抓住薄弱點 突出整體性

　　“式與方程”是小學數學的重要內容之一，它由“用字母表示數、解方程、用方程解決問題”三部分組成。復習時可以根據學生的實際分塊進行，也可以合并在一節(jié)課中。但無論采用怎樣的復習方式，都應該抓住學生的薄弱環(huán)節(jié)，突出知識的整體性。那這部分知識學生學習的薄弱點在哪里呢？大家一定會想到是學生在用方程解決問題時，找等量關系列出方程的環(huán)節(jié)。找等量關系的確是學生學習上的難點，但我們在分析學生解題思維的過程中，發(fā)現學生困難的根源是對未知數與已知數進行四則運算后，在對所表示出來的式子的含義的理解上出現了問題。為了突破這一難點，我們把用字母表示數、解方程和用方程解決問題這三部分融合在一節(jié)課中，作了以下教學嘗試。
　　1.復習用字母表示數
　　教師先提出：今天我們要復習“式與方程”（板書課題），看到這一課題我們自然會想到有兩個內容，即“式”與“方程”。當然這里的“式”一定是含有字母的式子，也就是要復習“用字母表示數”。對于方程，我們要回憶什么叫方程，怎樣解方程，以及通過本課的復習，進一步提高用方程解決問題的能力。（教師隨手板書出以上所說的關鍵詞：用字母表示數、方程、解方程、用方程解決問題）
　　評析：教師開門見山地向學生揭示了本課的復習要點，使學生在較短的時間里明確了復習目標。
　　接著教師繼續(xù)提出：我們先來回憶用字母表示數，如果用一個字母“x”來表示一個數（板書：一個數x），你能想象一下這個字母“x”可以表示什么數嗎？（學生說到了許多數，教師及時給予肯定：對了，這個字母可以表示我們所能想到的所有數）
　　緊接著教師隨手寫下“4x”，并提出：4x與x有什么關系呢？
　　生：4x表示x的4倍。
　　師：這里“x的4倍”的結果用“4x”表示，這“4x”就表示另一個數。
　　接著教師又隨手寫下“2x＋4”，并提出：現在另一個數用這樣的式子表示，這另一個數又與x有什么關系呢？（學生又說出：另一個數是x的2倍還多4）
　　再接著教師又寫下“x÷2－4”，同樣使學生說出：另一個數是x的一半還少4。
　　師：真不錯，我們要搞懂含有字母式子的含義，含有字母的式子仍然表示了一個數，而這個數是與這個字母所表示的數有著一定關系的數。下面一個數用字母a來表示，你能根據不同關系的表述分別寫出另一個數嗎？（教師呈現下面的練習）
　　學生在橫線上表示后，教師特意提出：2a與a2有什么區(qū)別？
　　評析：學生對單獨一個字母表示一個數是容易理解的，困難的是對于含有字母的式子同樣表示的是一個數的理解。所以我們在以上的教學中，特意突出另一個數與前一個數（一個字母所表示的數）的關系。在讓學生針對式子表述與一個數的關系，以及根據關系的表述寫出另一個數的過程中，使學生進一步理解一個式子同樣表示著一個數的含義。
　　2.復習方程與解方程
　　教師指著板書中的“4x”“2x＋4” “x÷2－4”提出：這三個式子分別表示著另一個數，如果另一個數都是“60”，那么這些式子就都等于多少呢？
　　學生說出：就有“4x＝60”“2x＋4＝60”“x÷2－4＝60”。
　　師：像這樣形式的等式我們又可以說成什么呢？
　　生：方程。
　　師：那什么叫方程？（使學生回憶“含有未知數的等式叫方程”）
　　教師呈現方程的含義，并組織學生去質疑什么叫方程。教師隨手寫出“6＋3＝9”，問學生：這是方程嗎？又隨手指著板書中的“2x＋4”問學生這是方程嗎？（使學生進一步理解，方程一定是等式，但等式不一定是方程。只含有未知數，但不是等式的，也不是方程）
　　接著教師針對以上自然形成的三個方程，讓學生作解方程的練習。
　　學生練習后，教師及時反饋學生解方程中出現的問題進行評講。在評講中突出解方程過程中所用到的等式性質，并提出：解方程時要注意書寫、及時檢驗。
　　評析：當學生進一步明確了一個式子是表示一個數后，教師提出這些式子所表示的數是具體的一個數時，這樣就自然形成了方程。在這動態(tài)過程中復習方程的含義，學生會感到非常自然、和諧、輕松，而且更有利于對方程含義的理解。并且這三個自然形成的方程，各具有一定的代表性，學生在獨立解方程的過程中涉及四則運算（等式兩邊同加、同減、同乘或同除以同一個數）的等式性質。通過先練后評，使學生清晰地梳理出了解方程的方法，以及解方程時的注意點。
　　3.復習用方程解決問題
　?、?根據不同的應用，列出方程：
　　師：解方程的目的是為了解決一些實際問題，請同學們思考下面三道題，如果要你用方程解答，先要列出怎樣的方程？
　?、?一個正方形的周長是60厘米，它的邊長是多少？
　　設：它的邊長為x厘米。
　?、?某人騎自行車4小時行了60千米，平均每小時行了多少千米？
　　設：平均每小時行了x千米。
　?、?甲筐有橘子60千克，是乙筐的4倍，乙筐有橘子多少千克？
　　設：乙筐有橘子x千克。
　　學生很快地說出：這三道題都可以列方程4x＝60。
　　教師進一步引導學生質疑：“4x”在以上三題中分別表示了什么含義。
　　評析：以上的組題都是一步計算的問題，采用方程的方法來解答，并不顯得簡單，但目的是幫助學生初步感受數學的建模思想。學生通過這樣的題組練習，知道在不同的問題中可能會出現同一個等式形式。
　?。?）根據方程補上條件，根據條件變化列出方程。
　　教師提出：如果“2x＋4＝60”和“x÷2－4＝60”這兩個方程分別是從下面兩個問題中列出的，請你對這兩個問題補上相應的條件：
　?、?甲筐有橘子60千克，
　　，乙筐有橘子多少千克？
　　設：乙筐有橘子x千克。
　　列出方程是：2x＋4＝60。
　?、?甲筐有橘子60千克，
　　， 乙筐有橘子多少千克？
　　設：乙筐有橘子x千克。
　　列出方程是：x÷2－4＝60。
　　學生進行獨立思考后，對第①題補上了“甲筐是乙筐的2倍還多4千克”；對第②題補上了“甲筐是乙筐的一半還少4千克”。
　　師：你們補上的兩個條件，也正是在列方程時要用到的關鍵句。為什么說它是關鍵句呢？
　　學生遲疑了一下，教師接著說：我如果把這一條件補上另外一句（呈現下題③），同樣求乙筐有橘子多少千克？你能很快地列出方程嗎？
　　接著教師又提出：如果我把這一關鍵句改為另一種說法（呈現下題④），同樣求乙筐有橘子多少千克？你還能很快地列出方程嗎？
　?、?甲筐有橘子60千克，甲筐與乙筐橘子的質量比是4∶5，乙筐有橘子多少千克？
　　再接著教師又提出：如果我把上題的第一個條件變一變（呈現下題⑤），同樣求乙筐有橘子多少千克？你還能很快地列出方程嗎？
　?、?甲、乙兩筐共有橘子60千克，甲筐與乙筐橘子的質量比是4∶5，乙筐有橘子多少千克？
　　師：現在你們知道什么叫關鍵句了嗎？
　　生：從這句話中可以列出方程。
　　師：對了，從這句話中可以找到數量關系，列出方程。
　　評析：以上環(huán)節(jié)中先讓學生根據方程補充條件，目的是使學生進一步理解未知數與已知數進行四則運算后所表達的含義。然后再通過條件的變換，使學生思考著兩數量之間關系的變化，并從中找出等量關系去列方程。而且在以上的變換條件時，教者特意把倍數、分數、比等有關知識進行了溝通，這樣使學生從整體上更好地把握知識之間的聯系，提高解決問題的能力。
　?。?） 復習用方程解決問題的一般步驟。
　　師：請同學們用方程解答下題，并思考用方程解決問題時應該注意什么？
　　
　　小明和小剛兩家相距1240米，兩人約定在兩家之間的路上會合，小明每分鐘走75米，小剛每分鐘走80米，兩人同時從家出發(fā)，經過幾分鐘后能在途中相遇？
　　學生獨立解答后，反饋出下面完整的解答過程：
　　解：設經過x分鐘后在途中相遇。
　?。?5＋80）x＝1240
　　155x＝1240
　　 x＝8
　　答：經過8分鐘后在途中相遇。
　　教師提出：用方程解決問題時要做到哪幾步？
　　通過討論，學生回憶梳理出了一般步驟：①讀懂題意；②設未知數；③找出等量關系；④列出方程；⑤解方程；⑥檢驗得數。
　　教師在學生整理的基礎上作簡要的板書：讀、設、找、列、算、驗。
　　接著教師又指出：在這六步中你們認為哪一步是最重要的？
　　在質疑中學生都認同，找出等量關系是最關鍵的。
　　評析：通過獨立完整的解答，使學生從中梳理出用方程解決問題的一般步驟，并在質疑中突出“找等量關系”。
　　（4） 對比質疑突出優(yōu)化。
　　教師提出：下面請同學們按照這樣六步，用方程解答下面的問題：
　　馬老師為學校買了8個籃球，12個足球，共用去760元。已知籃球每個32元，足球每個多少元？
　　解：設足球每個x元。
　　學生獨立解答后，呈現第①個方程：① 8×32＋12x＝760。
　　師：列出這樣的方程的同學是按照怎樣的等量關系？
　　生：是按“籃球的總價＋足球的總價＝兩種球的總價”來列出方程的。
　　師：當然，在找等量關系時，由于思考的角度不同，列出的方程有可能是不一樣的。下面請同學們觀察另外四個方程，你們覺得這些方程列得對嗎？如果是對的，它們分別是按怎樣的等量關系列的呢？（投影呈現下面各方程）
　?、?760－12x＝8×32;
　　③（760－12x）÷8＝32;
　?、埽?60－12x）÷32＝8;
　　⑤（760－32×8）÷x＝12。
　　使學生分別說出：第②個方程是按“籃球的總價相等”；第③個方程是按“籃球的單價相等”；第④個方程是按“籃球的個數相等”；第⑤個方程是按“足球的個數相等”。
　　師：根據以上五個等量關系列出的方程，你們覺得最容易找到等量關系的是哪一個？
　　這時，學生有不同的看法，教師沒有刻意地去定出哪一種最容易找到等量，只是說：根據每個人的理解，能較快地找到等量關系列出方程的都應該是可以的。但如果你所列出的方程計算比較麻煩，就要繼續(xù)調整找出其他的等量關系來列方程，像上題通常容易想到的是按“總價相等”來列出方程。
　　接著教師又提出：如果有一位同學以總價相等來列方程，但列出的方程是：“12×32＋8x＝760”，你有什么話想對這位同學說嗎？
　　生1：籃球的單價要與籃球的個數相乘。
　　生2：足球的單價要與足球的個數相乘。
　　師：這位同學所把的錯誤，使我們想起了怎樣的一個成語？
　　生：張冠李戴。
　　師：對了，在解答此類問題時最容易犯的就是“張冠李戴”了，你們可要注意呵！
　　接著教師又呈現下面兩題，并提出：下面兩題請同學們以最快的速度列出方程或算式。
　?、亳R老師為學校買了8個籃球，每個32元；買了若干個足球，每個42元；買這兩種球共付了760元，問足球買了多少個？
　?、隈R老師為學校買了8個籃球，每個32元；12個足球，每個42元。問共要付多少元？
　　學生獨立列式后，教師作了以下反饋評價：
　　第①題學生基本上用方程來解：設足球買了x個，列出方程“32×8＋42x＝760”。
　　第②題大部分學生直接列成了算式“8×32＋12×42”。
　　師：第②題，大部分同學為什么不用方程來計算呢？
　　生1：因為這一題是求總價的。
　　師：在求解第②題時，你們會有怎樣的感覺呢？
　　生2：這題根據題目中條件的順序，就能很快地寫出算式求出總價了。
　　師：第①題列成方程與第②直接列算式，又有什么相同之處嗎？
　　學生又一次進入互動交流后，組織集體交流。
　　生：這兩題都用到了“籃球的總價＋足球的總價＝兩種球的總價”。
　　師：對了，這兩題在列式時都用了同一個數量關系，只不過第①題把已知數與未知數合在一起按以上數量關系進行列式，得到的是方程；而第②題是把已知數直接按以上數量關系進行列式，就可以得出結果。所以第②題是我們平常所說的“順向題”。
　　評析：這一環(huán)節(jié)的訓練是幫助學生優(yōu)化找等量關系的過程。學生通過先獨立列式，再進行比較質疑，使學生進一步感悟到，雖然在同一問題中可以找到不同的等量來列方程，但更重要的是按條件與問題的敘述找出自己最順向的思維方式來列出方程。在以上環(huán)節(jié)的最后兩題是教師特意安排的，目的是使學生感受到最后一題不需要用方程來解，以此來說明用方程更適合于逆向題。
　　總評：通過本課的研究，再次說明了一個觀點：復習課教學一定要抓住學生的薄弱點，把握知識的整體性。要做到這一點，我們要準確地分析知識的內在聯系，設計出連貫的訓練素材。如以上的復習，學生的薄弱點就是對含有字母的式子表示一個數不容易理解。在解決具體問題時，當未知數參與四則運算后，所呈現的式子對應于某一具體的數量含糊不清。回憶學生最初學習這部分知識時，教材是分塊進行的，這是學習內容前后的需要不能改變。但到了復習時我們就應把“式”與“方程”聯系在一起，現行的人教版課程實驗教材在六年級下冊的總復習時，就有這樣的編排意圖。所以我們更應該像本課一樣，力求讓學生真正理解含有字母的式子表示數，一直到實際應用中含有字母式子表示具體的數量的含義，并以此構成一個整體，設計連貫的背景素材，使學生在自主梳理、練習中達到更佳的復習效果。
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文