具有相依理賠量的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題

于莉,王青芳,黃水弟

(1.合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院,安徽合肥230009)

(2.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥230009)

具有相依理賠量的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題

于莉1,2,王青芳2,黃水弟2

(1.合肥工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院,安徽合肥230009)

(2.合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽合肥230009)

本文研究了理賠量具有一階自回歸結(jié)構(gòu)以及在此條件下引入折現(xiàn)率和雙險(xiǎn)種兩種廣義離散時(shí)間金融風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)問題.利用數(shù)學(xué)遞推的方法,獲得了破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間分布和盈余首次穿過給定水平x的時(shí)刻分布所滿足的積分方程,并給出當(dāng)理賠量服從指數(shù)分布時(shí)相關(guān)破產(chǎn)分布的數(shù)值分析結(jié)果,推廣了經(jīng)典離散時(shí)間金融風(fēng)險(xiǎn)模型的結(jié)構(gòu)和破產(chǎn)問題.

折現(xiàn)率;雙險(xiǎn)種;一階自回歸結(jié)構(gòu);破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間;首次穿過給定水平

1 引言

文獻(xiàn)[1]考慮雙險(xiǎn)種的理賠量具有二維一階自回歸結(jié)構(gòu)的常利率二維離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型,通過隨機(jī)過程中的鞅方法得到了最終破產(chǎn)概率的倫德貝格不等式進(jìn)而導(dǎo)出了破產(chǎn)概率的指數(shù)上界,并結(jié)合數(shù)值分析了參數(shù)對(duì)上界影響;文獻(xiàn)[2]在利率滿足馬爾科夫性的條件下,通過數(shù)學(xué)遞推歸納方法得到了破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)后赤字聯(lián)合分布及最終破產(chǎn)概率滿足的遞推公式;文獻(xiàn)[3]在利率服從m階自回歸的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型中討論了保費(fèi)收入分別期初和期末繳納時(shí)破產(chǎn)前最大盈余分布等破產(chǎn)指標(biāo);文獻(xiàn)[4]考慮理賠總量具有一階自回歸模型的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型,利用隨機(jī)過程中鞅方法得到了最終破產(chǎn)概率的倫德貝格上界;文獻(xiàn)[5]利用無窮小方法研究了具有相依結(jié)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn)模型，得到了罰金折現(xiàn)期望函數(shù)所滿足的積分-微分方程,并給出了一些破產(chǎn)問題在積分-微分方程的應(yīng)用;文獻(xiàn)[6]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上繼續(xù)討論理賠量滿足一階自回歸結(jié)構(gòu)修正的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型中破產(chǎn)前的盈余等一些的破產(chǎn)分布;文獻(xiàn)[7]在折現(xiàn)率因素下對(duì)離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型中各破產(chǎn)指標(biāo)進(jìn)行討論;文獻(xiàn)[8]考慮一類索賠達(dá)到計(jì)數(shù)過程相關(guān)的兩險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)模型給出了分類破產(chǎn)概率的漸進(jìn)結(jié)果,并在指數(shù)索賠條件下得到分類破產(chǎn)概率的具體表達(dá)式;文獻(xiàn)[9]在允許理賠支出可延遲的情況下對(duì)索賠過程為復(fù)合二項(xiàng)過程的離散型風(fēng)險(xiǎn)模型采用遞推算法推導(dǎo)給出罰金折現(xiàn)期望函數(shù),進(jìn)而給出破產(chǎn)概率、破產(chǎn)赤字的概率以及聯(lián)合概率,最后結(jié)合數(shù)值插圖說明其實(shí)際意義;文獻(xiàn)[10]研究雙險(xiǎn)種離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型,當(dāng)索賠過程服從復(fù)合二項(xiàng)過程時(shí)得到罰金期望函數(shù)及有時(shí)間內(nèi)破產(chǎn)概率等結(jié)果.本文則在文獻(xiàn)[4,7,10]的基礎(chǔ)上研究兩種廣義的風(fēng)險(xiǎn)模型：理賠量滿足一階自回歸的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型及具有相依理賠量帶有雙險(xiǎn)種和折現(xiàn)率的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型,通過數(shù)學(xué)歸納遞推方法分別得到了破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間的分布以及盈余首次穿過給定水平x的時(shí)刻分布所滿足的積分方程,并將兩類模型進(jìn)行對(duì)比,得出相依理賠量帶有雙險(xiǎn)種和折現(xiàn)率的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型更加貼合實(shí)際,最后當(dāng)理賠量為指數(shù)分布時(shí)給出了數(shù)值分析.

假定保險(xiǎn)公司只經(jīng)營險(xiǎn)種A,修正的離散風(fēng)險(xiǎn)模型[4]

假定保險(xiǎn)公司同時(shí)經(jīng)營兩種相關(guān)險(xiǎn)種A和B,在所考慮的單位時(shí)期內(nèi)有固定的折現(xiàn)率δ,而u≥0表示初始盈余,保費(fèi)在每個(gè)時(shí)期期初收取而理賠在每個(gè)時(shí)期的期末支付,則在時(shí)刻n(n=0,1,2,···)保險(xiǎn)公司累積盈余折現(xiàn)到初始時(shí)刻的盈余為

其中c1和c2分別表示A和B兩個(gè)險(xiǎn)種的單位時(shí)間內(nèi)保費(fèi)收入量,{Xi,i=1,2,···}, {Yi,i=1,2,···}是兩個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量(r.v.)序列,分別表示在(i-1,i]時(shí)間內(nèi)險(xiǎn)種A和B的理賠支出,并假定Xi和Yi的期望值E(Xi)＜∞,E(Yi)＜∞.

此外考慮A和B兩個(gè)險(xiǎn)種的理賠量滿足AR(1)模型

其中|a|＜1和|b|＜1,且{Wi,i=1,2,···},{Vi,i=1,2,···}分別是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,這里記W0=ω,V0=ν.為了后面討論的方便,把滿足(1.2),(1.3)和(1.4)式的離散時(shí)間破產(chǎn)模型記為模型(II).

注在離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型(Ⅱ)中令δ=0且只考慮一個(gè)險(xiǎn)種即為離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型(I).

2 主要結(jié)果和證明

破產(chǎn)時(shí)刻即保險(xiǎn)公司的首次盈余小于零的時(shí)刻在模型(I)下定義為

在模型(Ⅱ)下定義為

下面討論在離散時(shí)間模型(I)和(Ⅱ)下破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間的分布和首達(dá)某一水平x的時(shí)刻分布.

2.1 破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間的分布

為了表明停時(shí)對(duì)初始準(zhǔn)備金的依賴關(guān)系,將破產(chǎn)后保險(xiǎn)公司的盈余首次回為正的時(shí)刻定義為[3]

于是,破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間定義為[3]

定理1在離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型(I)下破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間為n期的概率為

所以破產(chǎn)持續(xù)1期的概率為

由數(shù)學(xué)歸納法得到,對(duì)于k≥2有

所以破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間為2期的破產(chǎn)概率為

同理,由數(shù)學(xué)歸納法知當(dāng)?T(?u)=n時(shí),有

且破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間為n期的概率為Φn(?u)=P{?T(?u)=n}

2.2 首次穿過給定水平x的時(shí)刻

風(fēng)險(xiǎn)理論研究的一個(gè)主要問題是破產(chǎn)發(fā)生的概率,但是“破產(chǎn)”實(shí)際發(fā)生的可能性還是很小的,因而我們多數(shù)關(guān)注在什么時(shí)候保險(xiǎn)公司的盈余將達(dá)到一個(gè)給定的水平x[10].

對(duì)任意的x＞0,定義盈余過程{Un}+∞n=0首次穿過水平x的時(shí)刻為

則稱Tx為初始準(zhǔn)備金為u時(shí)盈余Un(u)首次穿過水平x的時(shí)刻.當(dāng)初始盈余為u,則記為Tx;初始盈余為?u,則記為?Tx.

定理3對(duì)修正的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型(I)其首次穿過水平x的時(shí)刻滿足下式

證由(2.17)式容易看出,當(dāng)x≤u時(shí),Tx=0.不失一般性,以下假定x＞u.記tn(u,x)=P{Tx=n}表示盈余過程最終能穿過水平x的概率.用ρ(u,x)描述首次穿過給定水平x的時(shí)刻的分布,則ρ(u,x)可以做如下分解

由(2.19),(2.20)和(2.21)式可得保險(xiǎn)公司盈余首次穿過給定水平x的時(shí)刻分布滿足積分方程

定理4對(duì)修正的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型(Ⅱ)其首次穿過水平x的時(shí)刻滿足下面的式子

3 數(shù)值分析

通過數(shù)學(xué)歸納法可得當(dāng)k≥2時(shí),由定理2知對(duì)離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型(Ⅱ)其破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間為n的概率

又由定理4對(duì)離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型(Ⅱ)其首次穿過水平x的時(shí)刻滿足下面的式子

由數(shù)學(xué)歸納法對(duì)n≥2有

進(jìn)而可得首次穿過水平x的時(shí)刻分布

在(2.27)和(2.28)式中取一種險(xiǎn)種且δ=0可得離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型(I)其破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間為n的概率和首次穿過水平x的時(shí)刻分布.

4 結(jié)論

本文研究了具有一階自回歸結(jié)構(gòu)理賠量的修正的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型和引入折現(xiàn)率和雙險(xiǎn)種因素且理賠相依的修正的離散時(shí)間風(fēng)險(xiǎn)模型,利用遞推方法得到了破產(chǎn)持續(xù)時(shí)間n的概率以及盈余首次穿過水平x所滿足的積分表達(dá)式,最后結(jié)合理賠服從指數(shù)分布給出了具體的結(jié)果,因而可以根據(jù)保險(xiǎn)公司給出的數(shù)據(jù)做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)分析.后期可以討論理賠量是n(n≥2)階自回歸結(jié)構(gòu),此外現(xiàn)實(shí)生活中除了雙險(xiǎn)種,折現(xiàn)率和理賠量的三個(gè)因素的影響還可以考慮受到投資和通貨膨脹等因素影響,雙險(xiǎn)種還可以推廣到多險(xiǎn)種,比如財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)、健康保險(xiǎn)、人身保險(xiǎn)、意外險(xiǎn)等.

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RUIN PROBLEMS FOR THE DISCRETE TIME INSURANCE RISK MODEL WITH THE DEPENDENT CLAIM AMOUNT

YU Li1,2,WANG Qing-fang2,HUANG Shui-di2
(1.School of Management,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China) (2.School of Mathematics,Hefei University of Technology,Hefei 230009,China)

In this paper,we consider two sorts of the general discrete-time insurance risk model when the claim amount has the f i rst-order autoregressive structure,then we also consider discount rate and double type risk on the condition of it.Using recursive method and mathematical induction,we can obtain the recursive expressions of the distribution of duration of ruin and the distribution of the moment when the surplus for the f i rst time through an assigned level x.The structure of the classical discrete time f i nancial risk model and ruin problems are generalized.

discount rate;double type risk;the f i rst-order autoregressive structure; duration of ruin;the f i rst time through an assigned level

O221.5

A

0255-7797(2017)05-1065-10

2016-09-16接收日期：2016-10-31

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金資助(JZ2016HGTB0724);合肥工業(yè)大學(xué)研究生教學(xué)改革研究重點(diǎn)項(xiàng)目基金資助(YJG2015Z01).

于莉(1978-),女,安徽淮北,講師,主要研究方向：金融風(fēng)險(xiǎn),供應(yīng)鏈管理.

2010 MR Subject Classif i cation：60E05