固定端約束在截面法計(jì)算中的應(yīng)用

馬立安　何冬青　商玉梅

摘 要 分別用截面法和固定端約束的方法分析了軸向拉伸與壓縮、扭轉(zhuǎn)、彎曲時(shí)軸的內(nèi)力，說(shuō)明了固定端約束求外力和截面法求內(nèi)力是統(tǒng)一的，啟發(fā)學(xué)生思考，加深對(duì)內(nèi)力與外力概念的理解。

關(guān)鍵詞 固定端約束 截面法 受力圖 受力分析

中圖分類(lèi)號(hào)：TU311.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2017.07.028

Application of Fixed End Restraint in Sectional Method Calculation

MA Lian， HE Dongqing， SHANG Yumei

（Shengli College， China University of Petroleum， Dongying， Shandong 257061）

Abstract Separately using section method and fixed constraint analysis of axial tension and compression， torsion， bending axis force， the fixed constraint for the external force and the section method for internal force is unified， inspire students thinking， deepen the understanding of the concept of internal and external forces.

Keywords fixed end constraint； section method； force diagram； force analysis

0 序言

求約束力是理論力學(xué)靜力學(xué)部分的重要研究?jī)?nèi)容，通過(guò)解除約束，用約束力替代約束，列出平衡方程組，解平衡方程組而求得約束力的大小。截面法是材料力學(xué)求解內(nèi)力時(shí)常用的一種方法，主要分為截開(kāi)、取出、替代、平衡四步，在桿件的軸向拉伸與壓縮、扭轉(zhuǎn)、彎曲計(jì)算內(nèi)力時(shí)都會(huì)用到。在教學(xué)過(guò)程中，將截面法與約束思想相結(jié)合，聯(lián)系固定端與截面兩個(gè)概念，比較固定端約束平衡方程與截面法平衡方程，發(fā)現(xiàn)其共同點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生思考，加深對(duì)內(nèi)力與外力概念的理解。

1 固定端約束

固定端約束是理論力學(xué)靜力學(xué)部分的基本約束之一，其約束畫(huà)法與受力圖畫(huà)法如圖1所示。對(duì)于平面問(wèn)題，其約束力可用正交分力FAx、FAy表示，約束力偶為MA，共有三個(gè)未知數(shù)。

2 軸向拉伸與壓縮時(shí)求某一截面的內(nèi)力的方法

（1）求某一桿件m-m截面內(nèi)力（圖2），先沿該截面假想將桿件切開(kāi)，使其分為兩部分；取其中一部分（如右段）為研究對(duì)象：以內(nèi)力代替棄去部分對(duì)選取部分的作用；橫截面上的內(nèi)力大小可由平衡方程求得。即

（2）使用約束思想將m-m截面左段和右段的關(guān)系想象為左段為對(duì)右段的固定端約束。求內(nèi)力則變成了求外力（約束力）。畫(huà)受力圖為圖3。

可按固定端約束列平衡方程并求解：

此時(shí)可見(jiàn)截面法求內(nèi)力實(shí)際與固定端求約束力結(jié)果是一致的。FAx與FN相差一個(gè)符號(hào)是因?yàn)樵谑芰D中這兩個(gè)力的方向相反。FAy與MA都為零，也與截面法結(jié)果一致。

3 扭轉(zhuǎn)時(shí)求某一截面的內(nèi)力的方法

（1）求任意橫截面n-n上的內(nèi)力（圖4），假想沿n-n截面將軸切開(kāi)，分為左右兩段?？扇∮叶螢檠芯繉?duì)象，由于右段有外力偶作用，在n-n截面上，必存在內(nèi)力偶T與之平衡。即

（2）使用約束思想將n-n截面左段和右段的關(guān)系想象為左段為對(duì)右段的固定端約束。求內(nèi)力則變成了求外力（約束力）。畫(huà)受力圖為圖5。

可按固定端約束列平衡方程并求解：

此時(shí)可見(jiàn)固定端求約束力與截面法求內(nèi)力結(jié)果是一致的。MAx與Me相差一個(gè)符號(hào)是因?yàn)樵谑芰D中這兩個(gè)力偶的方向相反。其他量均為零，也與截面法結(jié)果一致。

4 彎曲時(shí)求某一截面的內(nèi)力的方法

（1）梁AB總長(zhǎng)l，受橫向力F作用（圖6），相應(yīng)的支座約束力FAx、FAy、FB。求距A端x處橫截面m-m上的內(nèi)力。由截面法，沿截面m-m將梁截開(kāi)，選右段為研究對(duì)象。因外力FB垂直于梁的軸線，故在截面m-m內(nèi)應(yīng)有一個(gè)與界面相切的力Fs和一個(gè)在外力作用面內(nèi)的力偶M與之平衡。Fs和M分別稱為剪力和彎矩。剪力和彎矩的數(shù)值可由右段梁的平衡方程確定。

（2）使用約束思想將m-m截面左段和右段的關(guān)系想象為左段為對(duì)右段的固定端約束。求內(nèi)力則變成了求外力（約束力）。畫(huà)受力圖為圖7。

可按固定端約束列平衡方程求解：

此時(shí)可見(jiàn)固定端求約束力與截面法求內(nèi)力結(jié)果是一致的。FCy與FS結(jié)果一致，因?yàn)檫@兩個(gè)力在受力圖中方向相同。MC與M相差一個(gè)符號(hào)是因?yàn)樵谑芰D中這兩個(gè)力偶的方向相反。其他量均為零，也與截面法結(jié)果一致。

5 結(jié)論

通過(guò)上面的分析發(fā)現(xiàn)，求內(nèi)力的截面法和求外力的解除約束法在本質(zhì)上一致的。內(nèi)外只是一個(gè)相對(duì)的概念。在靜力學(xué)選用整體為研究對(duì)象時(shí)，兩個(gè)構(gòu)件之間的約束力也由外力變?yōu)閮?nèi)力。用在教學(xué)過(guò)程中，可以啟發(fā)學(xué)生思考，加深對(duì)內(nèi)力與外力概念的理解。

參考文獻(xiàn)

[1] 陳位宮.工程力學(xué)（第3版）.北京：高等教育出版社，2012.

[2] 商玉梅.應(yīng)用型人才理論力學(xué)課程教學(xué)改革與實(shí)踐.教育導(dǎo)刊，2017（2）.