用向量知識(shí)處理三角形中的三心問題

陳傳琴

向量是數(shù)學(xué)的重要概念之一，在高考中向量作為解題工具的應(yīng)用體現(xiàn)得非常突出。熟練地運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則對(duì)向量進(jìn)行分解也合成，是用向量知識(shí)解題的關(guān)鍵。本文旨在研究用向量處理三角形的三心問題。

1.三角形重心的向量表示及應(yīng)用

?ABC內(nèi)一點(diǎn)G，滿足 ，則G 為三角形的重心 .

解析：取BC中點(diǎn)D，則

∴ 由三角形重心定義知

G為三角形 的重心 .

2. 三角形中向量的中線公式

已知?ABC 中，AD 為?ABC中BC 邊上的中線，則有 ； 反之， ，AD必為BC邊上的中線 .

例1. 已知O是?ABC內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定過?ABC的（ ）

A.內(nèi)心 B.垂心 C.外心 D.重心

解析： AHC ，取BC的中點(diǎn)D，連結(jié)AD

由向量共線的定義知：A，P，D共線 .

則點(diǎn)P過?ABC 的重心 .

例2.

證明：充分性

∵P，M，Q 三點(diǎn)共線，

垂心：三角形中三條高的交點(diǎn)，與向量運(yùn)算中數(shù)量積為零這一運(yùn)算聯(lián)系密切.

例3.O為?ABC的外心，平面內(nèi)一點(diǎn)P，滿足 ，則點(diǎn)P是?ABC垂心.

解析：由 得

以O(shè)B，OC 為鄰邊作平行四邊形OBDC ，則有

O為?ABC 的外心 ，

∴OB = 0C

∴ 四邊形OBDC為菱形

∴ OD ⊥ BC

∴AP⊥BC

同理 BP⊥AC

∴P 為?ABC的垂心.

例4.在同一平面內(nèi)，有 ABC 及一點(diǎn)O 滿足關(guān)系式：

∴BA⊥OC 同理 BC⊥OA

∴O 是?ABC 的垂心.endprint