)和(4)得

    因此

    所以

    據(jù)此完成引理1的證明.

    3 定理6的證明

    .

    , (6)

    其中

    設(shè)

    . (8)

    對式(6)使用萊布尼茲法則得

    , (9)

    由式(7)得

    . (12)

    我們分兩種情形討論:

    ,.

    ,.

    ,

    ,

    因此

    由式(10)得

    由式(5)得

    (14)

    由式(1),(3)和(4)得

    (15)

    由式(14)和(15)得

    由式(10)和(13)得

    , (17)

    由式(16),(17)和(18)得

    所以

    由引理1得

    我們完成定理6的證明.

    4 例子

    [1] HAYMAN W. Picard values of meromorphic function and their derivati-ves [J]. Ann of Math, 1959, 70(2): 9-42.

    [2] BERGWEILERAND W, EREMENKO A. On the singularities of the inverse to a meromorphic function of finite order [J]. Rev Mat Iberoamericana, 1995, 11: 355-373.

    [3] YANG Chungchun, YANG Le, WANG Yuefei. On the zeros of[J]. Chinese Science Bulletin, 1993, 39(8): 2215-2218.

    [4] ZHANG Zhongfa, SONG Cuodong. On the zeros of[J]. Chinese Ann Math Ser A, 1998, 19(2): 275-282.

    [5] LI Ping, YANG Chungchun. On the value distribution of a certain type of differrential polynomials [J]. Mh Math, 1998, 125: 15-24.

    [6] ALOTAIBI A. On the zeros offor[J]. Computational Methods and Function Theory, 2004, 4(1): 227-235.

    [7] DOERINGER W. Exceptional values of differential polynomials[J]. Pacific J Math, 1982, 98(1): 1363-1364.

    [8] JIANG Yan. A note on the value distribution offor[J]. Bull Korean Math Soc, 2016, 53(2): 365-371.

    [9] XU Junfeng, YI Hongxun, ZHANG Zhanling. Some inequalities of differential polynomials II [J]. Mathematical Inequalities & Applications, 2011, 14(1): 93-100.

    [10] HAYMAN W, MILES J. On the growth of a meromorphic function and its derivatives [J]. Complex Variables Theory Appl, 1989, 12(1-4): 245-260.

    [責(zé)任編輯:韋 韜]

    An Inequality Estimate of Differential Polynomials on the Zeros

    DAIRui-fang, XUJun-feng

    (School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

    In this paper, a quantitative estimate of the value distribution of the differential polynomialsis obtained by the reduced counting function, whereare positive integer,is the small function ofwhich satisfies.

    meromorphic functions; differential polynomials; small functions; value distributions

    1006-7302(2017)03-0001-07

    0174.52

    A

    2017-03-09

    廣東省自然科學(xué)基金資助項目(2016A030313002);廣東高校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)對象資助項目(Yq2013159)

    戴瑞芳(1992—),女,廣東新會人,在讀碩士生,研究方向為復(fù)分析;徐俊峰,教授,博士,碩士生導(dǎo)師,通信作者,研究方向為復(fù)分析.

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