MHD方程的高效數(shù)值方法研究

李雪　張海軍

摘 要 針對磁流體方程，構(gòu)造一種高分辨率熵穩(wěn)定格式。新格式通過在通量函數(shù)中嵌入限制器并在單元交界面處進(jìn)行WENO重構(gòu)以達(dá)到高分辨率的效果。算例結(jié)果表明，格式具有可靠性、無振蕩等特性。

關(guān)鍵詞 磁流體方程 CWENO重構(gòu) 熵穩(wěn)定 高分辨率

中圖分類號：V211.3 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

0 引言

磁流體力學(xué)（Magnetohydrodynamics，簡記為 MHD）是用經(jīng)典流體力學(xué)和電動力學(xué)的方法研究導(dǎo)電流體和電磁場相互作用的學(xué)科，通常指磁流體動力學(xué)。導(dǎo)電流體在電磁場里運(yùn)動時，會產(chǎn)生電流，該電流與磁場相互作用，產(chǎn)生洛倫茲力，不僅改變流體的運(yùn)動，而且改變電磁場。研究該類問題時，既要考慮其力學(xué)效應(yīng)，又要考慮其電磁效應(yīng)。MHD方程是非線性偏微分方程組，它的基本方程由流體力學(xué)中的Navier-Stokes方程（包括質(zhì)量守恒方程、動量守恒方程和能量守恒方程）和電磁學(xué)中的Maxwell方程耦合而成。

MHD方程組包含的方程個數(shù)多且具有非線性，一般情況下其解析解很難得到，只能數(shù)值求解，因此磁流體力學(xué)方程的高效數(shù)值方法研究是十分重要和非常必要的。本文主要研究求解MHD方程的高分辨率、無振蕩的高效數(shù)值方法。

為了簡單起見，在（x，t）平面內(nèi)采用均勻網(wǎng)格，守恒型半離散格式的一般表達(dá)式為：

dqj（t）/dt=-dx（fj+1/2fj-1/2） （1）

1 高分辨熵穩(wěn)定格式

Winters等基于Euler方程熵守恒通量的構(gòu)造方法，得到MHD方程的熵守恒通量f C，

本文在此基礎(chǔ)上嵌入S-M限制器Q，構(gòu)造了一種MHD方程的高分辨率熵穩(wěn)定數(shù)值通量：

fESL=fc0.5RA（IQ）SRT[[V]] （3）

其中，R為MHD方程通量函數(shù)f（q）的Jacobi矩陣的右特征向量矩陣，A為特征值矩陣，S為對角放縮比例矩陣。

2 WENO重構(gòu)

為了進(jìn)一步改進(jìn)熵穩(wěn)定格式，我們引入近年發(fā)展起來的加權(quán)本質(zhì)無振蕩方法（WENO： Weighted Essentially Non-Oscillatory）。WENO方法通過構(gòu)造基于不同模板的插值多項式的加權(quán)凸組合來獲得單元交界面處的高階近似。凸組合中的權(quán)重是一些所謂光滑因子的非線性函數(shù)，這些光滑因子可以度量模板的光滑性。如果解是光滑的，光滑因子的量級大致相同，使得各權(quán)重接近于理想的凸組合系數(shù)，從而在光滑區(qū)域WENO 格式可達(dá)到盡可能高的精度。若解在某個模板范圍內(nèi)出現(xiàn)間斷，該模板相應(yīng)的權(quán)重會自動退化為零。WENO 格式只選擇相對光滑的模板來構(gòu)造插值多項式，避免偽振蕩的產(chǎn)生。本文采用五階精度的 WENO方法來獲得單元交界面處的近似qi+1/2L，qi+1/2R，分別替代原來的qi和qi+1，由此得到的格式稱為W-ESL格式，具體的數(shù)值通量為

fE-ESL=f C（qi+1/2L，qi+1/2R）0.5RA（IQ）SRT（Vi+1/2L，Vi+1/2R） （4）

3 數(shù)值算例

本節(jié)討論Brio and Wu高馬赫數(shù)激波管問題，Brio和Wu將該激波管問題用來考核數(shù)值格式在解決高馬赫數(shù)問題時的穩(wěn)定性。其初始條件為

計算區(qū)域[-1， 1]，終止時間T=0.012。采用W-ESL格式進(jìn)行計算，計算結(jié)果示于下圖（其中的Ref代表參考解，由取5000個網(wǎng)格點(diǎn)的CWENO格式求得）：

4 結(jié)論

通過對數(shù)值算例的結(jié)果進(jìn)行分析，可以看出嵌入限制器并采用單元交界面處的WENO重構(gòu)所得到的高分辨率熵穩(wěn)定格式可以成功運(yùn)用到MHD方程的數(shù)值求解當(dāng)中，并獲得很好的計算結(jié)果，具有高分辨率、無振蕩等特性。

參考文獻(xiàn)

[1] Winters A R， Gassner G J. Affordable， entropy conserving and entropy stable flux functions for the ideal MHD equations [J].J Comput Phys，2016，304（1）：72-108.

[2] 任炯，封建湖，劉友瓊，梁楠.求解雙曲守恒律方程的高分辨率熵相容格式[J].計算物理，2014，32（5）：539-551.

[3] Qiu J， Shu C W. On the construction， comparison， and local characteristic decomposition for high-order central WENO schemes[J].J Comput Phys，2002，183：187-209 .endprint