基于意識作用的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上SIS模型的穩(wěn)定性

趙愛民，陶佳琪，劉桂榮

(山西大學 數(shù)學科學學院，山西 太原 030006)

基于意識作用的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上SIS模型的穩(wěn)定性

趙愛民，陶佳琪，劉桂榮

(山西大學 數(shù)學科學學院，山西 太原 030006)

研究三種意識對疾病傳播的影響,建立了無標度網(wǎng)絡(luò)上的SIS模型,并得到了該模型無病平衡點的穩(wěn)定性及傳播閾值。結(jié)果表明局部意識和接觸意識可以提高傳播率的閾值,全部意識對無病平衡點的穩(wěn)定性及傳播閾值沒有影響。最后利用數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò);SIS模型;意識;閾值

0 引言

近年來,傳染病的頻發(fā)對人類造成了物質(zhì)上和精神上的損害。 建立傳染病動力學模型可以很好地研究疾病的分布情況和傳播規(guī)律,便于更有效地預(yù)防和控制疾病傳播。 傳統(tǒng)的均勻混合傳染病動力學模型認為所有個體的接觸都是等可能的,顯然忽略了個體行為的影響。 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病動力學模型更符合實際[1]。 目前基于網(wǎng)絡(luò)傳染病的動力學模型中很少考慮到疾病信息對于疾病傳播的影響。 但是,疾病信息的傳播會導(dǎo)致人們疾病意識的增強,從而采取自我保護措施,例如勤洗手、佩戴口罩[2-3]等。

文[4]考慮了三種意識對疾病傳播的影響。 假設(shè)一個易感者被一個染病鄰居傳染的概率只與易感者的度有關(guān),但這是不合理的。 顯然,一個易感者被一個染病鄰居傳染的概率與易感者和染病者的度都有關(guān)系。 基于上述研究背景,本文考慮意識作用下的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的SIS模型。

1 模型建立

(1)

令Y表示與易感節(jié)點i連邊的一個染病鄰居j的度,則該染病鄰居的度為m的概率為

(2)

由(1)和(2),度為k的易感節(jié)點i被一個染病鄰居j傳染的概率為:

(3)

令θ表示一個易感者節(jié)點一條邊連接到染病者節(jié)點的概率,則

(4)

令Xk是一個隨機變量,表示一個度為k的易感者節(jié)點的染病鄰居數(shù)。則他有s(0≤s≤k)個染病鄰居和k-s個易感者鄰居的概率為:

(5)

由(3)式,如果一個度為k的易感者的染病鄰居數(shù)為s,那么他被傳染的概率為:

由(4)和(5),一個度為k的易感者被傳染的概率為:

(6)

離散的動力學模型為:

ρk(t+1)=(1-γ)ρk(t)+(1-ρk(t))Θk.

考慮[t,t+Δt]上的動力學模型,并結(jié)合(6)式可得:

ρk(t+Δt)-ρk(t)=-γΔtρk(t)+(1-ρk(t))·

(7)

利用洛必達法則對上式求極限得到:

(8)

我們定義M(l)=E(elXk)=(θel+1-θ)k,l∈(-∞,+∞). 從而,

M′(0)=E(Xk)=kθ,

(9)

(10)

對(7)式等號兩邊同時除以Δt,令Δt→0并結(jié)合(8)-(10)可得:

(11)

2 穩(wěn)定性及傳播閾值

注意到在(11)式中,

(k(θel+1-θ)k-1θel)(α1)|l=0=

[kθ((k-1)(θel+1-θ)k-2θe2l+(θel+1-θ)k-1el)](α1-1)|l=0=

(*+kθ(θel+1-θ)k-1el)|l=0=(*|l=0+kθ),

其中*是θ的高次項。從而,可得到系統(tǒng)(11)在無病平衡點處的線性化系統(tǒng)為:

(12)

線性系統(tǒng)(12)的系數(shù)矩陣為:

其中fk=ψk(k-a/kα1-1),gk=kpkβk/〈k〉.進一步,

(13)

注:上述結(jié)果可知,全局意識對無病平衡點的穩(wěn)定性及傳播閾值沒有影響。 局部意識和接觸意識可以提高傳播率的閾值。

3 數(shù)值模擬

這一部分我們將進行數(shù)值模擬來驗證理論分析結(jié)果。 我們選取一個有n=2 000個節(jié)點的無標度網(wǎng)絡(luò),其度分布為pk=k-2.7[5-7]。 接觸意識函數(shù)為ψk=k-0.5,令恢復(fù)率γ=1,α1=1. 我們對(11)式進行數(shù)值模擬。 為了驗證三種意識對傳染病閾值的影響,我們分析這三種意識對應(yīng)參數(shù)a,b,μ取不同值時疾病的爆發(fā)情況。

圖1中我們模擬局部意識對閾值的影響。假設(shè)初始階段染病者的密度為0.1,令b=1/2,可以看出當傳播率達到0.58時,疾病爆發(fā),所以閾值β0=0.58.圖2中改變參數(shù)a的值,β0以0.01的步長從0到1變化。利用(11)式求解得一段時間后染病者的密度ρ. 我們認為ρ>0.002時疾病爆發(fā)。取這個β0的值作為傳染病閾值并在圖中描點。同時繪制了(13)式的圖像。顯然利用穩(wěn)定性理論求解的閾值,和數(shù)值模擬求解的閾值相差不大。隨著局部意識的增強(a增大)傳染病閾值也增大。

Fig.1 Dynamic of infection density圖1 染病者密度隨時間的變化

Fig.2 Influence of local awareness on threshold圖2 局部意識對閾值的影響

圖3圖4中我們分別模擬了局部意識和接觸意識對流行病閾值的影響,這個結(jié)果與文獻[4]一致。

Fig.3 Influence of global awareness on threshold圖3 全局意識對閾值的影響

Fig.4 Influence of contact awareness on threshold圖4 接觸意識對閾值的影響

4 結(jié)論

本文建立了簡單的SIS傳染病模型來研究三種意識對于傳染病閾值的影響。 利用平均場模型和穩(wěn)定性理論求解傳染病閾值和基本再生數(shù)。 結(jié)果表明,局部意識和接觸意識可以提高傳染病的閾值,但是全局意識不可以。 最后利用數(shù)值模擬檢驗了理論分析的結(jié)果。

[1] 靳禎,孫桂全,劉茂省.網(wǎng)絡(luò)傳染病動力學建模與分析[M].北京:科學出版社,2014.

[2] Kiss L Z,Cassell J,Reca M,etal.The Impact of Information Transmission on Epidemic Outbreaks[J].Math:Biosci,2010,225:1-10.DOI：10.1016/j.mbs.2009.11.009.

[3] Wu Q,Fu X,Small M,etal.The Impact of Awareness on Epidemic Spreading in Networks[J].Chaos:AnInterdisciplinaryJournalofNonlinearScience,2012,22:013101.DOI:10.1063/13673573.

[4] Shang Y.Modeling Epidemic Spread with Awareness and Heterogeneous Transmission Rates in Networks[J].BiolPhys,2003,39:489-500.DOI:10.1007/s10867-013-9318-8.

[5] Barabási A L.Scale-free Networks:A Decade and Beyond[J].Science,2009,325:412-413.DOI:10.1126/science.1173299.

[6] Pastor-Satorras R,Vespignani A.Epidemic Spreading in Scale-free Networks[J].PhysicalReviewLetters,2001,86:3200.DOI:10.1103/PhysRevLett.86.3200.

[7] Barabasi A L,Albert R.Emergence of Scaling in Random Networks[J].Science,1999,286(5439)：509-512.DOI:10.1126/Science.286.5439.509.

Stability of SIS Model Based on Awareness in Complex Networks

ZHAO Aimin,TAO Jiaqi,LIU Guirong

(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

We study the influence of three kinds of awareness on the disease transmission,and establish the SIS model on scale-free network,and obtain the epidemic threshold and stability of the disease-free equilibrium point. The results show that both local and contact awareness can raise the epidemic thresholds while the global awareness cannot. Finally,the numerical results are used to verify the theoretical results.

complex network;SIS model;awareness;threshold

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.03.005

2017-06-18；

2017-06-26

國家自然科學基金(11471197)

趙愛民(1963-)，男，博士，教授，主要從事微分方程定性研究。E-mail:zhaoam@sxu.edu.cn

O193

A

0253-2395(2017)03-0421-05