淺談含參數(shù)不等式的解法

閆惠嬙

含參數(shù)不等式是歷年來高考考查的重點內(nèi)容，也是很多同學都感到比較困難的知識點，雖然其求解的一般思想方法大家都知道，即分類討論思想，但要做到“不重”“不漏”“最簡”三原則，還是有一定難度的。究其原因是不知因何而討論？對什么進行討論？如何劃定討論標準？文科學生顯得尤為突出。而要想解決這個困惑，學生就必須弄清楚解含參數(shù)不等式有哪些類型，下面我們就介紹常見的三種含參數(shù)不等式的解法。

一、比較根的大小型

例1.解關(guān)于x的不等式x2-2x+1-a2≥0。

分析：二次項系數(shù)為1，不等式所對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線，且對應(yīng)的二次方程的根為1-a和1+a。

解：原不等式等價于[x-（1-a）][x-（1+a）]≥0

①當a>0時，1+a>1-a，∴原不等式的解集為{x|x≥1+a或x≤1-a}；

②當a=0時，原不等式等價于（x-1）2≥0，∴原不等式的解集為全體實數(shù)R；

③當a<0時，1+a<1-a，∴原不等式的解集為{x|x≥1-a或x≤1+a}。

小結(jié)：當含參數(shù)不等式能進行因式分解，而根的大小不易區(qū)別時，常通過做差法，由根的大小確定參數(shù)范圍，進行分類討論。

二、討論二次項系數(shù)型

例2. 解關(guān)于x的不等式ax2+（1-a）x-1>0。

分析：△=（a+1）2為完全平方式，∴ax2+（1-a）x-1=（x-1）（ax+1）

因為二次項系數(shù)含有參數(shù)，不等式所對應(yīng)的二次函數(shù)的拋物線開口方向就不能確定，因此， 需對二次項系數(shù)a在零點處進行分開討論。

解：原不等式可以轉(zhuǎn)化為（x-1）（ax+1）>0

（3）當-4

小結(jié)： 若含參不等式所對應(yīng)的一元二次方程根的判別式不是完全平方式且其符號不確定，則應(yīng)對方程是否有實根進行分類討論，即對根的判別式的符號進行討論。

綜合以上的分析講解，我們不難發(fā)現(xiàn)，在解關(guān)于含參數(shù)一元二次不等式時，往往要對參數(shù)進行分類討論，為了做到分類的“不重”“不漏”“最簡”，討論需從如下三方面進行考慮：

1.關(guān)于不等式類型的討論：“ 二次項系數(shù)”與 “零”的關(guān)系；

2.關(guān)于不等式對應(yīng)方程根大小的討論：方程的根存在，比較其大小，確定參數(shù)范圍；

3.關(guān)于不等式對應(yīng)方程有無實根的討論：討論根的判別式。

總之，要解含參數(shù)一元二次不等式要和一元二次方程、一元二次函數(shù)緊密聯(lián)系在一起，從而可以更好的完成解題過程。