基于D-H矩陣的3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿誤差建模與分析*

李春霞,張彥斐,宮金良

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

基于D-H矩陣的3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿誤差建模與分析*

李春霞,張彥斐,宮金良

(山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

針對(duì)3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，利用D-H變換矩陣對(duì)其進(jìn)行位姿分析，推導(dǎo)得到其運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型，在此基礎(chǔ)上利用矩陣微分理論結(jié)合D-H矩陣得到了單條支鏈的位姿誤差模型，最終得到全面考慮各關(guān)節(jié)處的誤差來(lái)源(制造誤差、安裝誤差、磨損誤差等)的動(dòng)平臺(tái)位姿誤差模型。應(yīng)用該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差進(jìn)行分析，給出了動(dòng)平臺(tái)末端誤差隨驅(qū)動(dòng)角α1，β1的變化規(guī)律，通過(guò)該規(guī)律可得到誤差敏感點(diǎn)，在工作過(guò)程中應(yīng)注意避免。該誤差模型的建立對(duì)3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的制造，及位姿控制的精度補(bǔ)償有參考價(jià)值。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)；D-H變換矩陣；位姿誤差建模

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定、剛度大、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，受到廣大學(xué)者的關(guān)注[1-4]。目前并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差研究主要分為矢量法和矩陣法。謝福貴等[5]采用基于空間誤差矢量鏈的誤差建模方法，獲得一種新型虛擬中心并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差模型。李嘉等[6]將各種誤差源以統(tǒng)一方式描述，使其終端誤差為所有廣義誤差的線性和。張立杰[7]，李永泉等[8]將環(huán)路增量法應(yīng)用于多環(huán)路并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差分析。譚興強(qiáng)等[9]針對(duì)單支鏈應(yīng)用攝動(dòng)法建立了一種六自由度并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)誤差模型。李瑞琴等[10]利用矩陣法建立了3-RSR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的誤差模型，并分析了各誤差源對(duì)末端位姿誤差的影響規(guī)律。

本文針對(duì)3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行其誤差分析，利用D-H變換矩陣建立其運(yùn)動(dòng)學(xué)正解方程，全面考慮各關(guān)節(jié)處的誤差來(lái)源建立整機(jī)誤差數(shù)學(xué)模型，并利用該誤差模型分析驅(qū)動(dòng)角度的變化對(duì)末端的位姿誤差的影響規(guī)律，為后續(xù)該機(jī)構(gòu)的樣機(jī)標(biāo)定及運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)償提供了理論基礎(chǔ)。

1 3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解建模

1.1 3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)

圖1所示的3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)由動(dòng)平臺(tái)和靜平臺(tái)通過(guò)三條串聯(lián)支鏈連接而成，其中三條支鏈呈120°對(duì)稱分布，每條支鏈由U型副、下連桿、轉(zhuǎn)動(dòng)副、上連桿、球鉸依次串聯(lián)構(gòu)成,驅(qū)動(dòng)電機(jī)裝在靜平臺(tái)的虎克鉸兩相互垂直的軸上。

1.動(dòng)平臺(tái) 2.上連桿 3.下連桿 4.U型副 5.靜平臺(tái)6.球鉸副 7.轉(zhuǎn)動(dòng)副 8.驅(qū)動(dòng)電機(jī)圖1 3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型

1.2 3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)正解模型

如圖2所示，Ai(i=1,2,3)為U型副兩轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)，Bi為球鉸S的中心點(diǎn)，且A1、A2、A3及B1、B2、B3所圍成的三角形均為等邊三角形，O、O1分別為兩等邊三角形中心點(diǎn)。

圖2 3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系示意圖

采用D-H坐標(biāo)法求解Si(i=1,2,3)，將支鏈簡(jiǎn)化為串聯(lián)模型。靜平臺(tái)中心與Ai連線為連桿1，虎克鉸拆分為兩個(gè)軸線相交的轉(zhuǎn)動(dòng)副，虎克鉸之間為連桿2，虎克鉸和轉(zhuǎn)動(dòng)副之間為連桿3，上連桿為連桿4，相應(yīng)的坐標(biāo)系如圖2所示，其中αi為軸ai繞X0軸的轉(zhuǎn)角，βi為軸bi繞Z0軸的轉(zhuǎn)角，αi和βi為驅(qū)動(dòng)角，γi為向量PiAi和直線PiBi的夾角。表1給出了分支i各連桿的D-H參數(shù)和關(guān)節(jié)變量。

表1 Si支鏈D-H參數(shù)表

從連桿i到i-1的坐標(biāo)系的變換矩陣Ai為：

其中，cθi=cosθi，sθi=sinθi。球鉸坐標(biāo)系OH-XHYHZH在靜坐標(biāo)系O-XYZ下的位姿轉(zhuǎn)換矩陣為：

Ti4=A0iA1iA2iA3i

(1)

Ti4矩陣的第四列的1,2,3行數(shù)據(jù)即為球鉸中心坐標(biāo)，將表1中的各參數(shù)分別代入式(1)后可得單支鏈球鉸坐標(biāo)為：

其中，

通過(guò)上式可得動(dòng)平臺(tái)中心O1點(diǎn)的位置坐標(biāo)為：

(2)

采用Z-Y-X歐拉角描述機(jī)構(gòu)姿態(tài)角，即：

(3)

其中，

2 基于D-H矩陣的誤差建模

在計(jì)算機(jī)構(gòu)的誤差模型時(shí)，將U型副和S副均等價(jià)為轉(zhuǎn)動(dòng)副參與計(jì)算，所以僅以轉(zhuǎn)動(dòng)副為例介紹運(yùn)動(dòng)副綜合考慮各種誤差源的誤差建模過(guò)程。

如圖3所示，理想情況下轉(zhuǎn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)過(guò)程中R1=R2，此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)副的主動(dòng)件和從動(dòng)構(gòu)件半徑相同，兩者完全貼合，且圓心重合，所以此時(shí)△L為零，即兩者之間不存在任何偏差。但在實(shí)際情況下，由于制造誤差、環(huán)境變化、疲勞磨損、安裝誤差等情況會(huì)使運(yùn)動(dòng)副間存在誤差△L。

圖3 運(yùn)動(dòng)副間隙示意圖

上述間隙可看作D-H坐標(biāo)的微小運(yùn)動(dòng)，則第i桿件的坐標(biāo)系繞自身坐標(biāo)軸有微小位移和微小轉(zhuǎn)動(dòng)的變換算子為：

(4)

其中繞坐標(biāo)軸的平移分量和轉(zhuǎn)動(dòng)分量分別為：Ri=(dx,dy,dz)；Di=(δx,δy,δz)

將各關(guān)節(jié)誤差綜合后得到動(dòng)平臺(tái)的位姿，應(yīng)用矩陣微分法[11]對(duì)式(1)微分得：

(5)

由式(1)、式(4)代入式(5)整理得:

(6)

將其展開可得單支鏈上的綜合考慮多種誤差源的末端球鉸位姿誤差為：

(7)

由式(2)、式(3)和式(7)綜合考慮多種誤差源的末端平臺(tái)的位姿誤差值為：

(8)

(9)

其中，

式(8)和式(9)表明了由各桿件坐標(biāo)系微分運(yùn)動(dòng)得到末端平臺(tái)位姿變化在靜平臺(tái)坐標(biāo)系中的微分關(guān)系，可將機(jī)構(gòu)由于制造誤差，環(huán)境變化，疲勞磨損等情況會(huì)使運(yùn)動(dòng)副間存在的誤差等價(jià)看做D-H坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng),則式(8)和式(9)即為該機(jī)構(gòu)的綜合考慮多種誤差源的位置誤差和姿態(tài)誤差。

3 算例

給定并聯(lián)機(jī)床幾何參數(shù)a=240mm，l1=210mm，l2=190mm，θ=65π/180,驅(qū)動(dòng)角αi∈(-π/4,π/4)，βi∈(-π/4,π/4)，PiAi到PiBi的轉(zhuǎn)角范圍為(0，π)。為更好的觀察驅(qū)動(dòng)角度的變化對(duì)末端誤差的影響，將夾角的擴(kuò)大兩倍設(shè)為αi∈(-π/2,π/2)，βi∈(-π/2,π/2)。將各支鏈中的D-H坐標(biāo)系的位置誤差為[0.01 0.01 0.01]，轉(zhuǎn)動(dòng)誤差為[0.01 0.01 0.01]。

圖4、圖5分別給出了驅(qū)動(dòng)角α1、β1的變化對(duì)末端位姿誤差的仿真計(jì)算結(jié)果。

圖4 3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)變化α1角位姿誤差圖

為便于觀察各方向位移誤差變化規(guī)律，將各方向誤差適當(dāng)放大后置于同一圖中。

由圖4a可知，隨著α1的變化，該機(jī)構(gòu)的位置誤差大致呈線性變化，并隨著α1的增大而增大。同時(shí)可知，在z方向的位移誤差遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)方向的誤差。由圖4b可知，繞x方向的轉(zhuǎn)動(dòng)角的誤差在-π/3的誤差達(dá)到最大，在該點(diǎn)兩側(cè)依次減小，事實(shí)上繞x方向的誤差值非常小，繞y方向的旋轉(zhuǎn)誤差最大值在-3π/8處，繞z方向的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差最大，同時(shí)在-π/3點(diǎn)處繞z方向的誤差有最大值，而且和其他點(diǎn)的值有較大差距，所以在實(shí)際操作過(guò)程中應(yīng)盡量避免該角度值。

圖5 3-URS并聯(lián)機(jī)構(gòu)變化β1角位姿誤差圖

由圖5a可知，其三個(gè)方向的位移誤差大致呈不規(guī)則余弦變化，沿x方向誤差最大，且在-3π/16處達(dá)到最小值，在3π/8處達(dá)到最大值，其在要求的工作范圍內(nèi)基本呈線性變化。沿y方向在-π/4和π/8處有最大值，在工作過(guò)程中要注意避免。沿z方向在要求的工作范圍內(nèi)基本呈線性變化，隨著轉(zhuǎn)角的增大誤差增大。由圖5b可知，在繞x方向的誤差最大，且呈正弦變化規(guī)律，在-π/8處有最大誤差值，繞y，z方向的誤差均呈線性變化，且兩者變化趨勢(shì)相反，由于z方向誤差變化范圍較小，故在實(shí)際應(yīng)用中可適度放棄該方向精度，向y方向誤差較小的角度偏轉(zhuǎn)。

4 結(jié)論

通過(guò)D-H矩陣法建立了3-URS的運(yùn)動(dòng)學(xué)正解模型，并在此基礎(chǔ)上利用矩陣微分理論建立了每條支鏈的位姿誤差模型并最終得到動(dòng)平臺(tái)的位姿誤差模型。通過(guò)對(duì)誤差模型的分析可得以下結(jié)論：

(1)該動(dòng)平臺(tái)的位姿誤差模型綜合考慮了運(yùn)動(dòng)副的制造、環(huán)境變化、疲勞磨損、安裝等情況下使運(yùn)動(dòng)副間產(chǎn)生的誤差,依據(jù)此模型給出了驅(qū)動(dòng)角轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)末端平臺(tái)位姿誤差值的影響規(guī)律，并獲得了對(duì)各個(gè)方向剛度的影響較大的角度值。

(2)通過(guò)對(duì)位姿誤差模型的分析，為后續(xù)該機(jī)構(gòu)的樣機(jī)的標(biāo)定、運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)償及實(shí)際操作中對(duì)誤差較大點(diǎn)的規(guī)避提供了理論基礎(chǔ)。

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(編輯 李秀敏)

Modeling and Analyzing of Position and Pose Error of 3-URS Parallel Mechanism Based on D-H Transforming Matrix

LI Chun-xia, ZHANG Yan-fei, GONG Jin-liang

(School of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology, Zibo Shandong 255049,China)

The kinematics normal solution model of the moving platform of 3-URS parallel machine is established with D-H transformation matrix. Based on the model, the pose error model of single chain is established by matrix differential theory and D-H transformation matrix and the position and pose error model of the dynamic platform considering the error sources (manufacturing error, installation error, wear error, etc.) of the each joint are obtained by integrated each single chain. The variation law of the error of the moving platform 3-URS parallel machine with the drive angleα1andβ1is presented by analysis results from the mathematical model calculation. Error sensitive points are known by the law and in the actual operation they should be avoided. The results have reference value to the manufacture of 3-URS parallel mechanism, precision compensation of pose Control.

parallel mechanism；D-H transformation matrix；modelling of position and pose error

1001-2265(2017)08-0048-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2017.08.012

2016-10-16；

2016-11-05

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61303006)；山東省優(yōu)秀中青年科學(xué)家科研獎(jiǎng)勵(lì)基金項(xiàng)目(BS2012ZZ009)

李春霞(1991—)，女，山東日照人，山東理工大學(xué)碩士研究生，研究方向?yàn)椴⒙?lián)機(jī)器人， (E-mail)1039661855@qq.com；通訊作者：張彥斐(1977—)，女，河北衡水人，山東理工大學(xué)副教授，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)器人設(shè)計(jì)與優(yōu)化理論，(E-mail)gjlwing@sdut.edu.cn。

TH166;TG659

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