揭示數(shù)學本質(zhì) 發(fā)展數(shù)學思維

周毅

[摘 要] 學習數(shù)學更重要的是學習數(shù)學知識的本質(zhì)和發(fā)展數(shù)學思維，所以提高課堂效率不僅要研究“怎樣教”，更要關注“教什么”.

[關鍵詞] 有效教學；數(shù)學本質(zhì)

俗話說“吃什么比怎樣吃更重要”，同樣，有效教學不僅要關注“怎樣教”，更要關注“教什么”. 前者關注教學形式，而后者關注教學內(nèi)容，教學形式服務于教學內(nèi)容. 從“教什么”的視角來看提升教師對數(shù)學學科本質(zhì)的把握是提高數(shù)學課堂有效性的重要途徑，有了對數(shù)學知識本質(zhì)的深刻理解，才有課堂上教師對學生學習過程的關注，進而提高課堂效率，實現(xiàn)有效教學. 本文通過有理數(shù)的乘法和方程本質(zhì)及混合運算中先乘除后加減的數(shù)學本質(zhì)的理解解析，來闡述如何把握學科知識本質(zhì)，實現(xiàn)有效教學.

案例一：對“有理數(shù)乘法”數(shù)學本質(zhì)的理解

有理數(shù)的乘法是一種規(guī)定，是人為定義的，它的正確性不是源于邏輯證明，而是依賴于數(shù)學和諧和發(fā)展的需要.

在自然數(shù)集上，規(guī)定乘法是數(shù)自身連加的縮寫，如3+3+3+3=3×4=12，且乘法滿足交換律和分配律，有理數(shù)集合上的乘法是自然數(shù)集的推廣，推廣的工具是交換律和分配律.

乘法是加法的簡便運算，對于“乘數(shù)是正數(shù)”的情況，即“正數(shù)乘正數(shù)”和“負數(shù)乘正數(shù)”很好理解；如4×3表示3個4相加；（-4）×3是3個-4加起來，所以結果是-12. 按照這個規(guī)定，第一個乘數(shù)表示連加的有理數(shù)，第二個乘數(shù)表示連加的個數(shù)，乘積表示連加的結果.

對于“乘數(shù)是負數(shù)”的情況，沿用“第一個乘數(shù)自身連加”是行不通的，這就必須從負數(shù)的本質(zhì)入手——負數(shù)與正數(shù)表示相反意義的量，所以“第二個乘數(shù)為負數(shù)”時，就可以表示為“第一個乘數(shù)自身連減”，如4×（-4）表示4個4連減，即4×（-4）=-4-4-4-4=-16；（-4）×（-4）表示4個-4連減，即（-4）×（-4）= -（-4）-（-4）-（-4）-（-4）=16. 同乘數(shù)是正數(shù)的情況類似，第一個乘數(shù)表示連減的有理數(shù)，第二個乘數(shù)的相反數(shù)表示有理數(shù)的個數(shù)，乘積表示連減的結果. 易驗證這種推廣滿足交換律和分配律.

總之，基于對“乘法是加法的簡便運算”“第一個乘數(shù)表示連加的有理數(shù)，第二個乘數(shù)表示連加的個數(shù)，乘積表示連加的結果”“負數(shù)與正數(shù)表示相反意義的量”這些知識的本質(zhì)理解，突破了“負負得正”這一教學難點，這更是把握知識本質(zhì)的一種推廣和應用. 故只有把握了知識本質(zhì)，我們的教學才能返璞歸真、言之有理，學生才能應用和有所創(chuàng)新.

案例二：對方程教學本質(zhì)的理解

學習方程的價值在于會用方程解決問題，重點就是讓學生掌握“建?！彼枷?，學會“化歸”方法. 其中，前者是列方程的重點，后者是解方程的重點. 在教科書中，對方程的定義是“含有未知數(shù)的等式”，這是一個形式定義，它的嚴謹性有很多值得商榷的問題（可以參見陳重穆《淡化形式 注重實質(zhì)》一文），而筆者認為形式的定義關鍵是不能把握方程的本質(zhì).

方程是描述現(xiàn)實世界中等量關系的一種工具. 具體來說，方程就是描述現(xiàn)實世界中與數(shù)量有關的兩個故事，其中用字母表示未知量. 這兩個故事有一個共同點，在這個共同點上數(shù)量相等. 即對同一個量用兩種方式來表達. 這是方程的本質(zhì)，也是列方程的基本原則.

例1 在一個房間里，有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個，如果椅子腿和凳子腿加起來共60個，有幾把椅子和幾個凳子？

分析 方程的特點是用字母表示數(shù)，這個數(shù)就叫未知數(shù). 如果用x表示椅子的數(shù)量，那么凳子的數(shù)量就是16-x. 根據(jù)同一個量用兩種方式加以表示：總腿數(shù)可以用60表示，總腿數(shù)還可以用椅子的腿數(shù)加凳子的腿數(shù)表示，即 60=總腿數(shù)=椅子的腿數(shù)+凳子的腿數(shù)，抽象成方程：60=4x+3×（16-x）.

從這個列方程的過程中學生會更好地體會方程的本質(zhì)，感悟到方程是如何描述現(xiàn)實世界中的等量關系的.

例2 某商店對某種照相機的售價做了調(diào)整，按原價的八折出售，此時的利潤為14%，若此種照相機的進價為1200元，則該照相機的原售價是多少元？

分析 如果用x表示原售價，則根據(jù)同一個量（利潤）用兩種方式來表示可構造方程：利潤可以由利潤率乘進價表示，利潤還可以用售價減進價表示，即利潤率×進價=利潤=售價-進價，可抽象成方程：0.8x-1200=14%×1200.

總之，基于以上對方程本質(zhì)的探究可以看出，數(shù)學教學不能僅限于形式化的表達，還要強調(diào)對數(shù)學本質(zhì)的理解. 只有如此，學生才能學得輕松高效. 更重要的是，掌握了知識本質(zhì)，才能促成正遷移形成技能，也唯有如此，課堂教學才能真正實現(xiàn)從有效到高效.

著名教育學家張奠宙教授說：“一個數(shù)學教師專業(yè)成長的核心是對數(shù)學學科知識本質(zhì)的把握.”

案例三：“混合運算中先乘除后加減”的數(shù)學本質(zhì)的理解

在混合運算中，關于運算次序有兩個基本法則：有括號，先算括號中的算式；沒有括號，先乘除后加減. 顯然，一部分教師會說這兩個基本法則是一種規(guī)定，可是為什么要這樣規(guī)定？這樣規(guī)定合理嗎？那么，合理性表現(xiàn)在哪里呢？或者說這樣規(guī)定的數(shù)學本質(zhì)是什么？

例3 操場上原來有3名同學，又來了一隊同學，這隊同學每排有2名同學，共有4排，問現(xiàn)在操場上有多少名同學.

分析 這個問題中包含了兩個故事，一是原來的同學，二是后來的同學，所以同學數(shù)=原來的同學+后來的同學=3+2×4.

可以看出，先算乘法是為了完成一個故事：后來的同學數(shù)，因此可以看出所有的混合運算的本質(zhì)是講述兩個或兩個以上的故事，而乘法或除法是在完成其中的一個故事. 即先計算每一個具體的故事，然后再計算整體的故事，這就是混合運算的數(shù)學本質(zhì)，用數(shù)學語言描述就是先乘除后加減.

近年來，實際教學中的教學本質(zhì)常被兩種活動所掩蓋，一種是過度的形式化，把光彩照人的數(shù)學用“X光”照成了一副“骨架”，另一種是教條式的教學改革，只圖表面熱鬧，缺乏效率，走過場.

實際上，數(shù)學教育的核心是體現(xiàn)“數(shù)學思維本質(zhì)”和“數(shù)學知識本質(zhì)”的教學，新課標下的高效課堂在各地如火如荼地進行，但不管如何變化，作為數(shù)學老師，應該堅持一個原則——注重數(shù)學本質(zhì)的揭示，這是一切數(shù)學活動的根，是數(shù)學教學的立足根本.

總之，“揭示數(shù)學本質(zhì)，發(fā)展數(shù)學思維”是數(shù)學教育的靈魂和教學的永恒主題.