基于八元數(shù)Cauchy積分公式的血管分割算法*

王曉嬋，吳明珠，李興民

(1. 南方醫(yī)科大學(xué) 圖書館, 廣東 廣州 510515; 2. 廣州商學(xué)院 計(jì)算機(jī)系, 廣東 廣州 511363;3. 華南師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院, 廣東 廣州 510631)

基于八元數(shù)Cauchy積分公式的血管分割算法*

王曉嬋1，吳明珠2，李興民3

(1. 南方醫(yī)科大學(xué) 圖書館, 廣東 廣州 510515; 2. 廣州商學(xué)院 計(jì)算機(jī)系, 廣東 廣州 511363;3. 華南師范大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院, 廣東 廣州 510631)

針對(duì)現(xiàn)有的血管分割方法會(huì)因圖像中噪聲的影響，而不能將斷裂的血管部分分割出來，導(dǎo)致分割精細(xì)程度不夠高的問題，提出一種新的基于八元數(shù)Cauchy積分公式的血管分割新算法。該方法首先根據(jù)血管走向構(gòu)造合適的六維向量，提取出體數(shù)據(jù)中的每一個(gè)像素點(diǎn)六維方向上6個(gè)鄰域點(diǎn)的像素值，并將其構(gòu)造成一個(gè)八元函數(shù)。然后，構(gòu)造一個(gè)封閉的立方體區(qū)域，將封閉立方體區(qū)域邊界上 26 個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的八元函數(shù)的平均作為中心點(diǎn)的八元函數(shù)，并將其表示成種子點(diǎn)特征向量。最后，遍歷圖像數(shù)據(jù)，用種子點(diǎn)的特征向量與每一點(diǎn)的特征向量做乘積，通過判斷內(nèi)積值是否接近 1，且叉乘積的模是否接近 0，來判斷該點(diǎn)是否為血管中的點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，對(duì)肝臟血管的分割，該算法能夠快速有效地分割出更多更精細(xì)的血管。八元數(shù)這一高維的數(shù)學(xué)工具，在計(jì)算過程中綜合考慮多個(gè)特性，與少量特性進(jìn)行處理的結(jié)果相比較，有著明顯的優(yōu)勢(shì)，相對(duì)于傳統(tǒng)的血管分割算法，提高了血管分割的精度。

八元數(shù)；Cauchy積分公式；血管分割；三維重建

0 引言

醫(yī)學(xué)圖像的三維重建是醫(yī)學(xué)圖像可視化工作的核心。而針對(duì)二維醫(yī)學(xué)圖像的目標(biāo)分割是三維重建的重要前提。如何使得分割目標(biāo)更精細(xì)、更準(zhǔn)確，取決于對(duì)分割方法、數(shù)學(xué)工具的選擇[1-5],現(xiàn)階段的分割方法主要采用區(qū)域生長(zhǎng)[6]、邊緣提取[7-8]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9-11]、模糊連接[12-14]、微分算子[15]、活動(dòng)輪廓[16-17]分水嶺[18-19]等方法。

區(qū)域生長(zhǎng)基本方法是以一組種子點(diǎn)開始，將與種子點(diǎn)性質(zhì)相似的相鄰像素附加到生長(zhǎng)區(qū)域的每個(gè)種子上。傳統(tǒng)的區(qū)域生長(zhǎng)算法[20-25]一般只考慮種子點(diǎn)本身的灰度信息。計(jì)算時(shí)，將相似度大于設(shè)定閾值的像素計(jì)入到種子點(diǎn)所在的區(qū)域，最終形成一個(gè)或多個(gè)相似像素組成的連通區(qū)域。但在CT等造影圖像中，常存在一定量的噪聲，采用此方法會(huì)將因噪聲而斷裂的血管作為非相似像素處理，導(dǎo)致分割出的血管不夠精細(xì)、多樣；另外，生長(zhǎng)的過程本身也沒有考慮到血管的結(jié)構(gòu)及走向，因此存在一定的弊端。而將八元數(shù)或clifford 代數(shù)等高維數(shù)學(xué)與區(qū)域生長(zhǎng)的思想結(jié)合起來能克服上述缺點(diǎn)，并能分割出更細(xì)小的、不連續(xù)的血管。Cauchy 積分公式是復(fù)分析、四元數(shù)、八元數(shù)分析中的重要公式。其幾何意義是：在光滑區(qū)域中封閉光滑形狀內(nèi)的任意一點(diǎn)可以用其邊界上的點(diǎn)表示。因?yàn)槿说难芫哂泄饣奶匦?，基于此，可以根?jù)血管走向構(gòu)造合適的封閉形狀，并用封閉區(qū)域邊界上點(diǎn)的灰度值平均來表示種子點(diǎn)，提高了算法的抗噪性。

八元數(shù) Cauchy 積分公式是八元數(shù)解析函數(shù)理論的基石，在八元數(shù)分析中有著非常重要的作用，其幾何意義是在光滑區(qū)域中，封閉光滑形狀內(nèi)的任意點(diǎn)可以用其邊界上的點(diǎn)表示。均值定理是 Cauchy 積分公式的推論，復(fù)變函數(shù)中的均值定理介紹如下：若函數(shù)f(z)在復(fù)平面上某個(gè)區(qū)域是解析的，那么，該函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)的取值等于函數(shù)在以該點(diǎn)為中心的圓周上取值的平均。其幾何意義是光滑區(qū)域中，單位球中心的取值可以用球面上的數(shù)值的平均表示。

劉偉[26]首次提出將八元數(shù) Cauchy 用于多分量圖像邊緣檢測(cè)中。構(gòu)造八元數(shù) Cauchy 濾波器，即高維數(shù)的 Laplase 濾波器，并將其用于基于 RGB 聯(lián)合 HSI 空間的彩色圖像中，獲得了較好的效果；武偉[27]將八元數(shù)Cauchy 積分公式用于 CT 序列圖像提取肝臟，其算法相對(duì)于鄰接區(qū)域生長(zhǎng)算法等傳統(tǒng)算法能夠更好地保持肝臟邊緣信息，分割出的無(wú)關(guān)區(qū)域也較少?？紤]到人體血管具有光滑特性，血管走向也有一定規(guī)律可循，因此，本文將八元數(shù) Cauchy積分公式用于肝臟血管的分割中。現(xiàn)有的血管分割方法，對(duì)血管的分割精度尚有不足，不能很好地滿足臨床的需求。

1 八元數(shù)Cauchy積分的血管分割算法

針對(duì)三維血管分割的特點(diǎn)及八元數(shù) Cauchy 積分公式在三維圖像處理中應(yīng)用的優(yōu)勢(shì)，數(shù)據(jù)模型建立時(shí)考慮了如下因素：(1)三維空間內(nèi)，血管走向大多傾向于垂直方向，血管垂直走勢(shì)同時(shí)存在一定傾斜性；(2)利用像素點(diǎn)周邊數(shù)據(jù)點(diǎn)的特征來代替中間數(shù)據(jù)點(diǎn)的像素值，避免了圖像數(shù)據(jù)中奇異點(diǎn)的影響，同時(shí)提高了算法的抗噪能力；(3)沒有與其他算法結(jié)合，而是直接利用數(shù)學(xué)性質(zhì)來進(jìn)行分割。這樣算法不會(huì)受到引入算法的限制。算法流程圖如圖1。

圖1 算法流程圖

1.1八元數(shù)的Cauchy積分公式

八元數(shù)O是由J.I.Graves和Cayley于1844～1845年發(fā)現(xiàn)的，是一種非交換、非結(jié)合的八維代數(shù)[28]。八元數(shù)的 Cauchy 積分公式是八元數(shù)分析的重要結(jié)論，均值定理是 Cauchy 積分公式的重要推論。八元數(shù)解析函數(shù)、Cauchy 積分公式及其均值定理的內(nèi)容如下：

定義[28]：設(shè)f(x)∈C∞(Ω,O)，如果

定理1[29](柯西型積分公式)：設(shè)Ω是R8中的連通開集，M是Ω內(nèi)八維緊致定向C∞流型，M及其邊界均含于Ω中。令

若f(x)在Ω內(nèi)是左O-解析，即Df=0，則：

其中ω8是R8中的單位球面的面積。

定理2[28](八元數(shù)的均值定理)：設(shè)Ω是R8中的連通開集，Br(z0)是以z0為中心、半徑為r的球，Br(z0)?Ω，如果Df=0，則

八元數(shù) Cauchy 積分公式是八元數(shù)解析函數(shù)理論的基石，在八元數(shù)分析中有著非常重要的作用。均值定理是 Cauchy 積分公式的推論，其幾何意義是光滑區(qū)域中，單位球中心的取值可以用球面上的數(shù)值的平均表示?？紤]到人體血管具有光滑特性，血管走向也有一定規(guī)律可循，因此，本文將八元數(shù) Cauchy用于肝臟血管的分割中。

1.2基于八元數(shù)Cauchy積分公式的血管分割算法

圖2 六維向量示意圖

算法使用醫(yī)學(xué)圖像處理工具 VTK、ITK 在系統(tǒng)內(nèi)構(gòu)成三維體數(shù)據(jù)。在體數(shù)據(jù)中，定義圖像所在的平面為橫縱軸平面(X-Y平面)，序列方向?yàn)樨Q軸(Z軸)，每個(gè)像素點(diǎn)都有唯一的坐標(biāo)值。手動(dòng)選擇血管點(diǎn)像素，考慮到血管斜方向較多的走向規(guī)律性，選擇了如圖2所示的六維方向上的鄰域像素代表當(dāng)前數(shù)據(jù)特征點(diǎn)，從而構(gòu)成一個(gè)純八元函數(shù)。對(duì)于其他的數(shù)據(jù)，按照同樣的數(shù)據(jù)表征結(jié)構(gòu)來定義對(duì)應(yīng)的純八元函數(shù)。

具體過程為：

首先需要對(duì)CT序列圖像建立八元數(shù)的模型。設(shè)當(dāng)前點(diǎn)的坐標(biāo)值為(x,y,z)，其像素值用f(x,y,z)表示。構(gòu)造的純八元數(shù)Oseed 如下所示：

Oseed=f(x,y,z-1)e1+f(x,y,z+1)e2+f(x-1,y,z)e3+f(x+1,y,z)e4+f(x,y-1,z)e5+f(x,y+1,z)e6

對(duì)其進(jìn)行單位化得到種子點(diǎn)的特征向量O如下，用f1,f2,…,f6表示Oseed 的每一分量。

一般認(rèn)為血管區(qū)域是平滑的，八元數(shù)的 Cauchy 積分定理成立。那么血管局部同質(zhì)區(qū)域中，某一點(diǎn)的數(shù)值應(yīng)等于以該點(diǎn)為中心的區(qū)域邊界上取值的平均。使用如圖3的封閉區(qū)域?yàn)檠芯繉?duì)象，使用該區(qū)域邊緣的 26 鄰域的平均代表當(dāng)前點(diǎn)的特征，使用該特征進(jìn)行血管區(qū)域的提取。

圖3 26鄰域示意圖

選擇血管中的一點(diǎn)作為種子點(diǎn)，使用種子點(diǎn)的 26 鄰域上的八元數(shù)的平均作為種子點(diǎn)的特征向量，遍歷圖像數(shù)據(jù)，用種子點(diǎn)的特征向量與每一點(diǎn)的特征向量做內(nèi)積，通過判斷內(nèi)積值是否接近 1，來判斷該點(diǎn)是否為血管中的點(diǎn)。

由于需要遍歷所有體素點(diǎn)，并且對(duì)三維體數(shù)據(jù)的每一個(gè)體素點(diǎn)都構(gòu)造一個(gè)八元函數(shù)，并計(jì)算其 26 鄰域的平均值，因此，計(jì)算量很大，為減小數(shù)據(jù)量，本文只選擇體數(shù)據(jù)中灰度值與血管特征點(diǎn)灰度值相差在一定范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)參與計(jì)算。血管特征向量與數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的特征向量做內(nèi)積。利用八元函數(shù)乘法性質(zhì)對(duì)特征點(diǎn)八元函數(shù)與數(shù)據(jù)點(diǎn)八元函數(shù)的乘積來區(qū)別像素點(diǎn)，得到的內(nèi)積值越接近 1，且叉積的模越接近 0，則說明數(shù)據(jù)點(diǎn)越有可能是血管點(diǎn)。設(shè)定精確的限定值，在精確度允許的范圍內(nèi)的點(diǎn)為血管點(diǎn)，將判定為血管點(diǎn)的值及其坐標(biāo)位置對(duì)應(yīng)輸出。所有血管點(diǎn)輸出完成，即為分割的最終結(jié)果。具體算法流程如下：

(1)輸入腹部的 CT 序列圖像。對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)處理，利用反分割系統(tǒng)將骨骼去除。

(2)在血管區(qū)域選擇種子點(diǎn)，種子點(diǎn)的特征向量使用其26鄰域構(gòu)成八元數(shù)向量。

(3)遍歷圖像中的數(shù)據(jù)，選擇在灰度值閾值范圍內(nèi)的像素，計(jì)算每個(gè)像素的特征向量，并與種子點(diǎn)的特征向量作內(nèi)積。判斷內(nèi)積與 1 的差值是否在給定的閾值范圍內(nèi)。

(4)如果是，則輸出圖像中該點(diǎn)的值置為 255，否則置為 0。輸出圖像即為分割出的血管。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本章的實(shí)驗(yàn)在 WIN7 系統(tǒng)上進(jìn)行，CPU 2.4 GHz×2，內(nèi)存大小為4 GB。使用ITK+VS2010b 編碼。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為S70肝臟血管系統(tǒng)造影CT圖像(圖像大小為512×512×320)，選取的閾值為0.05。

考慮到提取血管精細(xì)程度，沒有對(duì)圖像做濾波去噪等預(yù)處理，只是調(diào)整圖像窗寬窗位充分顯示血管結(jié)構(gòu)，使圖像在0～255像素灰度空間得到較好的顯示，手動(dòng)選擇肝臟血管點(diǎn)參與算法計(jì)算。本章算法選取位置(136,247,162)處的血管點(diǎn)六維鄰域構(gòu)建血管點(diǎn)八元函數(shù)。

另外，三維分割算法生成三維的分割結(jié)果，在觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果時(shí)，可以通過以下兩種方式來直接觀察。

(1)通過三維體數(shù)據(jù)中特定的切片圖像查看；

(2)將分割后的切片數(shù)據(jù)序列進(jìn)行三維重建后顯示實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

對(duì)于S70,取第109張CT切片，如圖4所示。

圖4 S70第109張CT切片

分別使用本文算法與區(qū)域生長(zhǎng)算法分割后，各個(gè)切片的結(jié)果如圖5所示。

圖5 S70二維切片的分割結(jié)果圖

對(duì)兩種不同算法的分割結(jié)果分別進(jìn)行三維重建得到的血管模型如圖6所示。

圖6 三種算法對(duì)S70肝血管分割重建結(jié)果圖

由于每一個(gè)像素點(diǎn)對(duì)應(yīng)的八元函數(shù)都需要用封閉區(qū)域的邊緣點(diǎn)像素對(duì)應(yīng)的八元函數(shù)的平均來代替，并迭代地進(jìn)行內(nèi)積運(yùn)算，耗時(shí)較多。但從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：使用八元數(shù)Cauchy 積分公式這一高維的數(shù)學(xué)工具，與傳統(tǒng)的區(qū)域生長(zhǎng)算法相比較，提高了三維重建的精度，對(duì)于圖像缺失斷裂或噪聲污染具有很好的適用性。此方法能分割出更精細(xì)的血管，對(duì)臨床診斷和手術(shù)具有重要意義。

3 結(jié)論

醫(yī)學(xué)圖像分割是醫(yī)學(xué)圖像處理中的關(guān)鍵步驟，也是諸多學(xué)者研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。本文在此基礎(chǔ)上繼續(xù)挖掘、利用高維代數(shù)上的分析理論用于高維圖像的處理當(dāng)中并做血管的精細(xì)化分割。人的血管具有光滑的特性，基于此，本文將八元數(shù) Cauchy 積分定理應(yīng)用于血管的分割中。在計(jì)算過程中綜合考慮血管走向、鄰接多個(gè)像素點(diǎn)等，與僅考慮像素本身的方法相比較，在抗噪性、分割的精細(xì)度方面有明顯的提高。

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Vessel segmentation algorithm based on octionion Cauchy integral formula

Wang Xiaochan1, Wu Mingzhu2, Li Xingmin3

(1. Library, Southern Medical University, Guangzhou 510515, China;2. Computer Department, Guangzhou College of Commerce, Guangzhou 511363, China;3. School of Computer, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

Because of the influence of the noise in the image, the cracked blood vessel can not be separated, which leads to the problem that the segmentation precision is not high enough. This paper proposes a new three-dimensional region growing algorithm based on high dimensional mathematical tools：octonion vector product. The proposed method first uses traditional region growing algorithm to segment continuous blood vessels. The edges of the vessel are found by gradient calculation and they are used to be initial seeds in the octonion growing regions. Then the six neighborhood of seeds’ gray are used to construct octionions which represent the characteristics of seeds. The octonion vector product operation is used to connect the rupture vasculars which are under the influence of noise. Experimental results of the liver vessel segmentation show that the algorithm can quickly and efficiently segment more vessels. This octonion mathematical tools of high dimensions, which can consider multiple characteristics in the process of calculation, and this method has obvious advantages compared with the traditional vascular segmentation algorithm, and improved the accuracy of blood vessel segmentation.

octonion; Cauchay integral formula; vessel extraction; 3D reconstruction

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863計(jì)劃)(2012AA021105)

TP391

：A

10.19358/j.issn.1674- 7720.2017.17.013

王曉嬋，吳明珠，李興民.基于八元數(shù)Cauchy積分公式的血管分割算法[J].微型機(jī)與應(yīng)用，2017,36(17)：45-48,55.

2017-03-03)

王曉嬋(1988-)，女，碩士，助理館員，主要研究方向：數(shù)字圖像處理。吳明珠(1982-)，女，碩士，講師，主要研究方向：數(shù)字圖像處理，計(jì)算機(jī)仿真。李興民(1957-),男，博士，教授，主要研究方向：小波分析、八元數(shù)分析、數(shù)字圖。