無(wú)窮區(qū)間上的模糊值函數(shù)的積分

曹周斌，吳健榮

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009）

無(wú)窮區(qū)間上的模糊值函數(shù)的積分

曹周斌，吳健榮*

（蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009）

通過(guò)引進(jìn)模糊數(shù)的一種新的序關(guān)系，在已有模糊值函數(shù)在有界閉區(qū)間上積分的基礎(chǔ)上，利用此序關(guān)系導(dǎo)出的模糊數(shù)列的極限，將模糊值函數(shù)在有界閉區(qū)間上的積分推廣到了在無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分，并初步討論了該廣義積分的基本性質(zhì)及可積條件。

模糊值函數(shù)；無(wú)窮區(qū)間；廣義積分；可積條件

對(duì)于取值為一維的正規(guī)閉模糊數(shù)的模糊值函數(shù)，其積分的定義最早見(jiàn)于Dubois與Prade[1]的工作。爾后，羅承忠與王德謀[2]定義了區(qū)間值函數(shù)的Riemann積分，進(jìn)而利用模糊數(shù)的表示定理及區(qū)間分析的工具，又定義了模糊值函數(shù)的Riemann積分。1986年，Matloka[3]采用先對(duì)區(qū)間進(jìn)行分割，再分別求大和、小和的方法，定義了模糊值函數(shù)的Riemann積分，即（M）積分。1989年，Nanda[4]利用區(qū)間數(shù)的偏序關(guān)系，對(duì)一維模糊數(shù)空間E1引進(jìn)了偏序關(guān)系，從而定義出一族模糊數(shù)的上、下確界，在此基礎(chǔ)上，定義了模糊值函數(shù)的Riemann-Stieltjes積分。1989年，郭述忠[5]初步討論了區(qū)間值函數(shù)與模糊值函數(shù)的無(wú)窮積分。1991年，吳從炘和馬明[6]在模糊值函數(shù)取值為一維模糊數(shù)的情況下，借助嵌入定理用抽象函數(shù)的Riemann積分對(duì)（M）積分進(jìn)行了刻劃。在2000年，畢淑娟，吳從炘[7]定義了模糊數(shù)的一種新的序關(guān)系，并在此序關(guān)系下研究了模糊數(shù)列的極限。隨后，畢淑娟分別在文獻(xiàn)[8-9]中研究了模糊數(shù)列的極限及模糊數(shù)的連續(xù)性，模糊值函數(shù)的極限及連續(xù)性。在以上基礎(chǔ)上，2003年，畢淑娟又在文獻(xiàn)[10]中給出了模糊值函數(shù)在有界閉區(qū)間上的積分，并證明了這種積分具備線性性、有限可加性、單調(diào)性等基本性質(zhì)。

近年來(lái)，模糊值函數(shù)的積分理論研究又取得了一些新的進(jìn)展。例如：2013年，殷鳳，王鵬飛[11]討論了復(fù)模糊值函數(shù)的積分及其性質(zhì)。同年，Bica[12]提出了單邊模糊數(shù)的概念，并討論了單邊模糊數(shù)值函數(shù)的積分及其應(yīng)用。2012年，Bongiornoa[13]等研究了模糊值函數(shù)的Henstock積分和McShane積分，建立了Henstock可積的模糊值函數(shù)的分解定理；2015年，Musia?[14]進(jìn)一步將上述結(jié)論推廣到Banach空間模糊值函數(shù)（即取值為Banach空間上模糊數(shù)的函數(shù)）的Henstock積分情形。

鑒于無(wú)窮區(qū)間上廣義積分的廣泛應(yīng)用背景，筆者將利用模糊數(shù)的極限，引進(jìn)一種新的模糊值函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分，討論該積分的基本性質(zhì)，并給出若干可積條件。

1 預(yù)備知識(shí)

為方便起見(jiàn)，首先給出文中所要使用到的一些基本概念，主要內(nèi)容可參見(jiàn)文獻(xiàn)[7-10]。

定義1 設(shè)u~：R→[0，1]滿足以下性質(zhì)：

反之，對(duì)任何滿足上述條件（1）-（4）的[0，1]上的函數(shù) a（r）與 b（r），存在唯一的∈E1使得[]r=[a（r），b（r）]（?r∈[0，1]）。

下面，在模糊數(shù)空間E1中引進(jìn)一種偏序。

定義4 模糊數(shù)空間中的加減法與數(shù)乘定義如下

模糊數(shù)與實(shí)數(shù)的加、減法即為模糊數(shù)與實(shí)數(shù)所相應(yīng)的模糊數(shù)的加、減法。

稱(chēng)由區(qū)間族{α（r），β（r），r∈[0，1]}所確定的模糊數(shù)為模糊數(shù)的絕對(duì)值，記作

定義6 設(shè)A?E1，若存在∈E1，使得有，則稱(chēng)是A的上界；若存在∈E1，使得有，則稱(chēng)是A的下界，如果A既有上界又有下界，則稱(chēng)A有界。

定義 7 設(shè) U?E1，若存在，滿足：

文獻(xiàn)[9]證明了上述模糊值函數(shù)積分具有線性性、有限可加性、單調(diào)性以及對(duì)區(qū)間的可加性等。

2 無(wú)窮區(qū)間上模糊值函數(shù)的積分及性質(zhì)

證明 方法常規(guī)，此略。

充分性。假定對(duì)任意單調(diào)遞增的數(shù)列{an}?[a，+∞），a1=a且，都有收斂于，因此，它的部分和序列：收斂于。由引理1，有

證明 由定理3可得證畢。

注：在[a，+∞）上有界的模糊值函數(shù)未必可積。

3 結(jié)語(yǔ)

筆者利用模糊數(shù)的一種新的序關(guān)系，導(dǎo)出的模糊數(shù)列的極限，在此基礎(chǔ)上，將模糊值函數(shù)積分的積分區(qū)域從有界閉區(qū)間推廣到無(wú)窮區(qū)間，從而引進(jìn)了模糊值函數(shù)的廣義積分；另外，初步研究了該廣義積分的一些基本性質(zhì)，包括收斂條件。所得結(jié)果對(duì)進(jìn)一步深化該廣義積分的理論研究和應(yīng)用研究奠定了必要的基礎(chǔ)。

[1]DUBOIS D，PRADE H.Towards fuzzy differential calculus，Part I：Integration of fuzzy mappings[J].Fuzzy Sets and Systems，1982，8：1-17.

[2]羅承忠，王德謀.區(qū)間值函數(shù)積分的推廣與Fuzzy值函數(shù)的積分[J].模糊數(shù)學(xué)，1983，3：45-52.

[3]MATLOKA M.On fuzzy integrals[C]//2nd Polish Sympo.On Interval and Fuzzy Math，Poznan，1986：163-170.

[4]NANDA S.On fuzzy integrals[J].Fuzzy Sets and Systems，1989，32：95-101.

[5]郭述忠.區(qū)間值函數(shù)與模糊值函數(shù)的無(wú)窮積分[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，1989（3）：39-58.

[6]吳從炘，馬明.模糊分析學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1991：87-94.

[7]畢淑娟，吳從炘.模糊數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及模糊數(shù)的距離與極限[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2000，14（3）：40-44.

[8]畢淑娟.模糊數(shù)列的極限及模糊數(shù)的連續(xù)性[J].哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，6（2）：71-74.

[9]畢淑娟.模糊值函數(shù)的收斂性及連續(xù)性[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，18（3）：330-333.

[10]畢淑娟.模糊值函數(shù)的積分及其性質(zhì)[J].黑龍江大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2003，20（3）：46-49.

[11]殷鳳，王鵬飛.復(fù)模糊值函數(shù)的積分及其性質(zhì)[J].重慶師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2013，30（5）：76-79.

[12]BICA A M.One-sided fuzzy numbers and applications to integral equations from epidemiology[J].Fuzzy Sets and Systems，2013，219：27-48.

[13]BONGIORNOA B，PIAZZAA L DI，MUSIA? K， A decomposition theorem for the fuzzy Henstock integral[J].Fuzzy Sets and Systems，2012，200：36-47.

[14]MUSIA? K.A decomposition theorem for Banach space valued fuzzy Henstock integral[J].Fuzzy Sets and Systems，2015，259：21-28.

Integral of fuzzy-valued functions on infinite intervals

CAO Zhoubin，WU Jianrong*
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

In this paper,we introduced a new kind of order relation of fuzzy numbers.On the basis that the integration of fuzzy-valued functions was on the bounded closed intervals,we generalized it from bounded closed intervals to infinite intervals with the limit of the sequence of fuzzy numbers derived from the order relation.In addition,we discussed the fundamental properties of and the integrability conditions for this new kind of generalized integral.

fuzzy valued function；infinite interval；generalized integral；integrability condition

O172.2 MR（2010）Subject Classification：26E50

A

2096-3289（2017）03-0019-06

責(zé)任編輯：謝金春

2016-01-04

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11371013）

曹周斌（1990-），男，江蘇蘇州人，碩士研究生，研究方向：模糊分析學(xué)。

*通信作者：吳健榮（1963-），男，博士，教授，碩士生導(dǎo)師，E-mail：jrwu@mail.usts.edu.cn。