等差數(shù)列解題思路與方法初探

馬長豐

【摘要】等差數(shù)列在數(shù)學課程中具有重要地位。歷年來，在高考數(shù)學以及在公務員的行政能力測試中，等差數(shù)列及其應用總能占到一定的比重，因而，在學習等差數(shù)列過程中，掌握相關(guān)解題思路與方法是很有必要的。

【關(guān)鍵詞】等差數(shù)列 ； 解題方法 ； 技巧

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2015）36-0260-01

數(shù)列是高中數(shù)學學習的重要內(nèi)容之一，它不僅知識內(nèi)涵豐富，與其他知識聯(lián)系緊密，而其應用非常廣泛。等差數(shù)列是本章中的重點和難點，由于這部分知識公式較多，學生學習起來有一定的難度，心理上存在一些畏懼情緒，因此掌握好的解題技巧，這部分內(nèi)容就會迎刃而解。本文是在實踐教學中總結(jié)的一些解題思路和方法，在教給學生基礎(chǔ)知識的同時，也要注意方法的傳授，這樣才能增強學生學習數(shù)學的成就感，激發(fā)學生對數(shù)學的學習興趣。

一、等差數(shù)列

如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，一般用字母d表示。等差數(shù)列的通項公式為

■；前n項和公式為■或■

■。

二、等差數(shù)列的解題思路與方法

1.利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題。

等差數(shù)列是一種非常重要的數(shù)列，特別是它有許多有用且有趣的性質(zhì)，掌握這些性質(zhì)對解有關(guān)等差數(shù)列的題目往往會起到事半功倍的作用。

性質(zhì)1在等差數(shù)列■中，■？圳■。

【例1】 已知等差數(shù)列■中，■，則■

■（ ）

A.20 B.22 C.24 D.-8

解：∵■，■

又■，所以選C

解題關(guān)鍵：等式不可能求出■和d，問題看似無解，但巧用性質(zhì)1，則問題就迎刃而解。

性質(zhì)2在等差數(shù)列中■，若，■且■，則■。

特別地，當m+n=2p時，有am+an=2ap。

【例2】在等差數(shù)列{an}中，3（a3+a5）+2（a7+a10+a13）=24，則S15=（ ）

A.13 B.26 C.52 D.56

解：∵3+5=4+4 ∴ ■

又7+13=10+10，∴■

結(jié)合已知條件等式，得■■

■，

∴■

∴■，故選B

2.以方程的意識，求值問題。

有些求值或化簡題，如果納入方程的思想方法體系，往往方法巧妙，過程簡捷。等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式緊密地聯(lián)系著五個量■，“知三求二”是最基本的方程運算。

【例3】設■是遞增等差數(shù)列，前三項的和為12，前三項的積為48，則它的首項是（ ）

A.1 B.2 C.4 D.6

解析題中給出兩個相等關(guān)系，運用方程的思想方法，設出■和■，依題意列方程組：

（a2-d）+a2+（a2+d）=12（d>0）（a2-d）a2（a2+d）=48得解a2=4d=2（舍去d=-2）

∴a1=2，應選B

【例4】已知等差數(shù)列前三項為a，4，3a，前n項和為Sn，Sk=2550，求a及k的值。

分析：已知幾個相等關(guān)系，運用方程的思想方法求a和k。

解： 依題意列方程組

■解得■

∴■

3.利用二級等差數(shù)列及其變式解題。

一般地，一個數(shù)列相鄰的兩項作差，得到的新數(shù)列為等差數(shù)列，則稱原數(shù)列為二級等差數(shù)列。

解題策略：觀察數(shù)列特征，大部分二級等差數(shù)列為遞增或遞減的形式；嘗試作差，一般為相鄰兩項之間作差，注意作差時相減的順序要保持不變；猜測規(guī)律、檢驗、重復步驟直至規(guī)律吻合。

【例5】11，12，15，20，27，（ ）

A.32 B.34 C.36 D.38

解題關(guān)鍵：原數(shù)列后項減前項構(gòu)成等差數(shù)列，故選C。

【例6】32，27，23，20，18，（ ）

A.14 B.15 C.16 D.17

解題關(guān)鍵：原數(shù)列后項減前項構(gòu)成等差數(shù)列，故選D。

【例7】11，13，16，21，28，（ ）

A.37 B.39 C.41 D.47

解題關(guān)鍵：相鄰兩項之差連續(xù)質(zhì)數(shù)，得到質(zhì)數(shù)列，故選B。

【例8】1，2，6，15，（ ）

A.19 B.24 C.31 D.27

解題關(guān)鍵：數(shù)列特征明顯單調(diào)且倍數(shù)關(guān)系不明顯，優(yōu)先做差，相鄰兩項之差是平方數(shù)列，故選C。

【例9】1，4，8，13，16，20，（ ），

A.20 B.25 C.27 D.28

解題關(guān)鍵：該數(shù)列相鄰兩項的差成3，4，5一組循環(huán)的規(guī)律，所以空缺應為20+5=25，故選B。

以上等差數(shù)列的解題思路及方法是在實踐教學中總結(jié)出來的一些經(jīng)驗，具體到實際問題要舉一反三，真正理解等差數(shù)列，才能在運用時游刃有余。endprint