內(nèi)壁粗糙碗中的動力學問題深度探究(二)

倪 峰(德清縣高級中學 浙江 湖州 313200)

內(nèi)壁粗糙碗中的動力學問題深度探究(二)

倪 峰
(德清縣高級中學 浙江 湖州 313200)

為更深入探究內(nèi)壁粗糙碗中的動力學問題，利用Mathematica數(shù)學軟件計算和畫出了物體逆時針運動的角度θ與運動時間t的圖像關(guān)系和物體逆時針運動的角速度ω與運動時間t的圖像關(guān)系，從圖像關(guān)系可以準確得到在某時刻對應(yīng)的角度、角速度、速度.

內(nèi)壁粗糙的碗 豎直軌道 動力學 二階非線性常微分方程 Mathematica

具體模型如圖1所示，物體(可看成質(zhì)點的物體)在內(nèi)壁粗糙的碗中從A點向下逆時針下滑，物體與粗糙內(nèi)壁的動摩擦因數(shù)為μ.

圖1 情境圖

從A點下滑到第一次速度為零的位置的整個過程，物體受到3個力的作用，分別是重力mg，摩擦力Ff，支持力FN.除重力外，其他兩個力都是變力.在文獻[1]中，筆者推導(dǎo)出物體逆時針運動的角速度ω與轉(zhuǎn)過的角度θ的函數(shù)關(guān)系，即給出了ω與θ的解析解

并利用Excel畫出了ω與θ的圖像關(guān)系，可以得到物體在粗糙碗中從A點下滑做逆時針圓周運動到第一次速度為零這個過程，軌道上各個位置所對應(yīng)的角速度和速度.那么，θ與t，ω與t之間又有什么關(guān)系呢？

1 小球在粗糙內(nèi)壁逆時針下滑的θ與t及ω與t的解析解

根據(jù)推導(dǎo)得出的ω與θ的解析解

(1)

對式(1)兩邊積分得

(2)

式(2)比較復(fù)雜，筆算無法推導(dǎo)θ與t的解析解和ω與t的解析函數(shù).

2 利用Mathematica數(shù)值解法畫出θ-t和ω-t圖像

取g=9.8 m/s2，r=1 m.分別畫出μ=0，0.1，0.5，0.8時，θ與t，ω與t的圖像，具體編程如下所示：

Quit

PlotStyle0={{Red,Thickness[0.015]},{Green,

Thickness[0.015]},{Black,Thickness[0.015]},{Blue,

Thickness[0.015]},{Purple,Dashing[{0.01,0.05,0.01}],Thickness[0.005]},{Green,Dashing[{0.01,

0.02,0.05}],Thickness[0.005]}};θf[μ_]:=

((1-2μ2)Sin[θ]+3μCos[θ]-3μExp[-2θ]))-1/2,{ θ,0, θθ}]

fig[μ_,style_]:=ParametricPlot[{Re[tjie[,θθ]],θθ},{θ,0,θf[μ]},PlotStyle→PlotStyle0[[style]],

AxesLabel→{ "t","θ"},BaseStyle→{Large},AxesStyle→Arrowheads[0.06],RotateLabel→True,PlotRange→All,AxesOrigin→{0,0}]

figA[μ_,style_]:=ParametricPlot[{Re[tjie

3μCos[θθ]-3μExp[-2μθθ]))1/2},{θθ,0, θf[μ]},

PlotStyle→PlotStyle0[[style]],AxesLabel→{"t","dθ/dt"},BaseStyle→{Large},AxesStyle→Arrowheads[0.06],RotateLabel→True,PlotRange→

All,AxesOrigin→{0,0}]

"μ=0,t[0]" →tjie[0,0.0001]"μ=0.1,t[0]" →tjie[0.1,0.0001]

"μ=0.5,t[0]" →tjie[0.5,0.0001]

"μ=0.8,t[0]" →tjie[0.8,0.0001]

"μ=0, θf"→f[0]

"μ=0.1, θf"→θf[0.1]

"μ=0.5, θf"→θf[0.5]

"μ=0.8, θf"→θf[0.8]

μ=0,t[0] →0.00451754

μ=0.1,t[0] →0.00451755

μ=0.5,t[0] →0.0045176

μ=0.8,t[0] →0.00451763-2.36667

μ=0, θf→3.14159

μ=0.1, θf→2.67214

μ=0.5, θf→1.72223

μ=0.8, θf→1.33753

寫完倒數(shù)第二行程序后，按Shift+Enter運行，得到角度θ與時間t的圖像，如圖2所示.從圖2可以得到，物體在粗糙碗中從A點下滑做逆時針圓周運動到第一次速度為零這個過程，某時刻物體對應(yīng)在軌道上的位置.寫完最后一行程序后，按Shift+Enter運行，得到角速度ω與時間t的圖像，如圖3所示.從圖3可以得到，物體在粗糙碗中從A點下滑做逆時針圓周運動到第一次速度為零這個過程，某時刻物體對應(yīng)的角速度.

圖2 角度θ與時間t的關(guān)系

圖3 角速度ω與時間t的關(guān)系

在具體應(yīng)用過程中，對應(yīng)不同的動摩擦因數(shù)μ，求不同時刻對應(yīng)的角度和角速度，只需要在程序當中改變μ這個參數(shù)的大小即可，然后再按Shift+Enter運行，就能得到相應(yīng)的圖像關(guān)系.若讀者需要以上程序，或進行學術(shù)交流，可直接與筆者聯(lián)系.

1 程守洙，江之勇．普通物理學2(第5版)．北京：高等教育出版社,2003.25～28

2 馬文蔚．物理學(第3版)．北京：高等教育出版社，1994.5～203 董鍵.Mathematica與大學物理計算(第2版). 北京：清華大學出版社，2010

In-depthResearchontheDynamicIssueinRoughBowlWall(II)

Ni Feng
(Deqing Senior high school, Huzhou, Zhejiang 313200)

The author deduced the relationships between angular velocity ω and angle of turn θ and drew the picture of ω with θ in the in-depth dynamic research in rough bowl wall(I). We can get corresponding ω and velocity v in the different orbit positions when the object rolls down from A point in the rough bowl wall to the position with zero velocity for the first time. In order to research the dynamic in rough bowl wall deeply, in this paper we calculate and draw the pictures of θ with t and ω with t by Mathematica when the object do anticlockwise motion. We can get corresponding θ, ω and v accurately in different time from the pictures.

rough bowl wall; a vertical track； dynamic; the second order ordinary differential equation；mathematica

2016-08-29)