信號噪聲下整合發(fā)放神經(jīng)元模型的隨機(jī)共振

胡欣欣, 焦賢發(fā)

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009)

信號噪聲下整合發(fā)放神經(jīng)元模型的隨機(jī)共振

胡欣欣, 焦賢發(fā)

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009)

文章基于整合發(fā)放神經(jīng)元模型,研究了信號噪聲與背景噪聲共同作用下神經(jīng)元系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象。利用隨機(jī)平均法推導(dǎo)出了神經(jīng)元系統(tǒng)的輸出幅值增益精確表達(dá)式,并考察了背景噪聲、信號噪聲相關(guān)時間和信號噪聲與背景噪聲兩噪聲的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度對神經(jīng)元系統(tǒng)輸出幅值增益的影響。通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),當(dāng)背景噪聲較弱時,神經(jīng)元系統(tǒng)有明顯的隨機(jī)共振現(xiàn)象；當(dāng)信號噪聲自相關(guān)時間較短及背景噪聲與信號噪聲間兩噪聲間關(guān)聯(lián)強(qiáng)度較小時,神經(jīng)元系統(tǒng)也會出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象。

神經(jīng)元系統(tǒng);隨機(jī)共振;整合發(fā)放;輸出幅值增益;噪聲

0 引 言

隨機(jī)共振現(xiàn)象是指系統(tǒng)在信號和噪聲協(xié)同作用下產(chǎn)生的一種非線性現(xiàn)象,與以往認(rèn)為噪聲會削弱系統(tǒng)對信號檢測的能力不同,隨機(jī)共振現(xiàn)象驗證了適當(dāng)強(qiáng)度噪聲有助于系統(tǒng)對微弱信號的檢測和傳輸。文獻(xiàn)[1]在雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中第1次實驗性地證實了隨機(jī)共振現(xiàn)象的存在,并提出用信噪比與噪聲強(qiáng)度的變化曲線呈現(xiàn)非單調(diào)性作為觀察隨機(jī)共振現(xiàn)象的指標(biāo)。

神經(jīng)元動力學(xué)體現(xiàn)在神經(jīng)元產(chǎn)生和傳輸動作電位脈沖序列的過程中,脈沖序列攜帶著外部刺激的性質(zhì),神經(jīng)元通過傳遞脈沖序列來進(jìn)行信息傳遞。一般來說,當(dāng)神經(jīng)系統(tǒng)受到外界刺激時,神經(jīng)元通過突觸接收周圍其他神經(jīng)元的興奮性或抑制性輸入。當(dāng)接收的輸入達(dá)到神經(jīng)元膜電位閾值時,神經(jīng)元就會產(chǎn)生脈沖放電現(xiàn)象,并向周圍神經(jīng)元傳輸動作電位脈沖序列,從而使得信息在神經(jīng)元間傳遞。文獻(xiàn)[2]通過耦合非線性微分方程描述了上述神經(jīng)元動力學(xué)特性,簡稱為H-H神經(jīng)元模型,它從膜電位變化和離子濃度等方面精確地表達(dá)了神經(jīng)元放電動力學(xué)。文獻(xiàn)[3-4]在H-H模型基礎(chǔ)上對其進(jìn)行了簡化得出由2個微分方程組成的FH-N模型,描述振蕩放電脈沖神經(jīng)元的動力學(xué)?？紤]這2類模型都較為復(fù)雜,涉及大量生物學(xué)方面參數(shù),不易用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行處理，文獻(xiàn)[5]基于將神經(jīng)元膜結(jié)構(gòu)等效成電阻與電容并聯(lián)的電子電路,提出了整合發(fā)放(integrate and Fire)神經(jīng)元模型,簡記I-F模型。在這個模型中,神經(jīng)元通過突觸接收外界信號輸入相當(dāng)于給膜電容充電,當(dāng)神經(jīng)元接收信號使神經(jīng)元膜電位達(dá)到放電閾值時,神經(jīng)元會產(chǎn)生脈沖放電現(xiàn)象,即電路中膜電容開始放電,之后神經(jīng)元膜電位恢復(fù)到靜息電位。I-F模型很好地解釋了神經(jīng)元信息處理過程,且該模型是一維微分方程,便于進(jìn)行數(shù)學(xué)計算處理。近年來在神經(jīng)元模型中隨機(jī)共振現(xiàn)象的研究已有顯著成果,并提出了多種觀察隨機(jī)現(xiàn)象的指標(biāo),常見的有脈沖發(fā)放間隔、系統(tǒng)輸出幅值增益等。但大量研究都是考慮神經(jīng)元在加性信號與加性噪聲作用下的協(xié)同效應(yīng),文獻(xiàn)[6]研究了H-H神經(jīng)元模型在周期刺激和高斯色噪聲作用下的隨機(jī)共振現(xiàn)象,并通過用四階龍格庫塔法數(shù)值模擬出信噪比與噪聲強(qiáng)度函數(shù)曲線所呈現(xiàn)出的峰值來觀察隨機(jī)共振現(xiàn)象；文獻(xiàn)[7]研究了FH-N神經(jīng)元模型在加性信號與高斯白噪聲作用下,神經(jīng)元的脈沖發(fā)放間隔會隨著噪聲強(qiáng)度的增加達(dá)到一個最大值,即隨機(jī)共振現(xiàn)象出現(xiàn)。文獻(xiàn)[8]研究了加性噪聲下整合發(fā)放模型的隨機(jī)共振。實際上,神經(jīng)元通過突觸接收其他神經(jīng)元的信號輸入后會經(jīng)過整合,建立新的含義自身信號,眾多神經(jīng)元的輸入通過突觸隨機(jī)到達(dá)并完成整合這一過程會產(chǎn)生一定噪聲[9]。文獻(xiàn)[10]研究發(fā)現(xiàn),這類信號和噪聲對神經(jīng)元的影響并非是獨立的,由突觸引入的噪聲也并非獨立存在,而是表現(xiàn)為信號中含有噪聲的擾動,信號與噪聲合成一體,即信號調(diào)制噪聲,本文簡稱為信號噪聲。這類信號噪聲的發(fā)現(xiàn)體現(xiàn)了神經(jīng)元系統(tǒng)復(fù)雜性,與以往對神經(jīng)元系統(tǒng)研究中將信號與噪聲簡單相加的形式相比信號噪聲更能體現(xiàn)神經(jīng)元動力學(xué)的真實性。

噪聲對神經(jīng)元系統(tǒng)產(chǎn)生的影響越來越受到人們關(guān)注,噪聲引起的隨機(jī)共振現(xiàn)象可以增強(qiáng)神經(jīng)元系統(tǒng)對微弱信號檢測與傳輸能力。神經(jīng)元系統(tǒng)中噪聲無處不在,如上所述,信號在神經(jīng)元系統(tǒng)中傳輸時也會帶有噪聲,研究信號噪聲下神經(jīng)元系統(tǒng)隨機(jī)共振現(xiàn)象具有一定的實際意義。然而,目前關(guān)于信號噪聲對神經(jīng)元系統(tǒng)影響的研究較少。本文在整合發(fā)放神經(jīng)元模型的基礎(chǔ)上研究信號噪聲與背景噪聲協(xié)同作用下神經(jīng)元系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象。

1 數(shù)學(xué)模型

Lapicaue提出描述神經(jīng)元膜電位動力學(xué)的I-F神經(jīng)元模型為:

(1)

其中,v(t)為膜電位；C、R分別為膜電容和膜電阻,本文記λ=1/(CR)為衰減系數(shù),控制著膜電位的衰減。神經(jīng)元處于一個隨機(jī)波動的環(huán)境中,外部環(huán)境對神經(jīng)元會產(chǎn)生一定的擾動(如溫度、離子濃度等),這種擾動可視為與膜電位有關(guān)的背景噪聲[11],記為v(t)ξ2(t)。(1)式中I(t)為加性信號,是信號噪聲與背景噪聲之和。綜上所述,整合發(fā)放神經(jīng)元模型為:

(2)

其中,Acosωt為加性信號;A為輸入信號的振幅;ω為輸入信號的頻率;Acosωtξ1(t)為信號噪聲;ξ1(t)、ξ2(t)為高斯色噪聲,本文將它們視為對稱二值噪聲,這個兩噪聲之間會相互影響,即兩噪聲是相互關(guān)聯(lián)的,ξ1(t)、ξ2(t)兩噪聲的關(guān)聯(lián)函數(shù)為:

其中,D1、D2為ξ1(t)、ξ2(t)的噪聲強(qiáng)度；λ1、λ2為ξ1(t)、ξ2(t)自相關(guān)時間；λ3為背景噪聲ξ1(t)和信號噪聲ξ2(t)之間的關(guān)聯(lián)時間；D3為背景噪聲和信號噪聲之間的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度。

為求神經(jīng)元動力系統(tǒng)的輸出幅值增益,先對(2)式兩端進(jìn)行平均可得:

(3)

將(3)式兩端對t進(jìn)行求導(dǎo)得:

(4)

運用Shapiro-Loginov公式[12]可得:

(5)

將(2)式帶入(5)式得:

(6)

(7)

將(7)式帶入(6)式可得:

(8)

由(3)式和(8)式可得:

(9)

由(9)式和(4)式可得:

(10)

對(10)式求解可得神經(jīng)元平均輸出電位為:

(11)

其中

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

則神經(jīng)元系統(tǒng)的輸出幅值增益為:

(17)

2 數(shù)值模擬

根據(jù)上述計算所得輸出幅值增益G的表達(dá)式(17)式,本文數(shù)值模擬神經(jīng)元輸出幅值增益G關(guān)于輸入信號頻率ω的變化,當(dāng)λ=0.006時，考察不同背景噪聲強(qiáng)度D2、信號噪聲的自相關(guān)時間λ1和信號噪聲與背景噪聲這兩噪聲之間的關(guān)聯(lián)強(qiáng)度D3對神經(jīng)元系統(tǒng)輸出幅值增益的影響，其結(jié)果如圖1所示。

(a)

(b)

(c)

由圖1可以看出，神經(jīng)元系統(tǒng)輸出幅值增益G關(guān)于輸入信號頻率ω的變化曲線呈現(xiàn)單峰結(jié)構(gòu)。當(dāng)背景噪聲強(qiáng)度較小時,在輸入信號頻率較小處輸出幅值增益出現(xiàn)峰值,表明神經(jīng)元系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象,背景噪聲強(qiáng)度越小,輸出幅值增益的值越大;當(dāng)背景噪聲強(qiáng)度較大時,無共振現(xiàn)象。當(dāng)信號噪聲的自相關(guān)時間較短,在輸入信號頻率較大處輸出幅值增益出現(xiàn)峰值,表明神經(jīng)元系統(tǒng)產(chǎn)生了隨機(jī)共振現(xiàn)象,信號噪聲自相關(guān)時間越短,輸出幅值增益的值越小;當(dāng)信號自噪聲相關(guān)時間較長時,隨機(jī)共振現(xiàn)象不再出現(xiàn)。當(dāng)信號噪聲與背景噪聲間無關(guān)聯(lián)或關(guān)聯(lián)強(qiáng)度較小時,輸出幅值增益出現(xiàn)峰值,共振現(xiàn)象較明顯,關(guān)聯(lián)強(qiáng)度越小,輸出幅值增益值越小。當(dāng)信號噪聲與背景噪聲關(guān)聯(lián)強(qiáng)度較大時,輸出幅值增益關(guān)于輸入信號頻率的變化呈單調(diào)遞減曲線,神經(jīng)元系統(tǒng)無共振現(xiàn)象。

3 結(jié) 論

文獻(xiàn)[13]通過求神經(jīng)元系統(tǒng)輸出功率譜近似出信噪比表達(dá)式,分析了在信號噪聲和加性的背景噪聲作用下神經(jīng)元系統(tǒng)存在隨機(jī)共振現(xiàn)象。本文根據(jù)實際情況將背景噪聲考慮為與膜電位有關(guān)的乘性噪聲,研究了信號噪聲和乘性的背景噪聲作用下神經(jīng)元系統(tǒng)隨機(jī)共振現(xiàn)象。利用隨機(jī)平均法得出神經(jīng)元系統(tǒng)輸出幅值增益精確表達(dá)式,通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),適當(dāng)條件下神經(jīng)元系統(tǒng)能夠產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象。當(dāng)背景噪聲、信號噪聲相關(guān)時間、信號噪聲與背景噪聲兩噪聲間關(guān)聯(lián)強(qiáng)度在一定范圍內(nèi)變化時,神經(jīng)元系統(tǒng)輸出幅值增益G關(guān)于輸入信號頻率ω的變化呈單峰曲線,神經(jīng)元系統(tǒng)產(chǎn)生明顯隨機(jī)共振現(xiàn)象。當(dāng)這些參數(shù)變化超出一定范圍時共振現(xiàn)象都不再出現(xiàn)?？傮w而言,當(dāng)輸入信號頻率和噪聲的參量達(dá)到某種匹配時,神經(jīng)元系統(tǒng)能產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象,這樣便可以在一定的范圍內(nèi)實現(xiàn)對神經(jīng)元系統(tǒng)的隨機(jī)共振進(jìn)行必要控制。如神經(jīng)系統(tǒng)中常常出現(xiàn)疾病的現(xiàn)象,膜電位閾值的增加會使神經(jīng)元無法產(chǎn)生脈沖放電現(xiàn)象,導(dǎo)致外界較微弱的信號無法被神經(jīng)元檢測和傳遞,從而使人出現(xiàn)聽力下降,對外界事物的感知能力下降。根據(jù)本文結(jié)論可以調(diào)節(jié)輸入信號頻率等參量值,使得神經(jīng)元系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)共振現(xiàn)象,神經(jīng)元對微弱信號的檢測和傳遞能力得以增強(qiáng),從而提高大腦對外界事物的感知能力。

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(責(zé)任編輯 萬倫來)

Stochastic resonance in integrate-and-fire neuron model by signal noise

HU Xinxin, JIAO Xianfa

(School of Mathematics， Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

In this paper, stochastic resonance(SR) of an integrate-and-fire neuron model subjected to signal noise and background noise is investigated. The amplitude gain of the output signal is obtained by the method of stochastic averaging， and the influence of background noise，noise correlation time and correlation intensity between background noise and signal noise on the output amplitude gain is studied. The results of numerical simulation show that when the background noise is weak, or the noise correlation time is relatively short, or the correlation intensity between background noise and signal noise is small, the SR occurs in neuronal systems.

neuronal system; stochastic resonance(SR); integrate-and-fire; output amplitude gain; noise

2016-04-14；

2016-05-30

國家自然科學(xué)基金資助項目(11172086;11232005)

胡欣欣(1991-),女,安徽銅陵人,合肥工業(yè)大學(xué)碩士生; 焦賢發(fā)(1965-),男,安徽安慶人,博士，合肥工業(yè)大學(xué)教授,碩士生導(dǎo)師,通訊作者：E-mail:xfjiao@126.com.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.08.027

O29

A

1003-5060(2017)08-1149-04