淺談單位圓在三角函數(shù)中的應(yīng)用

王芳芳++胡海光

摘要：新課程利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，提升了單位圓、三角函數(shù)線的地位，借助單位圓本身直觀、形象、準(zhǔn)確、方便等特點(diǎn)，再結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，可以使問題化難為易，化繁為簡，思路清晰，方法明確。因此，文章重新認(rèn)識單位圓，重點(diǎn)探究它在新課程三角函數(shù)公式推導(dǎo)及解題中的應(yīng)用，這樣不但能使學(xué)生掌握用單位圓解題的方法，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)鍵字：單位圓；誘導(dǎo)公式；三角函數(shù)；應(yīng)用

【中圖分類號】G634.6

1 引言

新課標(biāo)指出：學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí)，應(yīng)倡導(dǎo)自主探索、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自習(xí)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探索活動(dòng)，不但能讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新意識，而且可以大大減少課堂的教學(xué)時(shí)間。因此，我們在教學(xué)中應(yīng)充分挖掘教材的問題背景，逐漸培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、自主探索等學(xué)習(xí)習(xí)慣?；谶@種目的，在新課改下，我們可以將三角函數(shù)章節(jié)學(xué)習(xí)統(tǒng)一在單位圓與三角函數(shù)線之下，利用數(shù)形結(jié)合讓學(xué)生理解知識的來龍去脈、推導(dǎo)過程，最主要的是使學(xué)生學(xué)會用聯(lián)系的觀點(diǎn)看三角函數(shù)，研究三角函數(shù)的定義、公式、圖象與性質(zhì)，明白如何用單位圓與三角函數(shù)線研究問題，動(dòng)態(tài)地分析和解決問題。

2 單位圓的認(rèn)識

單位圓是新課標(biāo)中剛引進(jìn)的新概念，學(xué)生受舊教材的影響對單位圓的認(rèn)識很模糊，為了讓學(xué)生能很好的利用單位圓解決三角函數(shù)問題，筆者認(rèn)為首先要了解單位圓的概念、為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)及用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)的意義。

2.1 用單位圓認(rèn)識三角函數(shù)線

三角函數(shù)線的定義：

設(shè)任意角 的頂點(diǎn)在原點(diǎn) ，始邊與 軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn) ，

過 作 軸的垂線，垂足為 ；過點(diǎn) 作單位圓的切線，它與角 的終邊或其反向延

長線交與點(diǎn) 。

， ， .

我們就分別稱有向線段 為正弦線、余弦線、正切線。

2.2 單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)的作用

用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)有許多優(yōu)點(diǎn)。

（1）利用單位圓定義了三角函數(shù)，而且圓具有很好的對稱性；

（2）簡單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)──周期性；

（3）有利于構(gòu)建任意角的三角函數(shù)的知識結(jié)構(gòu)?！皢挝粓A定義法”以單位圓為載體，自變量的三角函數(shù)值與x，y的意義非常直觀而具體，單位圓中的三角函數(shù)線與定義有了直接聯(lián)系，從而使我們能方便地采用數(shù)形結(jié)合的思想討論三角函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式、周期性、單調(diào)性、最大值、最小值等。

2.3 用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)的意義

用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)，除了考慮到使學(xué)生在三角函數(shù)學(xué)習(xí)之初就能感受到單位圓的重要性，為后續(xù)借助單位圓的直觀討論三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)外，主要還是為了這樣的定義能夠更好地反映三角函數(shù)的本質(zhì)。

3 單位圓在公式推導(dǎo)和性質(zhì)中的應(yīng)用

3.1 在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式中的應(yīng)用

單位圓具有很好的對稱性，通過對單位圓上對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系來探究推出誘導(dǎo)公式。角 +α的終邊與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱，由角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P1（x，y），知角 +α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P2（-x，-y）。

推出誘導(dǎo)公式（二）：sin（ +α）=-sinα；cos（ +α）=-cosα；tan（ +α）= tanα

3.2 在三角函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用

將單位圓中的三角函數(shù)線（正弦線、余弦線、正切線）通過平移轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)圖象上的點(diǎn)，就可以比較精確地作出三角函數(shù)的圖象。利用單位圓中的三角函數(shù)線，可以直觀地從整體上把握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，包括定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性、最大值和最小值。

4 單位圓和三角函數(shù)線在解題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)中，引入了三角函數(shù)線，使三角函數(shù)具有了鮮明的幾何特征。單位圓結(jié)合三角函數(shù)線，是研究三角函數(shù)一種數(shù)形結(jié)合的工具，若能恰當(dāng)?shù)乩盟苁箚栴}解決顯得直觀、新穎，過程簡捷明了，以下簡要介紹它們的具體應(yīng)用。

4.1 利用單位圓中的三角函數(shù)線解三角函數(shù)不等式

例1.利用單位圓解不等式3tanα+ >0

解：要使3tanα+ >0，即要tanα>- 如圖1所示，由正切線可知 k - <α< k + ，（k ∈Z）所以，不等式的解集為（k - ，k + ），（k∈Z）

方法總結(jié)：數(shù)形結(jié)合的“形”不僅僅是指三角函數(shù)圖象，三角函數(shù)線有時(shí)比圖象能更好的解決問題。

4.2 利用單位圓中的三角函數(shù)線求函數(shù)定義域

例2.求函數(shù)y= 的定義域

解：由 得

如圖2所示，則圖中陰影部分（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共部分即為不等式組的解，所以，函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2k ≤x≤2 k + ，k∈Z}。

方法總結(jié)：首先要把不等式變?yōu)榛拘停ㄗ詈唵蔚娜遣坏仁剑?，對于三角不等式組應(yīng)分別確定區(qū)域，取其公共部分。

5 小結(jié)

通過以上總結(jié)單位圓在三角函數(shù)中的具體應(yīng)用，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想，進(jìn)一步感受到用單位圓解題的簡捷、直觀、巧妙。因此，我們務(wù)必充分理解掌握單位圓的定義以及應(yīng)用，為以后的學(xué)習(xí)做好鋪墊.這樣不但能使學(xué)生掌握用單位圓解題的方法，而且能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王鐵軍. 挖掘新課程中“單位圓與三角函數(shù)線”的教學(xué)功能[J]，2007.11.

[2] 高振球. 單位圓在高一數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J]，2006.6.

作者簡介：王芳芳，女（1985-），陜西寶雞人，主要從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。endprint