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    小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)

    2017-09-12 13:05:50李星云
    廣西教育·D版 2017年8期
    關(guān)鍵詞:演繹推理合情圖形

    推理作為理解抽象概念的工具,是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),也是數(shù)學(xué)的基本思維方式?!读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》(以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》)將推理能力作為十大核心概念之一,進(jìn)一步確立了推理能力在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要地位,同時(shí)指出:“推理能力一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題過程中,兩種推理的功能不同,相輔相成。”[1]然而,過去的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱片面關(guān)注數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,過于重視學(xué)生邏輯推理能力的培養(yǎng),從而忽略了合情推理能力的培養(yǎng)。雖然2001年的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》已經(jīng)開始認(rèn)識(shí)到合情推理的重要作用,但由于過度矯正又導(dǎo)致演繹推理能力有所淡化。由于演繹推理與合情推理的方式大相徑庭,因此一線教師需要深刻理解它們的內(nèi)涵與差別,以及如何在教學(xué)實(shí)踐中進(jìn)行有效培養(yǎng)。

    一、如何理解小學(xué)階段的數(shù)學(xué)推理

    由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷推出一個(gè)新的判斷的思維形式叫做推理。推理的種類有很多,在數(shù)學(xué)中主要有演繹(由一般到個(gè)別的推理)、歸納(由個(gè)別到一般的推理)、類比(由個(gè)別到個(gè)別的推理)三種。[2]其中,歸納和類比統(tǒng)稱為合情推理,主要是從已有的事實(shí)出發(fā),憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺,通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。而演繹推理則是根據(jù)一般性的真命題(或邏輯規(guī)則)推出特殊性命題的過程。研讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》可知,小學(xué)階段數(shù)學(xué)推理主要包括歸納、類比等以經(jīng)驗(yàn)和直覺為依據(jù)的合情推理,以及以確定法則為依據(jù)的演繹推理。[3]

    (一)演繹推理

    三段論作為演繹推理的一般模式,其一般的推理形式為:所有的M都是N;P是M;所以,P是N。在小學(xué)階段,演繹推理一般都是基于已學(xué)習(xí)的既定法則進(jìn)行簡單的推理。例如,2的倍數(shù)都是偶數(shù),4的倍數(shù)都是2的倍數(shù),所以4的倍數(shù)都是偶數(shù)。

    演繹推理作為數(shù)學(xué)論證的有力工具,其能力主要通過演繹推理活動(dòng)得以展現(xiàn)并獲得相應(yīng)的發(fā)展。由于小學(xué)生年齡小、認(rèn)知能力有限,因此對演繹推理能力的要求相應(yīng)降低。從《課程標(biāo)準(zhǔn)》可以看出,第一學(xué)段要求學(xué)生能夠運(yùn)用簡單概念對直接感知的事實(shí)進(jìn)行簡單推理,第二學(xué)段要求學(xué)生能夠用言語表述事實(shí)進(jìn)行演繹推理。其實(shí),在很多結(jié)論的推導(dǎo)中也會(huì)用到省略形式的演繹推理,如平行四邊形面積的推導(dǎo)過程,就是將平行四邊進(jìn)行剪切和平移得出一個(gè)長方形,再根據(jù)已經(jīng)推導(dǎo)出的長方形面積公式而推導(dǎo)出來的。

    (二)歸納推理

    歸納推理作為合情推理的一種形式,是從特殊到一般的推理。歸納法作為此種推理形式的主要方法,包括了實(shí)質(zhì)為演繹推理的完全歸納法以及帶有或然性的不完全歸納法。盡管不完全歸納法的結(jié)論并不具有必然性,但卻在科學(xué)活動(dòng)中有著極其重要的作用。通過觀察、實(shí)踐和推廣,猜測出一般性結(jié)論,可以幫助人們不斷地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,豐富和拓展研究內(nèi)容。[4]因此,歸納推理可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,并進(jìn)行大膽地猜想,是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法,對于學(xué)生的創(chuàng)造力和想象力的發(fā)展有著積極的促進(jìn)作用。

    在小學(xué)階段,由于學(xué)生的形式邏輯思維發(fā)展尚不成熟,因此僅是對不完全歸納法提出了要求。雖然《課程標(biāo)準(zhǔn)》并未明確提出,但一些具體學(xué)習(xí)內(nèi)容卻蘊(yùn)含了培養(yǎng)學(xué)生不完全歸納推理的教學(xué)目標(biāo)。例如,第二學(xué)段出現(xiàn)的對加法交換律([a+b=b+a])等運(yùn)算律的探索與了解,若要嚴(yán)格證明該性質(zhì),則需要利用皮亞諾公理進(jìn)行證明。小學(xué)四年級(jí)學(xué)生不可能理解這一高度形式化的公理,因而教師往往需要通過一些具體的運(yùn)算幫助學(xué)生理解,如2+3=3+2,3+5=5+3,通過引導(dǎo)學(xué)生觀察幾個(gè)特殊的例子,逐步歸納得出“兩個(gè)加數(shù)相加,交換加數(shù)的位置,和不變”這一規(guī)律,而這正是不完全歸納的過程。

    (三)類比推理

    類比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類不同的對象,在某些方面(如特征、屬性、關(guān)系等)的類同之處,猜測這兩個(gè)對象在其他方面也可能有類同之處,并作出某種判斷的推理方法。[5]與歸納法相同,利用類比法得到的結(jié)論可能為真,也可能為假,需要進(jìn)一步證明。

    類比推理在小學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用比較廣泛。例如:在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域,有整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)運(yùn)算的類比;將整數(shù)的運(yùn)算法則、順序和定律類比應(yīng)用到小數(shù)和分?jǐn)?shù)的運(yùn)算中;在圖形與幾何領(lǐng)域,有長方形和正方形的周長類比應(yīng)用到平行四邊形的周長。

    二、小學(xué)階段數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)

    推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方式,沒有推理,數(shù)學(xué)只是靜態(tài)的知識(shí),不可能得到發(fā)展。如何培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力,教師需要把握推理的內(nèi)涵,利用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域這一培養(yǎng)的載體,在厘清目標(biāo)間的聯(lián)系以及學(xué)生間的差異后,將其滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)過程中。

    (一)數(shù)學(xué)推理的培養(yǎng)要基于具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容

    “無內(nèi)容的推理只是空洞的推理、也是沒有任何意義的?!盵6]因而,在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力時(shí),教師需要依托數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域這一載體,結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容來進(jìn)行。

    1.歸納推理能力的培養(yǎng)

    歸納法在小學(xué)數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)中應(yīng)用較為廣泛,特別是或然性的不完全歸納,一些法則、規(guī)律、性質(zhì)的學(xué)習(xí)往往都是通過基于幾個(gè)特殊的例子對其進(jìn)行觀察、歸納并總結(jié)。梳理小學(xué)數(shù)學(xué)教材可以發(fā)現(xiàn),歸納推理主要包括以下3種形式。

    (1)公式的歸納

    數(shù)學(xué)公式作為數(shù)學(xué)知識(shí)的重要表現(xiàn)載體,從生成過程來看,與數(shù)學(xué)知識(shí)是一致的,并且對其推導(dǎo)過程的理解影響著學(xué)生對知識(shí)的理解。在小學(xué)階段,對于圖形的周長公式、面積公式、體積公式,以及正比例、反比例和百分?jǐn)?shù)等內(nèi)容,在教材中均通過探索交流歸納得出。

    例如,探索長方形的面積公式,教師通過引導(dǎo)學(xué)生觀察長方形中密鋪著的小正方形,初步形成猜想:長方形的面積為長乘以寬,進(jìn)一步選取幾個(gè)長方形進(jìn)行密鋪驗(yàn)證,從而得到長方形的面積公式??梢?,這一系列探索過程均是訓(xùn)練學(xué)生歸納推理的有效資源。因而,在教學(xué)相關(guān)內(nèi)容時(shí),教師需要在研讀教材的基礎(chǔ)上,設(shè)計(jì)相關(guān)的探索活動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)分析和比較,有條理地進(jìn)行思考。這不僅有助于學(xué)生歸納推理能力的形成,還有助于學(xué)生在歸納思考過程中獲得對數(shù)學(xué)對象屬性間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。endprint

    (2)法則的歸納

    由于數(shù)學(xué)法則常常反映出數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的聯(lián)系與趨勢,在內(nèi)容上包括具體的程序操作,因此是問題解決過程中需要頻繁使用的重要工具,也是小學(xué)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容之一。教材中的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)以及百分?jǐn)?shù)的加減乘除筆算法則,都是教師通過引導(dǎo)學(xué)生對幾個(gè)例子的觀察,在理解算理的基礎(chǔ)上組織學(xué)生在探索、交流中獲得。例如,學(xué)習(xí)“三位數(shù)除以一位數(shù)的法則”,教師可以讓學(xué)生在掌握除法口訣、口算乘法、筆算減法的基礎(chǔ)上,通過列豎式對其進(jìn)行探索和歸納。

    法則作為一種程序性知識(shí),需要學(xué)生在問題得到解決后熟練掌握,但由于數(shù)學(xué)中的法則比較多,只靠死記硬背肯定不行,因而在教學(xué)中教師需要注重法則的探尋教學(xué),通過提供具體的問題讓學(xué)生進(jìn)行分析與比較,在實(shí)際操作中歸納概括出具有規(guī)律性的結(jié)論。這一過程不僅能夠訓(xùn)練學(xué)生的歸納推理能力,而且通過由具體到一般的推理過程,也有助于學(xué)生理解和記憶數(shù)學(xué)概念。

    (3)規(guī)律的歸納

    探索規(guī)律是小學(xué)數(shù)學(xué)中的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容,根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》中所給的示例可以看出,這是一個(gè)“通過對個(gè)別、具體對象及其關(guān)系的觀察和比較,找到能夠制約這些對象及其關(guān)系的確定性因素,進(jìn)而通過歸納和解釋確定具有普遍性的規(guī)律”[7]的過程。可見,對于規(guī)律的探尋活動(dòng)也是歸納推理的重要途徑。在小學(xué)數(shù)學(xué)中主要有對算式、數(shù)列、圖形規(guī)律的探尋。因此,在教學(xué)時(shí),教師需要基于此平臺(tái),“引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動(dòng)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律,猜想某些結(jié)論,發(fā)展合情推理能力?!盵8]小學(xué)生的知識(shí)和能力有限,對規(guī)律進(jìn)行嚴(yán)格的證明相對困難,因此,一般通過具體的例子進(jìn)行驗(yàn)證。例如,在學(xué)習(xí)“2,3,5整除特征”時(shí),教師可以利用學(xué)生對2,3,5倍數(shù)認(rèn)識(shí)的已有經(jīng)驗(yàn),引導(dǎo)學(xué)生先對100以內(nèi)的數(shù)進(jìn)行探索,再分別歸納得出2,3,5倍數(shù)的特征,再進(jìn)一步用100以外的數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。

    2.類比推理能力的培養(yǎng)

    與歸納推理類似,小學(xué)階段的一些數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則等,都可以通過類比得出。

    (1)概念、性質(zhì)、法則的類比

    小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念比較抽象,如果嚴(yán)格定義,學(xué)生理解起來較為困難,甚至無法理解,再加上一些概念在其內(nèi)涵上具有一定的類似性或同一性,因此,很多數(shù)學(xué)概念都可以利用類比法進(jìn)行描述和定義。比如,圓的周長與面積可以通過與長方形的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行類比。再如,商不變性質(zhì)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的性質(zhì)、比的性質(zhì)均存在密切的關(guān)系,學(xué)生也可以通過類比的方法來理解和掌握。

    (2)立體與平面的類比

    體會(huì)立體圖形與平面圖形二者的聯(lián)系是小學(xué)階段空間與圖形領(lǐng)域的教學(xué)目標(biāo)之一。學(xué)生通過認(rèn)識(shí)平面圖形與立體圖形,體會(huì)二維空間與三維空間的轉(zhuǎn)化。因此,在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面圖形后,教師可以將一些概念和性質(zhì)類比到認(rèn)識(shí)立體圖形中去。

    例如,面積是求一個(gè)平面圖形所占的平面大小,相類似的,體積則可以理解為一個(gè)立體圖形所占的空間大小。從這個(gè)角度來看,面積公式和體積公式的推導(dǎo)過程和推導(dǎo)方法也具有相類似的地方。

    基于上述分析可知,部分?jǐn)?shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則等內(nèi)容的學(xué)習(xí)能夠?yàn)榕囵B(yǎng)學(xué)生的類比推理能力提供契機(jī)。為了更好地在教學(xué)中利用這一契機(jī)發(fā)展學(xué)生的類比推理能力,教師對數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則等內(nèi)容要有深入的理解,在梳理相關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)上,利用類比的正向遷移特性,在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)以相似部分作為基點(diǎn),通過復(fù)習(xí)回顧、設(shè)計(jì)“隱藏”聯(lián)系的數(shù)學(xué)問題,幫助學(xué)生在理解已有內(nèi)容的基礎(chǔ)上,經(jīng)歷觀察比較—尋找相似點(diǎn)—建立聯(lián)系—形成猜想—進(jìn)行驗(yàn)證的過程,基于所找到的兩個(gè)對象之間所存在的相似的或相同的形式或性質(zhì)作出類比。這一過程不僅有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中掌握類比推理的一般方法與經(jīng)驗(yàn),還可以幫助他們對已有知識(shí)進(jìn)行拓展,形成系統(tǒng)的知識(shí)體系。由于類比方法是一種非邏輯思維方法,因此推理所得到的結(jié)論具有一定的或然性。在教學(xué)過程中,教師還要培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證或說理的意識(shí),簡單解釋類比的過程和依據(jù),引導(dǎo)學(xué)生明確類比得出的結(jié)論并不一定正確。

    3.演繹推理能力的培養(yǎng)

    雖然演繹推理是解決數(shù)學(xué)問題的主要方法,但是考慮到小學(xué)生的年齡與認(rèn)知特點(diǎn),在小學(xué)階段培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力,更多的還是要將其融入合情推理以及日常數(shù)學(xué)教學(xué)過程中。

    《課程標(biāo)準(zhǔn)》在對演繹推理進(jìn)行論述時(shí)指出:“通過實(shí)例使學(xué)生逐步意識(shí)到,結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)?!盵9]可見,小學(xué)階段對于演繹推理的學(xué)習(xí)更多是希望學(xué)生在發(fā)展合情推理的基礎(chǔ)上認(rèn)識(shí)并感受到演繹推理的存在和必要性,通過解決具體的數(shù)學(xué)問題體會(huì)兩種推理各自的優(yōu)點(diǎn)與不足,從而進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到兩種推理相互依存的關(guān)系。

    例如,比較[25]與[2+25+2],[38]與[3+48+4],[710]與[7+710+7]這3組分?jǐn)?shù)的大小會(huì)發(fā)現(xiàn),在每一組分?jǐn)?shù)中,把分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)加上一個(gè)大于0的數(shù),這個(gè)分?jǐn)?shù)就會(huì)變大,由此歸納得出:分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)加上一個(gè)大于0的數(shù),分?jǐn)?shù)值一定變大。你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確嗎?

    學(xué)生通過對3組分?jǐn)?shù)進(jìn)行驗(yàn)算會(huì)發(fā)現(xiàn),這個(gè)結(jié)論是適用的,但僅通過3個(gè)例子就得出這個(gè)結(jié)論,缺乏一定的合理性。這也是歸納法與合情推理的弊端。因而,在進(jìn)行歸納推理的教學(xué)中,教師還要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到其不足之處。因此,當(dāng)學(xué)生有了猜想后,教師不妨繼續(xù)提出問題:“這個(gè)結(jié)論是否存在問題,如果有,你能說說理由嗎?”同時(shí)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考并跳出已有的實(shí)例,尋找一個(gè)反例進(jìn)行驗(yàn)證。比如,分?jǐn)?shù)[32],當(dāng)其分子和分母分別加上1后,其結(jié)果為[3+12+1]=[43=86<96=32],這說明原結(jié)論存在一定的問題。通過這個(gè)案例,學(xué)生不僅能夠在驗(yàn)算、觀察等活動(dòng)中發(fā)展歸納推理能力,還可以在思考結(jié)論是否合理的過程中明確所歸納的結(jié)論并不一定正確。當(dāng)然,在這個(gè)過程中,教師需要及時(shí)進(jìn)行點(diǎn)撥,讓學(xué)生明確要獲知猜想或結(jié)論是否正確僅靠歸納、類比是不夠的,還要對其進(jìn)行證明,從而意識(shí)到演繹推理的必要性。endprint

    (二)推理能力的培養(yǎng)應(yīng)融入日常教學(xué)過程

    培養(yǎng)學(xué)生的推理能力并非一日之功,需要長期的積累。正如《課程標(biāo)準(zhǔn)》所指出的:“推理能力的發(fā)展應(yīng)當(dāng)貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中?!盵10]因而,教師應(yīng)將推理能力的培養(yǎng)作為重要的教學(xué)目標(biāo),并將其滲透到日常的課堂教學(xué)之中。

    知識(shí)與能力相互促進(jìn)。學(xué)生具有豐富的知識(shí)可以提升能力,反過來,能力的提高也能夠幫助學(xué)生更好更快地學(xué)習(xí)新知識(shí)。因此,教師可以將學(xué)生能力的培養(yǎng)融入日常教學(xué)中,并巧妙地利用學(xué)習(xí)新知識(shí)的契機(jī)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

    例如,在教學(xué)“三角形和梯形面積公式”時(shí),教師可以啟發(fā)學(xué)生將其與平行四邊形面積公式的推導(dǎo)進(jìn)行類比。在這個(gè)過程中,學(xué)生不僅學(xué)到了新知,而且也提高了類比推理的能力。又如,線、面、體的類比:線段有長短,用長度單位來計(jì)量;平面圖形有大小,用面積單位來計(jì)量;立體圖形占的空間有大有小,用體積單位來計(jì)量。點(diǎn)動(dòng)成線,線動(dòng)成面,面動(dòng)成體。通過類比,學(xué)生不僅能夠掌握線、面、體的知識(shí),而且在進(jìn)行類比的過程中可以更好地把握三者之間的內(nèi)在聯(lián)系。

    為了更好地將推理能力的培養(yǎng)融入教學(xué)中,教師需要深入挖掘教材內(nèi)容,發(fā)現(xiàn)更多的培養(yǎng)學(xué)生推理能力的素材與載體。

    以“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”為例,教材先是通過把一個(gè)物體(如月餅)、一個(gè)圖形平均分成幾份表示其中的一份,引導(dǎo)學(xué)生初步歸納得出分子為1的分?jǐn)?shù);接著根據(jù)表示其中的幾份進(jìn)一步歸納得出分子是幾的分?jǐn)?shù);最后根據(jù)把多個(gè)物體平均分成幾份,表示其中的一份或兩份即為分?jǐn)?shù)。通過三個(gè)層次的學(xué)習(xí),教師引導(dǎo)學(xué)生逐步歸納總結(jié),讓學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。當(dāng)然,這樣的素材也存在于習(xí)題中。

    四年級(jí)上冊“平行線”這一內(nèi)容就有這樣的練習(xí)題:在下圖中,[a]//[b],量一量∠1和∠2的度數(shù),你能發(fā)現(xiàn)什么?

    雖然小學(xué)階段沒有學(xué)習(xí)平行線同位角性質(zhì)的知識(shí),但是教師可以在教學(xué)時(shí)組織學(xué)生對這兩個(gè)角進(jìn)行測量,通過觀察測量結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。在這個(gè)過程中,教師不能局限于問題本身,而是要鼓勵(lì)學(xué)生對測量結(jié)果和觀察結(jié)果進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)其位置關(guān)系并進(jìn)一步歸納得出數(shù)量關(guān)系,在交流中學(xué)會(huì)表達(dá)自己的猜想。同時(shí),為了更全面地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力,教師還要在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出問題“你的猜想是否合理”,啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考,促使學(xué)生結(jié)合觀察位置的關(guān)系對其余對應(yīng)的幾組角進(jìn)行測量,在驗(yàn)證其正確性的同時(shí)認(rèn)識(shí)到演繹推理的作用。

    (三)推理能力的培養(yǎng)需注意層次性和差異性

    通過梳理《課程標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)“數(shù)學(xué)推理”的教學(xué)目標(biāo)可以發(fā)現(xiàn),其對不同學(xué)段學(xué)生推理能力的教學(xué)目標(biāo)要求是不同的,具有一定的層次性。

    第一學(xué)段主要涉及以下3點(diǎn):探索簡單情境下的變化規(guī)律;能對事物進(jìn)行簡單的分類;逐步學(xué)會(huì)有根據(jù)有條理地思考問題。第二學(xué)段則囊括了下面3條:探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢;能夠進(jìn)行有條理有根據(jù)的思考,能比較清楚地表達(dá)自己思考的問題及結(jié)果;知道通過歸納推理得出的結(jié)論存在或然性,培養(yǎng)驗(yàn)證或說理的意識(shí),簡單解釋歸納推理的過程和依據(jù)。因此,在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力時(shí),教師需要注意教學(xué)目標(biāo)的層次性,結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容循序漸進(jìn)地開展教學(xué)。

    《課程標(biāo)準(zhǔn)》對第一學(xué)段所提供的“教學(xué)實(shí)例10”進(jìn)行說明時(shí)明確指出:“如果學(xué)生在觀察上圖或者發(fā)現(xiàn)規(guī)律存有困難,教師可以引導(dǎo)從簡單的情形入手,比如,兩個(gè)加數(shù)先限制在5以內(nèi)?!盵11]

    教師在進(jìn)行推理教學(xué)時(shí),需要考慮學(xué)生已有的認(rèn)知水平,在了解學(xué)生已有認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)有層次性的開放性問題,鼓勵(lì)學(xué)生積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng),在思考問題與解決問題的過程中培養(yǎng)推理能力,讓學(xué)生在能力范圍內(nèi)獲得解決問題的成就感。

    例如,教學(xué)了“圓柱體積計(jì)算公式”后,教師可以設(shè)計(jì)如下問題:下面4個(gè)圖形的面積都是36m2。將這些圖形分別卷成圓柱,哪個(gè)圓柱的體積最?。磕膫€(gè)圓柱的體積最大?你有什么發(fā)現(xiàn)?

    對于大多數(shù)學(xué)生而言,若熟練掌握圓柱體的體積公式,則可以基于此公式以及題目所給出的條件,通過計(jì)算解決題目中的前面兩個(gè)問題。由于第三個(gè)問題是開放性問題,學(xué)生需要結(jié)合前面兩個(gè)問題所隱含的規(guī)律進(jìn)行歸納與概括,因而難度較大。因此,這一問題對學(xué)生的演繹推理能力要求相對較高,教師不必要求所有的學(xué)生都給出完美的答案。對于能力較強(qiáng)的學(xué)生,教師可以先引導(dǎo)學(xué)生從一般公式入手,嘗試轉(zhuǎn)化公式:[V=πr2h=12r×2πrh=12r×Ch](其中[C]是長方形的一條邊長,[h]是另一條邊長),認(rèn)識(shí)到[Ch]實(shí)際上就是長方形的面積;同時(shí)基于此引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、動(dòng)手操作,進(jìn)一步歸納并發(fā)現(xiàn)問題解決的關(guān)鍵,即考查一個(gè)長方形卷成圓柱后的體積大小,在長方形面積不變的情況下,取決于底面積半徑大小這一規(guī)律。

    參考文獻(xiàn):

    [1][8][9][10][11]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)[S].北京:北京師范大學(xué)出版社,2012:6.50-51.51.50.78.

    [2][3][4][5]李星云.小學(xué)數(shù)學(xué)專題研究[M].蘇州:蘇州大學(xué)出版社,2001:24.75-76.131.122.

    [6]郭蓮榮,蘇暢.如何培養(yǎng)演繹推理能力[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報(bào),2006(2):95-97.

    [7]郜舒竹.什么是“探索規(guī)律”[J].教學(xué)月刊(小學(xué)版),2013(11):13-16.

    (責(zé)編 歐孔群)endprint

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