以數(shù)學(xué)建模為核心算法設(shè)計教學(xué)中的計算思維實踐

白珍+王煜

為了避免學(xué)生出現(xiàn)課上練習(xí)都會做、課后問題撓破頭的現(xiàn)象，普通高中信息技術(shù)課程倡導(dǎo)將知識積累、技能培養(yǎng)與思維發(fā)展融入到運用數(shù)字化工具解決問題和完成任務(wù)的過程中，通過培養(yǎng)學(xué)生技術(shù)應(yīng)用與問題解決之間的思維連接，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析問題、歸納問題，最終解決問題，而這一思維方式正是高中信息技術(shù)核心素養(yǎng)之一——計算思維。具備計算思維的學(xué)生，在信息活動中能夠采用計算機可以處理的方式界定問題、抽象特征、建立結(jié)構(gòu)模型、合理組織數(shù)據(jù)；通過判斷、分析與綜合各種信息資源，運用合理的算法形成解決問題的方案；總結(jié)利用計算機解決問題的過程與方法，并遷移到與之相關(guān)的其他問題解決中?？梢姡Ｊ怯嬎闼季S的核心之一。在算法設(shè)計中，常常接觸到兩種建模類型：一是數(shù)學(xué)計算范疇的問題，二是非數(shù)學(xué)計算范疇的問題。下面，筆者希望通過對數(shù)學(xué)計算與非數(shù)學(xué)計算范疇的兩個算法設(shè)計案例的分析，幫助學(xué)生逐漸形成以信息技術(shù)的視角思考解決問題方案的思維模式，提升其利用信息技術(shù)解決問題的能力。

案例一：高空墜球——通過數(shù)學(xué)計算問題進行的計算思維培養(yǎng)

一球從100米高度自由落下，每次落地后又反彈回原高度的一半，再落下，求小球在第10次落地時，共經(jīng)過多少米？第10次反彈有多高？

一般情況下，數(shù)學(xué)問題的算法設(shè)計只要找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式就能完成，而用計算機解題需要按照計算機處理問題的步驟進行。

第1步：用計算機可處理的方式界定問題，確認問題的可計算性。

學(xué)生面對數(shù)學(xué)問題一般會通過數(shù)學(xué)計算的方式（如等比數(shù)列等）思考和解答。對于這種情況，可啟發(fā)學(xué)生進行如下思考：

①小球第一次落下100米，反彈100/2米，第二次落地后反彈100/4米……

那么，第i（反彈計數(shù)）次落地反彈高度=100/2^i。

②第一次落地經(jīng)過的距離為100米，第二次落地經(jīng)過的距離為100+2×100/2米……

那么，第i次落地時經(jīng)過的距離=100+2×100/2+…+2×100/2^i。

通過對問題的簡單推理，得到解決這個問題的一般規(guī)律，以及確認這個問題的可計算性。

第2步：抽象關(guān)鍵要素并符號化。

通過對解題一般規(guī)律的分析可以發(fā)現(xiàn)：解決高空墜球問題必須使用原始高度、反彈總次數(shù)、反彈計數(shù)、反彈高度以及經(jīng)過距離5個重要要素，即關(guān)鍵要素。這5個要素的數(shù)據(jù)在解題過程中會隨著實際情況而發(fā)生變化，因此需用變量表示，如表1所示。

第3步：建立各要素間的數(shù)學(xué)模型。

將符號化的關(guān)鍵要素帶入到解決問題的一般規(guī)律中，建立如下解決實際問題的數(shù)學(xué)模型：

第i次落地的反彈高度：t=h/2^i；

第i次落地時經(jīng)過的距離：s=s+2×t。

第4步：繪制流程圖表述算法，并用程序?qū)崿F(xiàn)。

數(shù)學(xué)模型建立后，根據(jù)解決問題的一般規(guī)律，進行算法設(shè)計，通過流程圖或自然語言等方式表達，最終用程序?qū)崿F(xiàn)（如圖1）。

在數(shù)學(xué)問題案例分析過程中，學(xué)生容易混淆數(shù)學(xué)計算與算法設(shè)計的概念，需要幫助學(xué)生明確二者的區(qū)別：數(shù)學(xué)計算是針對某一個數(shù)學(xué)問題進行的一系列的數(shù)學(xué)運算過程，注重運算結(jié)果的正確性；而算法設(shè)計是針對同類問題的歸納性解決方案，注重問題的解決過程，不會由于初始數(shù)量的變化導(dǎo)致解決方案的變化。因此，數(shù)學(xué)計算與算法設(shè)計是單一問題的解決與同類問題解決方案的區(qū)別。

案例二：我是大偵探——通過非數(shù)學(xué)計算問題進行的計算思維培養(yǎng)

12月13日凌晨3：13，丹姆斯頓大街上的卡爾一家發(fā)生了命案，卡爾先生一家人無一幸免。警局接到報案后立即派人趕往現(xiàn)場，經(jīng)過現(xiàn)場勘察、取樣，確定為有人蓄意謀殺……經(jīng)過多方取證，最后嫌疑犯鎖定在卡爾先生的四名同事身上，經(jīng)審訊得來的口供，警方確定四人中有一名嫌疑犯在說謊，而說謊的這個人就是殺害卡爾一家的兇手。四名嫌疑人（用甲、乙、丙、丁表示）的口供如下，請你判斷找出，誰在說謊？

警官問：“12月13日下午15：00至16：00誰離開過辦公室？”甲說：“不是我。”乙說：“是丙?！北f：“是丁?！倍≌f：“不是我?！?/p>

非數(shù)學(xué)問題的算法設(shè)計在提取抽象特征和構(gòu)建數(shù)學(xué)模型兩方面都要難于數(shù)學(xué)問題。首先要將問題中的文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達；其次提取關(guān)鍵要素，通過數(shù)字或編碼的方式將其符號化，即以某種數(shù)據(jù)類型如常量、變量、數(shù)組等方式表示，便于計算機處理；然后尋找關(guān)鍵要素間的關(guān)系，推理或歸納出數(shù)學(xué)模型；最終通過算法思想生成自動化的解決方案。具體操作步驟如下：

第1步：用計算機可處理的方式界定問題，確認問題的可計算性。

啟發(fā)學(xué)生將文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達，得到解決問題的思路并確認這個問題的可計算性。

①如果是甲離開房間：

判斷可得：甲—假、乙—假、丙—假、丁—真；

結(jié)論：共有3個人說謊，1人說真話，因此甲不是兇手。

②如果是乙離開房間：

判斷可得：甲—真、乙—假、丙—假、丁—真；

結(jié)論：共有2個人說謊，2人說真話，因此乙不是兇手。

……

推論：當某人離開房間時，如果判斷得到有3個人說真話，那么離開房間的這個人就是兇手。

第2步：抽象關(guān)鍵要素并符號化。

根據(jù)分析問題得到的推論，可知甲乙丙丁4人、離開房間的人以及每次判斷后得到的說真話的人數(shù)是解決這個問題不可或缺的關(guān)鍵要素。其中，甲乙丙丁4人在參與問題解決過程中始終存在，并且要依次進行判斷，可用常量（數(shù)字）表示；隨著假設(shè)條件的不同，離開房間的人與每次判斷得到的說真話的人數(shù)都會發(fā)生變化，這兩個要素用變量表示（如上頁表2）。

第3步：建立數(shù)學(xué)模型。

將符號化的關(guān)鍵要素帶入到解決思路中，得到判斷兇手的條件：

甲說：“不是我” （離開房間的人不是甲） i<>1；

乙說：“是丙” （離開房間的人是丙） i=3；

丙說：“是丁” （離開房間的人是?。?i=4；

丁說：“不是我” （離開房間的人不是?。?i<>4。

判斷以上4個條件，結(jié)果為真，則累計說真話的人數(shù)，k=k+1。

第4步：用自然語言表述算法，并用程序?qū)崿F(xiàn)（如圖2）。