基于Contourlet變換的K-L變換地震隨機噪聲自適應(yīng)衰減方法

劉燕峰,鄒少峰,居興國

(中國石油化工股份有限公司石油物探技術(shù)研究院,江蘇南京211103)

基于Contourlet變換的K-L變換地震隨機噪聲自適應(yīng)衰減方法

劉燕峰,鄒少峰,居興國

(中國石油化工股份有限公司石油物探技術(shù)研究院,江蘇南京211103)

地震資料中有效反射信號具有豐富的紋理及邊緣特性,在Contourlet變換域系數(shù)較大并具有相關(guān)性,而隨機噪聲均勻分布于Contourlet變換域且系數(shù)較小?？紤]K-L變換具有分類特征提取的優(yōu)勢,在Contourlet變換基礎(chǔ)上應(yīng)用K-L變換,采用最大似然估計法和多尺度噪聲估計法估算地震記錄中有效信號及隨機噪聲的Contourlet系數(shù)方差,并將其應(yīng)用到K-L變換域能量百分比閾值函數(shù)的定義中,自適應(yīng)地確定用于K-L反變換的特征向量,修改Contourlet變換的系數(shù),再進行Contourlet反變換壓制隨機噪聲。數(shù)值模擬及實際地震資料去噪效果表明,基于Contourlet變換的K-L變換去噪方法不僅可以有效地壓制地震資料中的隨機噪聲,提高地震資料信噪比,而且具有較好的保真性。

Contourlet變換;K-L變換;最大似然估計;多尺度噪聲估計;隨機噪聲衰減;自適應(yīng)

變換域噪聲壓制是指利用數(shù)學(xué)變換找出某種基函數(shù)來稀疏表達(dá)有效信號,使有效信號能量主要分布在少數(shù)較大的系數(shù)上,而噪聲分布在較小的系數(shù)上,從而實現(xiàn)信噪分離。如20世紀(jì)80年代初發(fā)展起來的小波變換域噪聲壓制方法[1-10],利用“正方形”基函數(shù)來逼近信號,雖然容易檢測出邊緣奇異點,但無法準(zhǔn)確表示邊緣點間的連續(xù)性,且缺乏方向性,不能很好地表達(dá)圖像中的曲線或面奇異。DO等[11]在小波變換的基礎(chǔ)上發(fā)展了Contourlet變換,用“長條形”基函數(shù)來表達(dá)信號,其支撐區(qū)間的寬度與長度近似符合平方律,具有優(yōu)越的非線性逼近能力,在圖像增強、圖像去噪、模式識別、統(tǒng)計分析等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。彭才等[12]將Contourlet變換應(yīng)用于隨機噪聲衰減,采用硬閾值法修改Contourlet系數(shù),反變換重建原信號。張恒磊等[13]采用相關(guān)疊加和非線性閾值相結(jié)合的方法對Contourlet系數(shù)進行修改,以壓制隨機噪聲。王建花等[14]利用同一方向子帶內(nèi)相鄰Contourlet系數(shù)之間的相關(guān)性,對每一個系數(shù)計算鄰域均方根振幅,定義該系數(shù)與鄰域均方根振幅比值的平方為鄰域相關(guān)系數(shù),根據(jù)鄰域相關(guān)系數(shù)定義閾值函數(shù)自適應(yīng)地衰減隨機噪聲。

K-L變換最初應(yīng)用在遙測多譜資料處理中。HEMON等[15]1978年首次將K-L變換應(yīng)用到地震資料處理領(lǐng)域,基于隨機噪聲與有效信號的相干性差異去除隨機噪聲和相干噪聲。其后,傅才芳等[16]應(yīng)用K-L變換去除地震資料中的隨機噪聲。楊文采[17]用非線性K-L變換去除海洋地震資料中的隨機噪聲。張廣智等[18]先將地震數(shù)據(jù)分塊并拉平相干同相軸,再利用K-L變換進行隨機噪聲衰減。LIU[19]先選出面波區(qū)域并將面波拉平,再用K-L變換提取面波并從原始信號中減去面波,取得較好的去噪效果。

地震資料經(jīng)Contourlet變換后,有效反射信號的Contourlet系數(shù)較大并具有較強的相關(guān)性,隨機噪聲則均勻分布于變換域,系數(shù)較小且相關(guān)性弱,對Contourlet系數(shù)的處理方式?jīng)Q定了Contourlet變換的去噪效果。本文充分利用有效信號的Contourlet系數(shù)在同一方向子帶內(nèi)及不同方向子帶之間的相關(guān)性和非高斯性,結(jié)合K-L變換在分類特征提取上的優(yōu)勢,對Contourlet系數(shù)進行K-L變換以進一步分離有效信號和隨機噪聲。利用最大似然估計法[20-21]和多尺度噪聲估計法對有效信號和隨機噪聲的Contourlet系數(shù)進行方差估計,并定義K-L變換域能量百分比閾值函數(shù),自適應(yīng)地確定K-L反變換的特征向量,修改Contourlet變換的系數(shù),再通過Contourlet反變換壓制隨機噪聲。

1 方法原理

1.1 Contourlet變換

Contourlet變換也可稱作小輪廓變換,采用分段光滑的基函數(shù)對原始信號進行逼近。Contourlet變換可分為兩個獨立的步驟:①根據(jù)信號的特點,采用拉普拉斯金字塔濾波器[11,22](Laplacian Pyramid,LP)對二維信號進行多尺度分解,以捕獲不同尺度上信號的邊緣奇異點;②通過方向濾波器組[23-25](directional filter bank,DFB)對LP分解后的每一尺度高頻信號進行方向分解,并將同方向上的奇異點連成線,合并為同一系數(shù),即Contourlet系數(shù)。

1.1.1 拉普拉斯金字塔分解

拉普拉斯金字塔分解源于影像的高斯金字塔分解,即將平滑濾波與下采樣操作結(jié)合獲得原始圖像的近似分量,對此近似分量重復(fù)進行平滑濾波與下采樣操作,則可得到一系列不同尺度的高斯圖像金字塔,相鄰兩層高斯金字塔圖像相減則為拉普拉斯金字塔圖像。故拉普拉斯金字塔分解過程如下:

1) 通過低通濾波和下采樣操作得到原始信號x的近似分量,也就是原始信號的低頻子帶信號;

2) 對低頻子帶信號進行上采樣和高通濾波,生成原始信號的預(yù)測信號d;

3) 將原始信號x與預(yù)測信號d相減,得到原始信號的高頻子帶信號c。

此后利用每一步分解所產(chǎn)生的低頻子帶信號,迭代進行LP分解,生成一個低頻信號和一系列高頻子帶信號。分解及重構(gòu)過程如圖1所示,其中,H為(低通)分解濾波器,G為(高通)合成濾波器,M為采樣矩陣。拉普拉斯金字塔濾波實現(xiàn)了信號從精細(xì)尺度到粗略尺度的逼近。

圖1 拉普拉斯金字塔分解及重構(gòu)a 一級分解; b 一級重構(gòu)

1.1.2 方向濾波器組

方向濾波器組DFB可以通過l級樹型分解來實現(xiàn)。在每一級中,頻域被劃分為2l個楔型的方向子帶[25]。DFB的實現(xiàn)分以下兩步:①將扇型濾波器與梅花型采樣矩陣相結(jié)合,實現(xiàn)對原始信號二維頻譜的切分,即第一與第二級分解;②從第三級分解開始,將扇型濾波器與幺模采樣矩陣相結(jié)合,實現(xiàn)局部方向信息的提取。圖2為前兩級DFB分解的頻率分割示意圖[16]。第一級和第二級分解采用梅花型采樣矩陣Q0,Q1:

(1)

(2)

第三級及以后各步采用幺模采樣矩陣,分別為:

DFB的第一級將原始信號經(jīng)扇形濾波器分解為水平和垂直兩個方向(如圖2a),第二級將扇形濾波器與梅花型采樣矩陣Q0交換形成如圖2b所示的象限濾波器,將第一級與第二級濾波器組合后進行Q1采樣,則可獲得如圖2c所示的原始信號4個方向子帶。從第三級開始所用的濾波器組是扇形濾波器與幺模采樣矩陣形成的平行濾波器組,實現(xiàn)信號的2l級分解。方向濾波器組會將信號的低頻分量泄漏于幾個方向子帶中,在應(yīng)用之前需要將信號的低頻部分移除,因此將LP分解模塊與DFB分解模塊結(jié)合,形成了雙層濾波器組結(jié)構(gòu)的Contourlet變換。圖3為Contourlet變換基本流程[26],圖4為Contourlet變換4級分解系數(shù)。

圖2 二級方向濾波器組頻率分割a 第一級濾波器; b 第二級濾波器; c 第一級與第二級濾波器組合

圖3 Contourlet變換的基本流程

圖4 Contourlet變換4級分解系數(shù)

1.2 基于Contourlet變換的K-L變換隨機噪聲衰減方法

圖像經(jīng)Contourlet變換稀疏表達(dá)后,采用邊緣統(tǒng)計模型及聯(lián)合統(tǒng)計模型對變換系數(shù)進行研究表明:Contourlet變換系數(shù)具有聚類性和持續(xù)性,以及非高斯、高峰度和長拖尾等特點[27]。這保證了圖像中有效信息主要集中于變換域的有限區(qū)域內(nèi),且系數(shù)較大,而高斯性的隨機噪聲經(jīng)Contourlet變換后仍為白噪聲,其均勻分布于變換域且幅值較小[28]。同時Contourlet系數(shù)之間存在一定的相關(guān)性,即如果一個Contourlet系數(shù)幅值大,則與其相鄰的Contourlet系數(shù)很有可能是“大”系數(shù)。

地震資料中的有效信號具有豐富的紋理和邊緣特征,而隨機噪聲符合高斯白噪聲的特點。有效信號的Contourlet變換域系數(shù)較大且相互關(guān)聯(lián),而隨機噪聲的Contourlet變換域系數(shù)較小且均勻分布于各子帶上,無明顯相關(guān)性。利用這些特性修改Contourlet系數(shù)可實現(xiàn)對隨機噪聲的壓制。然而,任何一種變換都不能達(dá)到信號與噪聲的完全分離,有必要進一步擴大有效信號和隨機噪聲的分離度。

K-L變換具有分類特征提取的優(yōu)勢,它對輸入信號按其協(xié)方差矩陣的歸一化特征向量進行正交分解。經(jīng)K-L變換后,存在相干性的有效信號集中在前面幾個特征值對應(yīng)的特征向量上,隨機噪聲則分布在最后幾個特征值對應(yīng)的特征向量上,反變換時去除代表隨機噪聲的特征向量,則可將相干性好的有效信號保存下來,壓制隨機噪聲,提高地震資料的信噪比。本文對Contourlet系數(shù)進行K-L變換,以最大限度地將有效信號與隨機噪聲分離。

K-L變換原理[29]如下。

對于第i層第l個方向子帶的Contourlet系數(shù)矩陣

(7)

其協(xié)方差定義為:

(8)

式中:E(C)表示C的數(shù)學(xué)期望,[C-E(C)]T為[C-E(C)]的轉(zhuǎn)置。Cov(C)為m×m的實對稱正定矩陣,存在一個正交矩陣U,使得

(9)

式中:λi是Cov(C)矩陣的特征值;Λ是按照特征值遞減順序排列的對角矩陣;U為特征向量矩陣。

(10)

對二維矩陣C做正交變換可得K-L變換公式:

(11)

式中:UT為U的轉(zhuǎn)置。重構(gòu)信號公式為:

(12)

(13)

不同尺度的噪聲引起的Contourlet系數(shù)方差沿著分解層次近似為指數(shù)分布,而同一個尺度內(nèi)各方向的噪聲方差基本相等[30]。因而不同尺度的噪聲方差σm可表示為:

(14)

式中:i代表分解層次(尺度);σ1為最小尺度的噪聲方差。

σ1可采用經(jīng)典的魯棒中值估計法求取[31]:

(15)

式中:cil為第i層、l方向子帶系數(shù);median表示求系數(shù)中值。

定義第i層、第l個方向子帶中大小為m×n,代表有效信號的Contourlet系數(shù)方差為σ,利用最大似然估計法來求取[25]:

(16)

在Contourlet域,有效信號與噪聲的Contourlet系數(shù)是相互獨立的,所以輸入信號(即含噪信號)的Contourlet系數(shù)方差σc滿足[32]:

(17)

考慮到實際資料的復(fù)雜性,引入調(diào)整因子θ∈(0,1),定義K-L變換域能量百分比閾值函數(shù)為f(θ),則:

(18)

當(dāng)p滿足:

(19)

時,確定p為用于信號重構(gòu)的最大特征向量個數(shù)。

圖5為基于Contourlet變換的K-L變換去噪方法流程,具體實現(xiàn)步驟如下:

1) 對輸入數(shù)據(jù)進行Contourlet變換,得到不同尺度、不同方向子帶的Contourlet系數(shù)矩陣C;

2) 對每個系數(shù)矩陣C做K-L變換,得到對應(yīng)的特征值和特征向量;

3) 利用(14)～(18)式求取K-L變換域能量百分比閾值函數(shù)f(θ);

4) 利用公式(19)求取p值,確定K-L反變換時的特征向量個數(shù);

圖5 基于Contourlet變換的K-L變換去噪流程

2 數(shù)值模擬

對小波變換去噪、常規(guī)Contourlet變換閾值去噪和本文基于Contourlet變換的K-L變換去噪方法進行了數(shù)值模擬對比試驗(圖6)。圖6a為數(shù)值模擬的原始單炮記錄;圖6b為加入隨機噪聲的單炮記錄,其信噪比為0.55;圖6c為小波變換閾值去噪結(jié)果,其信噪比為1.02;圖6d為Contourlet變換閾值去噪結(jié)果,其信噪比為1.28;圖6e為本文方法的去噪結(jié)果,其信噪比為2.01,優(yōu)于小波變換閾值去噪結(jié)果和Contourlet變換閾值去噪結(jié)果;圖6f為本文方法去除的噪聲。圖7為本文方法去噪后單炮記錄頻譜分析結(jié)果,去噪后單炮記錄頻譜與原始模擬單炮記錄頻譜相似。說明本文方法不僅對隨機噪聲有良好的壓制作用,而且對有效信號有很高的保真度。

圖6 基于Contourlet變換的K-L變換去噪方法處理模型效果分析a 原始模擬單炮記錄; b 加入隨機噪聲的單炮記錄; c 小波變換閾值去噪結(jié)果; d Contourlet變換閾值去噪結(jié)果; e 本文方法去噪結(jié)果; f 本文方法去除的隨機噪聲

圖7 本文基于Contourlet變換的K-L變換方法去噪后單炮記錄頻譜分析a 原始模擬單炮記錄頻譜; b 加入隨機噪聲的單炮記錄頻譜; c 本文方法去噪后單炮記錄頻譜

3 實際資料處理效果分析

采用本文基于Contourlet變換的K-L變換去噪方法對我國南方某工區(qū)實際地震資料進行了處理,如圖8所示。該區(qū)單炮記錄噪聲比較嚴(yán)重(圖8a),1000～2000ms的有效反射信號被噪聲淹沒。利用本文方法進行去噪處理后,單炮記錄信噪比得到明顯提高,1000～2000ms有效反射波同相軸清晰可見(圖8b),去除的噪聲中肉眼未見有效反射信號(圖8c),說明本文方法不僅能夠很好地去除地震資料中的隨機噪聲,而且不損傷有效信號,具有良好的保真性。

利用本文方法對整個工區(qū)的單炮記錄進行疊前去噪,并分別對疊前去噪處理前、后的單炮記錄進行疊加,結(jié)果如圖9所示。

圖8 本文去噪方法處理前、后單炮地震記錄效果分析a 去噪前單炮記錄; b 去噪后單炮記錄; c 去除的噪聲

圖9 本文方法去噪處理前(a)、后(b)疊加剖面對比

對比可見,利用本文方法進行疊前去噪處理后,疊加剖面信噪比得到了顯著提高,有效反射波同相軸連續(xù)性增強,波組特征明顯改善。

4 結(jié)束語

本文對Contourlet系數(shù)進行K-L變換,利用最大似然估計法和多尺度噪聲估計法來估算K-L變換域能量百分比函數(shù),根據(jù)K-L變換域能量百分比函數(shù)自適應(yīng)地確定K-L反變換所用的特征向量,修改Contourlet系數(shù),去除隨機噪聲,提高地震資料信噪比。數(shù)據(jù)模擬和實際資料處理結(jié)果表明,本文方法不僅能很好地去除地震資料中的隨機噪聲,提高資料信噪比,而且不損傷有效信號,具有良好的保真性。

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(編輯：戴春秋)

Seismicrandomnoiseself-adaptiveattenuationmethodbasedonK-LtransformintheContourlet-domain

LIU Yanfeng,ZOU Shaofeng,JV Xingguo

(SinopecGeophysicalResearchInstitute,Nanjing211103,China)

After the Contourlet transform,Contourlet coefficients of reflection are large and correlative due to the rich texture and edge features of effective signals in seismic data,while the Contourlet coefficients of random noise are small and unrelated.Considering the advantage of the classification feature extraction for the K-L transform,we apply the K-L transform to Contourlet-domain coefficients.Maximum likelihood estimation and multiscale noise estimation are adopted to estimate the variance of Contourlet coefficients of effective signals and random noise in seismic records.In order to adaptively determine the number of eigenvectors used for the K-L inverse transform,the variance is applied to define the energy percentage threshold function in the K-L domain.Contourlet coefficients transform are modified.And then Contourlet inverse transform is conducted to suppress random noise.However,numerical simulation and field data processing results show that this method can effectively suppress random noise with high fidelity.

Contourlet transform,K-L transform,maximum likelihood estimation,multiscale noise estimation,random noise attenuation,self-adaptive

P631

：A

1000-1441(2017)05-0676-08DOI:10.3969/j.issn.1000-1441.2017.05.008

劉燕峰,鄒少峰,居興國.基于Contourlet變換的KL變換地震隨機噪聲自適應(yīng)衰減方法[J].石油物探,2017,56(5):683

LIU Yanfeng,ZOU Shaofeng,JV Xingguo.Seismic random noise selfadaptive attenuation method based on KL transform in the Contourletdomain

[J].Geophysical Prospecting for Petroleum,2017,56(5):683

2016-08-08;改回日期：2016-10-28。

劉燕峰(1980—),女,工程師,主要從事地震資料處理及方法研究工作。