數(shù)乘向量及其幾何意義課堂教學的幾點思考

鄧杰

摘 要：2017年4月14日我校舉辦了2017年廣西高中數(shù)學課堂教學研討活動，活動以“數(shù)乘向量及其幾何意義”為其中一個教學研討內(nèi)容，崇左市的幾位老師關于該研討內(nèi)容為我們展示了5節(jié)精彩的課堂教學，課堂中老師們不僅很好的完成了既定的教學目標，還讓學生們能很好的融進課堂，感受數(shù)學知識的產(chǎn)生與發(fā)展。

關鍵詞：數(shù)乘向量 幾何意義 課堂教學

近日反思了這幾節(jié)課的精彩內(nèi)容，以及課改專家們對這幾節(jié)課的評價，我對“數(shù)乘向量及其幾何意義”這節(jié)課的課堂教學形成了幾點思考，具體如下：

一、課題引入

我市的高一下學期采用的數(shù)學教材是北師大版必修四，教材中的【實例分析】介紹了兩個實例：① 閃電的聲速和光速這兩個向量的關系；② 一重物由高空自由落下，在1s和2s末的速度這兩個向量的關系，這兩個引例用的非常新穎和到位，我們應好好加以利用，原因如下：

閃電的聲速v聲和光速v光兩個向量的關系為：v光=8.7×105 v聲，1s末物體的速度v1和2s末物體的速度v2兩個向量的關系為：v2=2v1.這說明在實際生活中存在共線且大小存在倍數(shù)關系的兩個向量，從而引出定義實數(shù)與向量積的運算的必要性，體現(xiàn)數(shù)學知識來源于生活；由于閃電的光和聲音是從閃電處往各個方向傳播的，我們研究的聲音向量和光傳播向量僅僅比較的是閃電點指向我們觀察者的兩個向量，這培養(yǎng)了學生把實際問題轉化為數(shù)學問題的能力，且培養(yǎng)了學生的表達嚴謹性，體現(xiàn)數(shù)學高于生活。

由于以上的原因，我們引入數(shù)乘向量及其幾何意義的內(nèi)容時，需特別強調(diào)課本中關系研究數(shù)乘向量必要性的一句話：“以上實例分析說明在實際中存在這樣的兩個向量，它們是共線的，而且大小之間存在倍數(shù)關系.因此，有必要定義實數(shù)與向量積的運算”。

二、新知講解

讓學上掌握數(shù)乘向量的定義及其幾何意義是這節(jié)課重點內(nèi)容，教學過程中我們可以讓學生利用向量的加法和減法做出3a=a+a+a和-3a=-a-a-a所表示的有向線段，通過作圖、觀察，感受數(shù)乘向量的定義的產(chǎn)生過程，引導學生根據(jù)實例緊扣模與方向兩個方面總結出數(shù)乘向量的定義：

實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：

（1）|λa|=|λ||a|；

（2）當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；由（1）可知，λ=0時，λa=0.

在總結定義時，強調(diào)定義中包括0<|λ|<1的情況.

由定義可知因為數(shù)乘向量的幾何意義主要包括兩個方面：（1）向量λa與向量a這兩個向量表示的有向線段的方向的變換關系；（2）λa將a表示的有向線段伸長或壓縮|λ|倍.數(shù)乘向量的定義與幾何意義是向量共線判定定理、性質定理和平面向量基本定理的推導依據(jù)，所以需要重點分析.

三、運算律的推導與記憶

給出問題：“實數(shù)與向量的積是否滿足運算律：λ（a+b）=λa+λb？”同學們進行推導，在推導的過程中同學們會對數(shù)乘向量的幾何意義有一個直觀且更深刻的理解，為后續(xù)的平面向量基本定理的推導打下穩(wěn)固的基礎.如果同學們在推導過程中沒考慮到和λ<0和λ=0兩種情況，需要進行補充，培養(yǎng)學生的思維嚴謹性。其他的運算律可讓學生課后進行推導，并且引導學生類比實數(shù)運算律對實數(shù)與向量的運算律進行記憶。學習過程中我們還應提及線性表示的概念。

接下來讓學生做課本的例題1對實數(shù)與向量的運算律進行鞏固，對照答案即可。

四、向量共線的判定定理

由于a與λa是共線向量，對于a（a≠0），b，如果b =λa（即b與λa是相等向量），則a與b是共線向量.

由此，我們得到向量共線的判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實數(shù)λ，使得b =λa，則向量b與非零向量a共線。

接下來我們可以拋出一個問題：“上面的判定定理反之是否成立？（即：“若向量b與非零向量a共線，則存在一個實數(shù)λ，使得b =λa.”是否成立？）若成立，請證明；若不成立，請說明理由.”這能很好的吸引同學們的注意力，培養(yǎng)同學們的逆向思維、猜想和推理的能力.

同學們?nèi)绻泻侠淼淖C法應給予展講的機會，培養(yǎng)學生的表達能力，展講中若有不嚴謹?shù)牡胤郊右砸龑ВW生的展講成果給予及時的評價。

定理可以這樣證明：若已知向量b與非零向量a共線，則向量b的長度一定是向量a的長度的某個倍數(shù)，假設為λ（λ>0）倍，所以有：

（1）當向量b與非零向量a同向，實數(shù)λ與非零向量a的積λa與向量b方向相同且長度相等，則有b =λa；

（2）當向量b與非零向量a反向，實數(shù)-λ與非零向量a的積-λa與向量b方向相同且長度相等，則有b =-λa；

（3）當向量b =0，實數(shù)0與非零向量a的積為0a，則有b =0a=0；

其中λ，-λ，0均為實數(shù)，所以“若向量b與非零向量a共線，則存在一個實數(shù)λ，使得b =λa.”

共線定理包括共線的判定定理和共線的性質定理，是充要條件，應提醒同學們進行對比記憶。判定定理一般用來證明兩個向量共線，也可以用來證明三點共線等問題；而性質定理是證明平面向量基本定理的基礎，起到承前啟后的作用，還能用來解決很多向量的問題，如向量的線性表示，知共線求參數(shù)等問題，在高中數(shù)學向量知識中具有相當重要的地位。

所以對于兩個定理我們應給予一些例題對知識進行鞏固，例題可以選取人教版必修四89頁的例6、例7，這兩個例題分別考查了這兩個定理的知識，還為平面向量基本定理的學習打下了基礎。若時間允許還可選取北師大版必修四82頁的例3，這個例題可以作為一個結論進行延伸學習，解決一些共線問題，采用這個結論能取得意想不到的效果，該結論為：“A、B、C是平面內(nèi)的三個點，且A與B不重合，P是平面內(nèi)任意一點，若點C在直線AB上，則存在實數(shù)λ，使得”。

以上就是數(shù)乘向量及其幾何意義這節(jié)教學設計的一些思路，設計思路主要是根據(jù)教學大綱的要求，在本節(jié)課的學習中需讓學生能體會數(shù)學來源于生活高于生活，學會如何把生活中的數(shù)學問題數(shù)學語言化，體會定義定理的產(chǎn)生過程，嘗試去總結定義、定理，在作圖、推理的過程中提升數(shù)形結合的能力，培養(yǎng)嚴謹?shù)臄?shù)學思維。

參考文獻

[1]陳傳熙. 注重過程揭示背景提升素養(yǎng)——談談“向量的數(shù)乘運算及其幾何意義”的教學設計[J]. 數(shù)學通報， 2016， 55（5）：39-42.endprint