圖像壓縮感知中自適應(yīng)二維投影梯度重構(gòu)算法

萬(wàn)成宏 楊春玲 和志杰

(華南理工大學(xué)電子與信息學(xué)院，廣州，510640)

圖像壓縮感知中自適應(yīng)二維投影梯度重構(gòu)算法

萬(wàn)成宏 楊春玲 和志杰

(華南理工大學(xué)電子與信息學(xué)院，廣州，510640)

二維圖像的壓縮感知及重構(gòu)大多利用一維信號(hào)壓縮感知及重構(gòu)方法實(shí)現(xiàn)，導(dǎo)致圖像重構(gòu)效率較低，重構(gòu)算法復(fù)雜度高等缺點(diǎn)。二維隨機(jī)投影及二維投影梯度重構(gòu)算法有效地解決了這一問(wèn)題。但在二維投影梯度重構(gòu)算法中，不同圖像不同采樣率的重構(gòu)中采用相同濾波閾值參數(shù)η的方案會(huì)降低圖像重構(gòu)質(zhì)量。本文結(jié)合二維圖像信號(hào)的紋理特性，提出了自適應(yīng)二維投影梯度重構(gòu)算法，該算法提出了一種雙變量收縮閾值參數(shù)η在迭代重構(gòu)過(guò)程中基于圖像紋理信息的自適應(yīng)計(jì)算公式。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，自適應(yīng)二維投影梯度重構(gòu)算法比二維投影梯度重構(gòu)算法在重構(gòu)質(zhì)量和視覺(jué)效果上都有所提升。

二維隨機(jī)投影；紋理特性；雙變量收縮；自適應(yīng)

引 言

21世紀(jì)初由Donoho等提出的壓縮感知理論[1](Compressive sensing， CS)打破了傳統(tǒng)奈奎斯特采樣率必須高于兩倍信號(hào)帶寬的限制，從而有效降低了信號(hào)采集系統(tǒng)的復(fù)雜性。壓縮感知理論的核心思想是將高維信號(hào)通過(guò)不相干的測(cè)量矩陣投影到低維空間上，利用信號(hào)在變換域上的稀疏性，通過(guò)非線性重構(gòu)算法恢復(fù)原信號(hào)。壓縮感知應(yīng)用的領(lǐng)域廣泛，如圖像壓縮感知[2]、視頻壓縮感知[3]和語(yǔ)音壓縮感知[4]等。構(gòu)造魯棒性能高、恢復(fù)效果好的重構(gòu)算法一直是壓縮感知理論研究的核心問(wèn)題。壓縮感知及重構(gòu)算法的研究始于一維信號(hào)壓縮感知，CS重構(gòu)算法主要包括凸優(yōu)化算法和貪婪迭代算法。凸優(yōu)化算法通過(guò)最小化目標(biāo)函數(shù)的l1范數(shù)重構(gòu)原信號(hào)，如基追蹤法[5]、梯度投影法[6](Gradient projection for sparse reconstruction，GPSR)等。貪婪算法直接求解l0范數(shù)最小化問(wèn)題來(lái)重構(gòu)原信號(hào)，其中包括正交匹配追蹤算法[7]、改進(jìn)的SL0算法[8]等。對(duì)二維圖像信號(hào)壓縮感知的研究，一般轉(zhuǎn)化為一維信號(hào)的壓縮感知來(lái)實(shí)現(xiàn)。目前基于該思路的最優(yōu)算法是文獻(xiàn)[9, 10]提出的分塊壓縮感知算法，通過(guò)將二維信號(hào)分割成若干大小相同的子塊進(jìn)行一維采樣和重構(gòu)。但是基于分塊處理的方法破壞了二維圖像原有的整體結(jié)構(gòu)信息，降低了重構(gòu)質(zhì)量。為了保留圖像原有的結(jié)構(gòu)特性，文獻(xiàn)[11]提出了二維觀測(cè)模型，Eftekhari在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步闡述了二維隨機(jī)投影[12]的理念。

二維觀測(cè)模型下的壓縮感知在觀測(cè)端通過(guò)兩個(gè)獨(dú)立不相干的測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)行、列同時(shí)進(jìn)行觀測(cè)，重構(gòu)端將信號(hào)作為一個(gè)整體進(jìn)行處理，在充分保留信號(hào)紋理信息的前提下利用系數(shù)之間的相關(guān)性得到更優(yōu)的重構(gòu)信號(hào)?；诙S觀測(cè)的壓縮感知重構(gòu)算法有：二維平滑零范數(shù)[13](Modified from smoothed l0，2DSl0)算法，二維正交匹配追蹤[14](2D orthogonal matching pursuit，2DOMP)算法，二維子空間追蹤[15](2-Dimensional measurement model space pursuit，2DMMSP)算法。2DSl0是一種快速重構(gòu)的二維壓縮感知算法，但是重構(gòu)質(zhì)量較差。2DOMP繼承了OMP的重構(gòu)方式通過(guò)選取字典中的最優(yōu)矩陣原子重構(gòu)原信號(hào)，但二維矩陣形式的原子增加了計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)的負(fù)擔(dān)，降低了圖像重構(gòu)效率；由一維子空間追蹤算法衍生得到的2DMMSP還處于算法研究階段，并沒(méi)有應(yīng)用于實(shí)際圖像的壓縮感知。在二維觀測(cè)模型下,文獻(xiàn)[16]提出的二維投影梯度算法(2-Dimensional projected gradient，2DPG)是目前性能最好的壓縮感知圖像重構(gòu)算法。2DPG算法采用全變差的梯度下降和雙變量收縮[17- 18]交替迭代求解得到重構(gòu)信號(hào)。與一維壓縮感知重構(gòu)算法相比，2DPG算法更好地保留了圖像的細(xì)節(jié)信息，在快速重構(gòu)信號(hào)的同時(shí)保證了圖像的高質(zhì)量重構(gòu)。研究發(fā)現(xiàn)，在2DPG算法雙變量收縮過(guò)程中，閾值對(duì)濾波結(jié)果有很大的影響，閾值過(guò)大導(dǎo)致圖像丟失過(guò)多細(xì)節(jié)信息，閾值過(guò)小導(dǎo)致噪聲難以濾除。本文基于2DPG算法，結(jié)合圖像信號(hào)的紋理特性，提出了一種自適應(yīng)二維投影梯度(Adaptive two-dimensional projected gradient，A-2DPG)算法，其中雙變量收縮閾值參數(shù)在迭代過(guò)程中根據(jù)圖像信號(hào)的特征自適應(yīng)生成，隨著迭代過(guò)程的深入，最終趨于穩(wěn)定。

1 圖像二維壓縮感知與投影重構(gòu)算法

對(duì)圖像壓縮感知的研究最早是基于一維信號(hào)壓縮感知實(shí)現(xiàn)的，即在測(cè)量投影過(guò)程中將圖像信號(hào)進(jìn)行一維向量化處理，但這一操作會(huì)破壞圖像塊之間原有的結(jié)構(gòu)相關(guān)性，不利于高質(zhì)量重構(gòu)。2DPG算法基于二維觀測(cè)的重構(gòu)算法，即利用兩個(gè)不相關(guān)的測(cè)量矩陣對(duì)圖像信號(hào)行和列同時(shí)觀測(cè)，其表示為

Y=AXBT

(1)

式中：X為N1×N2維的圖像信號(hào)，A和B分別為M1×N1和M2×N2維的測(cè)量矩陣，Y為M1×M2的觀測(cè)信號(hào)。2DPG算法的二維觀測(cè)過(guò)程很好地保留了圖像信號(hào)的結(jié)構(gòu)相關(guān)性，有利于提高圖像的重構(gòu)質(zhì)量。在重構(gòu)端，2DPG算法解決了一個(gè)受約束最優(yōu)化的問(wèn)題，則

(2)

在一定條件下式(2)可以轉(zhuǎn)變成求解受約束最小線性二乘的問(wèn)題，則

(3)

(1)圖像的全變差

對(duì)于一幅大小為N1×N2的圖像，其局部導(dǎo)數(shù)定義為

(4)

(5)

式中：Xi,j為圖像第i行，第j列對(duì)應(yīng)點(diǎn)的像素值；式(4)和式(5)分別表示圖像垂直方向和水平方向上的局部導(dǎo)數(shù)。一副自然圖像通常包含豐富的紋理信息和復(fù)雜的細(xì)節(jié)，全變差[19]很好地詮釋了圖像的紋理復(fù)雜程度。紋理信息越復(fù)雜的圖像對(duì)應(yīng)全變差系數(shù)值越大，定義為

(6)

(2)圖像小波域的雙變量收縮

自然圖像的小波系數(shù)有很強(qiáng)的相關(guān)性，利用相鄰尺度父子小波的相關(guān)性并結(jié)合貝葉斯最大后驗(yàn)估計(jì)理論得到雙變量收縮模型為

(7)

(3)二維投影梯度重構(gòu)算法

2DPG算法通過(guò)全變差梯度下降、雙變量閾值收縮和超平面投影3步迭代實(shí)現(xiàn)圖像信號(hào)的重構(gòu)，過(guò)程如下：

(1)初始化。初始化迭代參數(shù)λ，η，X0=AΓY(BΓ)T；其中，AΓ=AT(AAT)-1和BΓ=BT(BBT)-1分別表示測(cè)量矩陣A、B的偽逆。

(5)迭代更新。檢測(cè)迭代停止條件‖Xn-Xn-1‖F(xiàn)≤ε0或n>C0，若滿足條件則停止迭代，不滿足則返回步驟(2)，重復(fù)步驟(2)～(5)的過(guò)程。上述算法步驟(3)中，圖像稀疏化過(guò)程是基于雙變量收縮完成的，式(7)給出了雙變量收縮函數(shù)的表達(dá)公式。在2DPG算法中閾值參數(shù)η取常量的方式忽略了閾值對(duì)圖像重構(gòu)質(zhì)量的影響。在研究中發(fā)現(xiàn)，閾值參數(shù)η取值過(guò)大會(huì)導(dǎo)致信號(hào)在重構(gòu)過(guò)程損失過(guò)多的圖像細(xì)節(jié)信息；閾值參數(shù)η取值過(guò)小則保留了過(guò)多的噪聲?；谏鲜隹紤]，本文提出了A-2DPG,該算法根據(jù)圖像的特性，在重構(gòu)過(guò)程中自適應(yīng)選取雙變量收縮閾值參數(shù)η，從而進(jìn)一步提高圖像的重構(gòu)質(zhì)量。

2 基于高頻小波系數(shù)的自適應(yīng)二維投影梯度重構(gòu)算法

2.1 改進(jìn)算法依據(jù)

對(duì)于圖像重構(gòu)質(zhì)量的評(píng)價(jià)，通常利用峰值信噪比(Peak signal to noise ratio，PSNR)來(lái)表示，其單位為dB，對(duì)應(yīng)公式表達(dá)為

(8)

2.2 自適應(yīng)2DPG

本文在2DPG算法基礎(chǔ)上提出一種自適應(yīng)閾值計(jì)算公式，從而得到A-2DPG。A-2DPG算法中閾值計(jì)算分為：(1)去噪階段，使用較大閾值去除信號(hào)中噪聲，盡快得到低噪聲重構(gòu)圖像。(2)平穩(wěn)階段，選取較小閾值得到高質(zhì)量重構(gòu)圖像。在A-2DPG算法中，閾值參數(shù)η的計(jì)算公式為

(9)

3 仿真結(jié)果與分析

3.1 仿真條件

本實(shí)驗(yàn)用4副512×512具有不同復(fù)雜程度的標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像作為測(cè)試圖像，實(shí)驗(yàn)圖像如圖3所示，分別為人物圖像Lena和Barbara，動(dòng)物圖像Baboon， 植物圖像Peppers。其中Barbara和Baboon圖像的紋理信息比Lena和Peppers要豐富。本實(shí)驗(yàn)給出的對(duì)比算法有：原2DPG算法[16]，基于DDWT的分塊壓縮感知平滑landweber攝影重構(gòu)算法(Block-based CS sampling and smoothed-projected landweber reconstruction algorithm based dual-tree discrete waelet transform, BCS-SPL-DDWT)[9]算法以及GPSR[6]算法。觀測(cè)矩陣采用隨機(jī)高斯矩陣，除GPSR算法以外其他算法都采用雙樹(shù)復(fù)小波基作為稀疏基。在雙變量收縮中，使用正負(fù)系數(shù)共同重構(gòu)信號(hào)，在參數(shù)的設(shè)置上，2DPG算法和A-2DPG算法迭代停止條件與BSC-SPL-DDWT算法的迭代停止條件一致，即

(10)

圖3 標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖像Fig.3 Standard test image

參數(shù)和文獻(xiàn)[16]相同，即ε0取10-5，算法最大迭代次數(shù)為200次，λ設(shè)置為0.8，η設(shè)置為15。在A-2DPG算法中除閾值外，其余參數(shù)設(shè)置也同文獻(xiàn)[16]；GPSR和BCS-SPL-DDWT算法中的分塊大小設(shè)置為16×16；平滑landweber投影(Smoothed projected landweber, SPL)算法中的最大迭代次數(shù)設(shè)定200次。結(jié)果均為每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行5次后的平均值。實(shí)驗(yàn)在MATLAB2014a環(huán)境下完成，計(jì)算機(jī)的CPU為Intel core i5 2.80GHz，內(nèi)存大小為4 GB。

3.2 仿真結(jié)果

用3.1節(jié)的4幅圖像及4種CS重構(gòu)算法，對(duì)比驗(yàn)證本文提出的A-2DPG算法的整體性能。圖4展示了Lena，Baboon，Barbara，Peppers 4幅圖像在采樣率分別為0.3，0.4，0.5和0.6時(shí)4種算法的重構(gòu)質(zhì)量曲線圖。由于采樣率變化范圍較大，實(shí)驗(yàn)還驗(yàn)證了各算法的魯棒性。由圖4可以看出，相比于其他幾種重構(gòu)算法，本文提出的A-2DPG算法獲得了最好的重構(gòu)質(zhì)量。和原2DPG算法相比，圖像的重構(gòu)質(zhì)量也有明顯的提升。對(duì)于紋理復(fù)雜的圖像，性能改善尤其顯著，圖4(a)中采樣率為0.3時(shí)A-2DPG比2DPG算法性能要好2.5 dB左右。對(duì)于紋理簡(jiǎn)單的圖像，2DPG和A-2DPG算法的重構(gòu)質(zhì)量在低采樣時(shí)相差不大，但是隨著采樣率不斷提升，A-2DPG算法相比于2DPG算法性能提升逐漸明顯。由圖4(c)和圖4(d)的數(shù)據(jù)看出，在采樣率SR=0.3時(shí)重構(gòu)質(zhì)量基本相同，但在采樣率SR=0.6時(shí)A-2DPG比2DPG算法重構(gòu)質(zhì)量好0.3～0.5 dB。其主要原因是2DPG算法的閾值參數(shù)η隨采樣率的增大而偏離最優(yōu)重構(gòu)閾值參數(shù)η，從而導(dǎo)致兩個(gè)算法重構(gòu)質(zhì)量差異逐漸明顯。表1給出了4種算法在采樣率為0.3,0.5時(shí)各自重構(gòu)圖像的PSNR值。對(duì)比表1中4種算法重構(gòu)質(zhì)量可以看出，相比于2DPG算法，A-2DPG算法在兩種采樣率下PSNR值都有所提高，對(duì)于紋理信息復(fù)雜的圖像，改善性能更加顯著。在采樣率SR=0.5時(shí)，對(duì)于Barbara圖像，A-2DPG算法比2DPG算法的PSNR值提高了2.8 dB，Baboon圖像PSNR值也提高了1.2 dB，但是對(duì)于紋理簡(jiǎn)單的Lena和Peppers圖像，PSNR最多只提高了0.4 dB。圖5是Barbara圖像在采樣率SR=0.5時(shí)，各算法重構(gòu)視覺(jué)效果的對(duì)比圖。A-2DPG算法相比于2DPG算

圖4 不同算法重構(gòu)質(zhì)量比較Fig.4 Comparison of reconstruction quality by different algorithms

圖像重構(gòu)算法采樣率SR=0.3采樣率SR=0.5Barbara圖像GPSR算法BCS-SPL-DDWT算法2DPG算法A-2DPG算法25.405725.072926.380128.964328.214528.696830.693833.5378Baboon圖像GPSR算法BCS-SPL-DDWT算法2DPG算法A-2DPG算法21.222223.056522.493022.620523.200925.311624.663025.9067Lena圖像GPSR算法BCS-SPL-DDWT算法2DPG算法A-2DPG算法29.161032.928335.285635.264032.844636.542838.329138.5769Peppers圖像GPSR算法BCS-SPL-DDWT算法2DPG算法A-2DPG算法28.901633.638434.882034.982632.586636.356937.400377808

圖5 Barbara圖像重構(gòu)質(zhì)量對(duì)比(采樣率為0.5) Fig.5 Comparison of reconstruction quality for Barbara (sampling rate 0.5)

法紋理更清晰，BCS-SPL算法對(duì)Barbara中紋理簡(jiǎn)單的圖像塊重構(gòu)質(zhì)量尚佳，但是對(duì)腿腳紋理較復(fù)雜部分的重構(gòu)卻存在很多毛刺，而GPSR算法重構(gòu)的圖像在視覺(jué)上比較模糊。因此無(wú)論從重構(gòu)的PSNR值還是重構(gòu)圖像的視覺(jué)效果，A-2DPG算法都要優(yōu)于其他3種算法。A-2DPG算法利用閾值參數(shù)η的自適應(yīng)變化策略使圖像具有更好的重構(gòu)質(zhì)量。

4 結(jié)束語(yǔ)

二維觀測(cè)是一種新的圖像壓縮感知觀測(cè)模型，相較于一維觀測(cè)，二維觀測(cè)可以很好地保留二維圖像的整體結(jié)構(gòu)信息。基于圖像的不同紋理復(fù)雜度，本文在二維觀測(cè)模型框架下提出了閾值自適應(yīng)變化的A-2DPG。在重構(gòu)過(guò)程中，首先使用較大閾值去除信號(hào)中噪聲，盡快得到低噪聲重構(gòu)圖像；然后選取較小閾值精細(xì)化重構(gòu)，得到高質(zhì)量的重構(gòu)圖像。仿真結(jié)果表明，A-2DPG算法比其他3種算法在重構(gòu)質(zhì)量上均有所提升，且隨著采樣率的增大，重構(gòu)質(zhì)量的提升更加明顯。然而二維觀測(cè)現(xiàn)今仍處于初步研究階段，盡管A-2DPG算法相比于其他重構(gòu)算法在重構(gòu)質(zhì)量上有所提高，但仍存在有待深入研究之處，如梯度下降過(guò)程中迭代步長(zhǎng)對(duì)算法的影響等。此外，本文并未對(duì)壓縮感知中觀測(cè)矩陣的構(gòu)造、稀疏字典的選取兩個(gè)重要問(wèn)題作更多討論，然而它們也是決定最終重構(gòu)質(zhì)量的關(guān)鍵因素，需要進(jìn)一步研究。

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Adaptive Two-Dimensional Projected Gradient Algorithm for Compressed Image Sensing

Wan Chenghong, Yang Chunling, He Zhijie

(School of Electronic and Information Engineering, South China University of Technology, Guangzhou, 510640, China)

Most of existing two-dimensional compressed sensing and reconstruction methods for images are complemented by utilizing one-dimensional signals compressed sensing and reconstruction algorithms, which is inefficient and increases memory requirements. Two-dimensional random projection theory and two-dimensional projected gradient algorithm can overcome these disadvantages. However, fixed threshold parameter used in two-dimensional projected gradient algorithm for different images at different sampling rate may lead to poor reconstruction quality. Here, we propose an adaptive two-dimensional projected gradient algorithm based on image texture property. The parameterηof bivariate shrinkage is calculated according to image texture information during the iterative reconstruction process. Experimental results show that compared with two-dimensional projected gradient algorithm, the proposed adaptive two-dimension projected gradient algorithm provides superior performance on both the image reconstruction quality and visual effect.

two-dimensional random projection；texture property；bivariate shrinkage；self-adaptation

國(guó)家自然科學(xué)基金(61471173)資助項(xiàng)目；廣東省自然科學(xué)基金(2016A030313455)資助項(xiàng)目。

2015-07-01；

2016-06-22

TN911．7

A

萬(wàn)成宏(1991-)，男，碩士研究生，研究方向：圖像壓縮感知，E-mail：1126258999@qq.com。

楊春玲(1970-)，女，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向：圖像/視頻壓縮。

和志杰(1990-)，男，碩士研究生，研究方向：視頻壓縮感知。