處理多元函數(shù)最值問題的幾種常見方法

展晨

縱觀各級(jí)高考模擬試題，競(jìng)賽試題中，多元函數(shù)最值問題屢見不鮮，多元函數(shù)問題在高等數(shù)學(xué)中非常常見，但如何用初等數(shù)學(xué)的知識(shí)處理這部分內(nèi)容，是目前高考形勢(shì)下值得研究的一類問題，下面以以2014年高考遼寧卷理科16題為例，談?wù)勥@類問題適合高中生學(xué)習(xí)的幾種解法。

對(duì)于c>0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a-2ab+4b-c=0且使2a+b最大時(shí)，-+的最小值為 。

本題是一個(gè)求三元函數(shù)最值的問題。通常情況下，消元是處理多元問題最基本的方法。分析題干可以得出，問題中的最小值是在一個(gè)三元方程中，目標(biāo)函數(shù)取得最大值這個(gè)條件下去求，解題的方向可以考慮尋求2a+b最大時(shí)a，b，c之間的關(guān)系，將三元函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)的最值問題。

解法一：基本不等式法

考慮將三元方程利用基本不等式化為含有2a+b的形式，根據(jù)等號(hào)成立的條件去尋求a，b，c之間的關(guān)系。

以下同解法一。

多元問題，字母多，式子復(fù)雜，一般來說，消元是解決此類問題首選的方法，上述解法中，找a，b，c的關(guān)系，換元，代入等方法都體現(xiàn)了消元的思想，但本題的入口較寬，幾種解法的出發(fā)點(diǎn)不盡相同，方程4a-2ab+4b-c=0實(shí)際上也可以看成關(guān)于a，b的二次方程，因?yàn)?2ab這一項(xiàng)的存在，加大了題目的難度，如果改編成無ab項(xiàng)的二次方程，題目就成為了一道基礎(chǔ)題，可以用解析幾何等知識(shí)輕松解決。處理-2ab時(shí)有兩種思路，一是先湊成（2a+b），剩余的3b（2a-b）可根據(jù)基本不等式湊成含有（2a+b）的形式，需要熟練掌握配湊式子的系數(shù)，這就是解法一；二是根據(jù)ab的系數(shù)直接整理出（2a+），剩余的式子也是一個(gè)平方的形式，接下來可以選擇三角換元，柯西不等式等方法，選擇柯西不等式對(duì)考生處理式子的能力要求較高；解法四是考生最容易想到的，整個(gè)過程中通過整體代入先求得了最大值，再根據(jù)最大值求得a，b，c之間的關(guān)系，從而達(dá)到消元的目的，解法自然，無需過多的技巧。

本題消元的過程中，體現(xiàn)了幾個(gè)常見的數(shù)學(xué)策略，一是解題時(shí)要觀察題目中條件的特異性和方向性，如本題的方程4a-2ab+4b-c=0是一個(gè)二次方程，就可以聯(lián)想到解決二次方程問題的幾種思路，而2a+b取得最大值為解題提供了思考的方向；二是要善于建立不同知識(shí)之間的聯(lián)系，根據(jù)不同知識(shí)的運(yùn)用特點(diǎn)，選擇解題的方向。endprint