基于變步長迭代算法的微軸承參量特性研究

李家賢　張海軍　劉全

摘 要： 利用變步長迭代算法在Matlab平臺(tái)上對微軸承的修正模型進(jìn)行仿真模擬。通過傳統(tǒng)連續(xù)模型、一階滑移修正及Wu新滑移修正模型的對比發(fā)現(xiàn)，在最小氣膜間隙處各滑移修正模型得到的參量遠(yuǎn)低于連續(xù)模型的結(jié)果。而且當(dāng)氣膜間隙小于1 μm時(shí)，各模型之間的結(jié)果偏差隨氣膜間隙的減小而迅速放大，連續(xù)模型已不適于此條件下的特性分析，必須考慮滑移修正效應(yīng)的影響，以便得到較精確的相關(guān)電子設(shè)備中的參量特性。

關(guān)鍵詞： 變步長迭代算法； Matlab； 滑移修正模型； 微軸承

中圖分類號(hào)： TN622+.1?34； TH117.2 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2017）16?0010?03

Abstract： The variable step size iterative algorithm is used to simulate the modification model of the micro bearing in Matlab platform. It is found by comparison with the traditional continuum model， first?order slip correction model and Wu new slip model that the parameters obtained by all the slip correction models at minimum gas film clearance are far below the results got by the continuum model. When the gas film clearance is less than 1 μm， the deviation of results from each model increases rapidly with reduction of the gas film clearance. It means that the continuum model is not suitable for characteristic analysis under this condition. That′s why the influence of slip correction effects must be considered， so as to achieve accurate parametric characteristics of aerostatic bearing in the related electronic equipment.

Keywords： variable step size iterative algorithm； Matlab； slip correction model； micro bearing

0 引 言

微軸承是一種具有高回轉(zhuǎn)精度，耐低溫和高溫及輻射等優(yōu)良特性的精密電子元件。目前在PCB電子元件、精密電子設(shè)備、控制系統(tǒng)等領(lǐng)域中都得到了非常成功地應(yīng)用[1?6]。但是現(xiàn)有微氣體軸承承載的測量估算都只采用建立在無滑移修正條件上的傳統(tǒng)連續(xù)模型。然而當(dāng)氣膜間隙尺寸達(dá)到亞微米級時(shí)，氣體分子在固壁的滑移效應(yīng)變得極其重要。在此條件下傳統(tǒng)模型已失效，需采用經(jīng)過修正的模型進(jìn)行參量的分析[7?8]。

本文引入一階滑移修正和Wu新滑移修正模型，然后在Matlab仿真平臺(tái)[9]下采用變步長迭代算法[10]求解修正后的模型，并探討修正后得到的精確參量特性。

1 修正改進(jìn)模型

1.1 微軸承結(jié)構(gòu)

圖1所示電子設(shè)備中微軸承的轉(zhuǎn)子直徑為D，軸長為L，有兩排沿周向均勻分布的節(jié)流孔，每排節(jié)流孔數(shù)為N，距最近軸端為l，孔徑為d。轉(zhuǎn)速為n，偏心距為e，氣膜厚度為h。當(dāng)e=0時(shí)，平均氣膜間隙為hm。

1.2 滑移修正模型

圖1所示的θ為周向角度，z為軸向坐標(biāo)。則傳統(tǒng)連續(xù)、一階修正、及Wu新修正模型的無量綱化微軸承模型為：

式中：[Z=zL]為無量綱軸向坐標(biāo)；[H=hhm=1+εcosθ]為無量綱氣膜厚度；[ε=ehm]為偏心率；[P=ppa]為無量綱氣壓，p為氣壓，pa為標(biāo)準(zhǔn)氣壓；[Λ=μπn（r2）（5pah2m）]為壓縮系數(shù)，μ為氣體黏度；[Kn=λh]為當(dāng)?shù)乜伺瓟?shù)，[λ]為平均自由程；[f=min[1Kn，1]]；bs，cs為模型系數(shù)，見表1。

表1 Reynolds方程模型系數(shù)

劃分網(wǎng)格時(shí)略去表面曲率的影響，并把節(jié)流孔當(dāng)作一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)處理，如圖2所示，陰影部分為離散點(diǎn)的控制體積單元。則求解式（1）的邊界條件為：大氣邊界，[P（θ，Z=0）=1]；周期邊界，[P（θ，Z）=P（2π+θ，Z）]；對稱邊界，[（?P?Z）（Z=0.5）=0]。

2 變步長迭代原理及變量修正計(jì)算

假設(shè)加壓氣源流經(jīng)節(jié)流孔為絕熱過程，則流出節(jié)流孔的流量為：

式中：[ρs]為氣體密度；[ps]為氣源壓力；k為氣體絕熱指數(shù)；第σ個(gè)節(jié)流孔后氣壓為[p=pσ]；[pσ]需根據(jù)圖3所示的流入?yún)^(qū)域流量[Min，σ]和流出區(qū)域流量[Mout，σ]相等的流量守恒原理確定。對第σ個(gè)節(jié)流孔區(qū)域有：

[Min，σ=Mσ2+Mσ3-Mσ1-Mσ4] （3）

式中：[Min，σ=24μ?TMin，σ（p2ah3m）]為通過第σ個(gè)節(jié)流孔流入的無量綱化流量；[?]為空氣的氣體常數(shù)；[Mσ1]，[Mσ2]分別為無量綱化周向流量；[Mσ3]，[Mσ4]分別為無量綱化軸向流量，需根據(jù)滑移速度分布[7?8]修正計(jì)算為（同理可得[Mσ2]及[Mσ3]）：

在圖4所示算法流程框圖中，使用SOR迭代算法[11]得到除孔后高精度的氣壓，再用變步長迭代算法求解孔后氣壓，最終對面積求積分得到由沿連心方向的WH和沿連心垂直方向的WV組成的剛度K為：endprint

[K=ΔW2H+W2VΔeWH=-20L202πpcosθ rdθdZWV=-20L202πpsinθ rdθdZ] （6）

3 結(jié)果與討論

所研究的電子元件中的微軸承參數(shù)為轉(zhuǎn)子半徑4 mm，軸長0.8 mm，節(jié)流孔距最近軸端距離為[L4]，節(jié)流孔數(shù)N=8，孔徑為0.05 mm，氣源壓力為4×105 Pa。圖5（a）～圖5（c）分別為在平均氣膜間隙hm=0.2 μm、偏心率ε=0.90，轉(zhuǎn)速n=12 kr/min條件下沿θ=0°處的連續(xù)模型、一階滑移和Wu新滑移模型的氣壓分布。可以發(fā)現(xiàn)各模型的氣壓在最小氣膜間隙處遠(yuǎn)大于其余區(qū)域。這是因?yàn)榇颂幍臍饽らg隙遠(yuǎn)小于其他區(qū)域，動(dòng)壓效應(yīng)較強(qiáng)顯著增大了氣壓。而遠(yuǎn)離此處氣壓主要靠氣源壓力起支承作用相對較小。通過對比發(fā)現(xiàn)在最小氣膜間隙處，一階滑移、Wu新滑移修正模型的氣壓明顯小于連續(xù)模型且此條件下的最高偏差率分別達(dá)27.50%，36.17%，遠(yuǎn)超可接受的誤差范圍。在此條件下，為了得到精確的測量值，應(yīng)考慮滑移修正的影響。

圖6、圖7分別為在偏心率ε=0.95、轉(zhuǎn)速n=10 kr/min條件下，隨氣膜間隙的變化連續(xù)和各滑移修正模型的承載和剛度參量分布?？梢园l(fā)現(xiàn)當(dāng)平均氣膜間隙相對較大時(shí)，承載較弱、增幅較慢，承載力差異不明顯。但當(dāng)平均氣膜間隙hm小于1.0 μm時(shí)，承載、剛度增幅變快且結(jié)果偏差隨氣膜間隙的減小而迅速放大。這是因?yàn)閯?dòng)壓效應(yīng)的增強(qiáng)使得承載變強(qiáng)、增幅變快，間接影響剛度的變化，此外在滑移效應(yīng)的影響下最小氣膜間隙處的氣壓顯著降低。而大部分承載、剛度靠最小氣膜間隙周圍的氣壓生成，所以偏差隨著滑移效應(yīng)的增強(qiáng)被放大。圖8、圖9分別為在平均氣膜間隙hm=0.2 μm、偏心率ε=0.95條件下，隨轉(zhuǎn)速的變化連續(xù)與各滑移修正模型的承載和剛度參量分布?？梢园l(fā)現(xiàn)在相對較低的轉(zhuǎn)速5～10 kr/min條件下，由于動(dòng)、靜壓效應(yīng)的相互作用，無滑移與各滑移模型的承載和剛度增幅相對較快。但當(dāng)轉(zhuǎn)速大于10 kr/min后，動(dòng)壓增幅作用減弱使承載的增幅變緩，間接使得剛度增幅變緩。然而各模型之間的承載及剛度偏差在一定范圍內(nèi)隨轉(zhuǎn)速的增大有顯著偏差。

4 結(jié) 語

滑移修正效應(yīng)對電子設(shè)備中微軸承承載、剛度等參量特性的影響隨氣膜間隙的變化而改變顯著；在小氣膜間隙條件下，各滑移修正模型得到的參量遠(yuǎn)低于連續(xù)模型的結(jié)果，而且參量之間的偏差隨氣膜間隙的減小而迅速放大，必須考慮滑移效應(yīng)的影響；通過變步長迭代算法求解滑移修正模型可得到較精確的微軸承參量特性分布，以便為相關(guān)電子設(shè)備、控制系統(tǒng)的安全運(yùn)行提供精確數(shù)據(jù)及為相關(guān)參量的估算提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

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